MITの積分問題解いてみた

積分サークルのマサチューセッツ工科大学の積分対決の問題を解いてみました．計算ミスはご容赦下さい．

第1問

$\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{dx}{1+e^{\sin x+\cos x}}$

(解) 求める積分を$I$とおく．$t=\pi-x$ と変換変換すると

$\displaystyle I=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{dt}{1+e^{\sin t-\cos t}}= \int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{\cos t}dt}{e^{\cos t}+e^{\sin t}}$

$t\to -t$ として

$\displaystyle I=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{\cos t}dt}{e^{\cos t}+e^{-\sin t}}$ また被積分関数の周期性から，$\displaystyle I=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{dx}{1+e^{\sin x+\cos x}}$ だから

$2I=\int_{-\pi}^{\pi}dx=2\pi$．よって$I=\pi$ である．

第2問

$\displaystyle\int_0^2x\sqrt{x^{\log x}\sqrt[3]{x^{(\log x)^2\sqrt[4]{x^{(\log x)^3}\sqrt[5]{x^{(\log x)^4\sqrt[6]{x^{(\log x)^5\cdots}}}}}}}}\,dx$

(解) 被積分関数を $f(x)$ とおくと

$\displaystyle\log f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\log x)^n}{n!}=e^{\log x}-1=x-1$ より,$f(x)=e^{x-1}$ なので，求める積分値は $\displaystyle \int_0^2e^{x-1}\,dx=e-\frac{1}{e}$ である．

第3問

$\displaystyle f_1(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}},f_n(x)=\frac{1}{1+f_{n-1}(x)}\,(n\geq 2)\mbox{のとき}\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{dx}{1+f_n(x)}$

(解) $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ は $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+f(x)}$ を満たすので

$\displaystyle|f_n(x)-f(x)|=\biggl|\frac{1}{1+f_{n-1}(x)}-\frac{1}{1+f(x)}\biggr|\leq\frac{\sqrt{5}-1}{2}|f_{n-1}(x)-f(x)|$

よって $\displaystyle|f_n(x)-f(x)|\leq\biggl(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\biggr)^{n-1}|f_1(x)-f(x)|$ だから

$\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{dx}{1+f_n(x)}=\int_0^1f_{n+1}(x)\,dx,I=\int_0^1\frac{dx}{1+f(x)}=\int_0^1f(x)\,dx$ とおけば

$\displaystyle|I_n-I|\leq \biggl(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\biggr)^n\int_0^1|f_1(x)-f(x)|\,dx\to 0\,(n\to\infty) $ となるから，求める極限値は $\displaystyle I=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ である．

おまけ

$\displaystyle\int_{-1/2}^{1/2}\sqrt{x^2+1+\sqrt{x^4+x^2+1}}\,dx$

(解) $x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ より被積分関数は

$\displaystyle\sqrt{\frac{2(x^2+1)+2\sqrt{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}}{2}}=\frac{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{2}}$ となるから

求める積分値は　　

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1/2}^{1/2}\sqrt{x^2+x+1}\,dx+ \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1/2}^{1/2}\sqrt{x^2-x+1}\,dx$

$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1/2}^{1/2}\displaystyle\sqrt{\biggl(x+\frac{1}{2}\biggr)^2+\frac{3}{4}}\,dx+ \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1/2}^{1/2}\sqrt{\biggl(x-\frac{1}{2}\biggr)^2+\frac{3}{4}}\,dx $

$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^1\sqrt{x^2+\frac{3}{4}}\,dx+ \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1}^0\sqrt{x^2+\frac{3}{4}}\,dx $

$\displaystyle =\sqrt{2}\int_0^1\sqrt{x^2+\frac{3}{4}}\,dx$

$\displaystyle =\sqrt{2}\biggl[\frac{1}{2}\biggl\{x\sqrt{x^2+\frac{3}{4}}+\frac{3}{4}\log\biggl(x+\sqrt{x^2+\frac{3}{4}}\biggr)\biggr\}\biggr]_0^1$

$\displaystyle=\frac{\sqrt{14}}{4}+\frac{3\sqrt{2}}{8}\log\biggl(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{21}}{3}\biggr)$ である．