フィボナッチ多項式の積分解
はじめに
フィボナッチ数のよく知られた一般化としてフィボナッチ多項式がある.
$n$項目のフィボナッチ多項式を$F_n(X)$と表したとき, 以下の定理が成り立つ.
整数$n,k$に対して, 以下の等式が成り立つ.
$$
F_{n(2k+1)}(X)=F_{2k+1}(X)F_n(L_{2k+1}(X))
$$
この記事では, ただこの定理を証明するだけである.
本文
証明には次の補題を用いる.
整数$m$, $n$に対して, 以下の等式が成り立つ:
$$
F_{m+n}(X)=F_{m+1}(X)F_{n}(X)+F_{m}(X)F_{n-1}(X).
$$
整数$m$に対して, 以下の等式が成り立つ:
$$
F_{2m}(X)=F_m(X)L_m(X).
$$
ただし, $L_m(X)$は$m$項目のリュカ多項式である.
関係式
$$
F_{m+n}(X)=F_{m+1}(X)F_{n}(X)+F_{m}(X)F_{n-1}(X).
$$
より
$$
\begin{align*}
F_{(n+2)(2k+1)}(X)
&=F_{n(2k+1)+2(2k+1)}(X)\\
&=F_{n(2k+1)+1}(X)F_{2(2k+1)}(X)+F_{n(2k+1)}(X)F_{2(2k+1)-1}(X)
\end{align*}
$$
かつ
$$
\begin{align*}
F_{(n+1)(2k+1)}(X)
&=F_{n(2k+1)+(2k+1)}(X)\\
&=F_{n(2k+1)+1}(X)F_{2k+1}(X)+F_{n(2k+1)}(X)F_{(2k+1)-1}(X)
\end{align*}
$$
より,
$$
\begin{align*}
&F_{(n+2)(2k+1)}(X)F_{2k+1}(X)-F_{(n+1)(2k+1)}(X)F_{2(2k+1)}(X)\\
=&F_{n(2k+1)}(X)F_{2(2k+1)-1}(X)F_{2k+1}(X)-F_{n(2k+1)}(X)F_{(2k+1)-1}(X)F_{2(2k+1)}(X)\\
=&F_{n(2k+1)}(X)\left(F_{2(2k+1)-1}(X)F_{2k+1}(X)-F_{(2k+1)-1}(X)F_{2(2k+1)}(X)\right)\\
=&F_{n(2k+1)}(X)F_{2k+1}(X)
\end{align*}
$$
となる.
よって,
$$
F_{(n+2)(2k+1)}(X)F_{2k+1}(X)=F_{(n+1)(2k+1)}(X)F_{2(2k+1)}(X)+F_{n(2k+1)}(X)F_{2k+1}(X)
$$
となる.
ここで, $F_{2(2k+1)}(X)=F_{2k+1}(X)L_{2k+1}(X)$より
$$
F_{(n+2)(2k+1)}(X)=L_{2k+1}(X)F_{(n+1)(2k+1)}(X)+F_{n(2k+1)}(X).
$$
ここで
$$
F_{0(2k+1)}(X)=F_0(X)=0,\quad F_{1(2k+1)}(X)=F_{2k+1}(X),\quad F_{2(2k+1)}(X)=F_{2k+1}(X)L_{2k+1}(X)
$$
より,
$$
F_{n(2k+1)}(X)=F_{2k+1}(X)F_n(L_{2k+1}(X))
$$
となる.