四角形の面積が最大となるのは,頂点が同一円周上にある場合.

対角線CDを引いて三角形ABC,ADCに分けて考えると,四角形の面積$S$は
\begin{align} S&=\frac{1}{2}ab\sin B+\frac{1}{2}cd\sin D\\ &=\frac{1}{2}ab\sin B+\frac{1}{2}cd\sin (\theta -D)\ \ \ \ (B+D=\theta )\\ &=\frac{1}{2}​((ab−cd\cos θ)\sin B+cd\sin θ\cos B)\\ &\leq\frac{1}{2}\sqrt{(ab−cd\cos θ)^2+(cd\sin θ)^2​}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{​a^2b^2+c^2d^2−2abcd\cos θ} \end{align}
よって,$\theta=\pi $のとき最大.つまり,四角形が円に内接するときである.

三角形ABC,ADCの成立条件を考える.$AC=x$とすると
$x\in I=(|a-b,a+b|)\cap(|c-d|,c+d)$.
ここで,四角形が存在する条件
\begin{align} a&< b+c+d \\ b&< a+c+d\\ c&< a+b+d\\ d&< a+b+c \end{align}
より$|a−b|< c+d$ $,|c−d|< a+b$が従い,$I$が空でないことが成り立つ.

余弦定理から,角B(x)とD(x)の和$f(x)=B(x)+D(x)$は
$\displaystyle f(x)=\arccos(\frac{a^2+b^2−x^2}{2ab}​)+\arccos(\frac{c^2+d^2-x^2}{2cd}).$
となり,
\begin{align} f'(x)&=B'(x)+D'(x)\\ &=\frac{x}{ab\sin B}+\frac{x}{cd\sin D}>0 \end{align}
より$x\in I$で$f$は単調増加.

$L=\max\{|a−b|,|c−d|\},R=\min\{a+b,c+d\} $
とし,$I=(L,R)$とする.
いま,$L=|a−b|$のとき,$\displaystyle \lim _{x\rightarrow L+0}B(x)=\pi,0< D(x)<\pi $から,$\displaystyle \lim _{x\rightarrow L+0}f(x)>\pi $
$L=|c-d|$のときも同様にして,$\displaystyle \lim _{x\rightarrow L+0}f(x)>\pi $

また,同様にして,$\displaystyle \lim _{x\rightarrow R-0}f(x)<\pi $

今,関数$\tilde{f}:[L,R]\rightarrow \mathbb{R}$を

\begin{eqnarray} \tilde{f}(x)= \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ \ \ \ (\text{if }x\in I),\\ \displaystyle \lim _{x\rightarrow L+0}f(x) \ \ \ \ (\text{if }x=L),\\\ \displaystyle \lim _{x\rightarrow R-0}f(x) \ \ \ \ (\text{if }x=R) \end{array} \right. \end{eqnarray}
と定めると,明らかに$\tilde{f}$は連続で,中間値の定理を用いると,
$\exists x_0 \in I,\tilde{f}(x_0)=\pi.$
つまり
$\exists x_0 \in I,f(x_0)=\pi.$