加群の拡大~k次拡大編~

　後輩からパワハラは来週ねって言われちゃって泣く泣くこの記事書いてます，えだまめです．今日友達から去年から誘ってくれてたアンサンブルに行ってきて機嫌がいいです．すごく良かった．
　さて今日は加群の拡大を前回話しましたが，これが$k$個になったらどうなるかを確認しましょう．$\Ext$加群の関係も出てきますので楽しみにしてください．

加群の$k$次拡大

前回は一個だけだったのが複数個に増えている．こうなると一つか複数個を指して拡大ですというのはすこし忌避感があるのは分かる．だから完全列自体を拡大と呼んでいるのだろうか？

$\Ext$加群との関係

自由分解$F_\bullet\xrightarrow{\varphi_\bullet}A$を取る．このとき以下の可換図式が存在する．
$$\begin{xy} \xymatrix{ \cdots \ar[r] & F_{k+1} \ar[d]_{^\exists f_{k+1}} \ar[r] & F_k \ar[d]_{^\exists f_{k}} \ar[r] & F_{k-1} \ar[d]_{^\exists f_{k-1}}\ar[r] & \cdots \ar[r] & F_0 \ar[d]_{^\exists f_{0}}\ar[r] & A \ar[d]_{\text{id}_A} \ar[r] & 0\\ & 0 \ar[r] & B \ar[r] & M_k \ar[r] & \cdots \ar[r] & M_1 \ar[r] & A \ar[r] & 0 } \end{xy}$$
よって，可換性から$\varphi^*_{k+1}f_k=0$となり
$$f_k \in \ker\varphi_{k+1}^*\ \leadsto\ \bar{f} \in \ker\varphi_{k+1}^*/\Im\varphi_k^* = \Ext_\mathcal{R}^k(A,B)$$
となる．逆に$\Ext_\mathcal{R}^k(A,B)$の元を取れば$k$次拡大を得られる．

$k$次拡大の構成

・$\bar{\beta}\in\Ext_\mathcal{R}^k(A,B)$を取ると，$\beta\in\ker\varphi_{k+1}^*$となる．i.e.,$\beta:F_k\rightarrow B_{k}=B$を取る．

・帰納的に示していく．$\beta_i:F_i\rightarrow B_i$をがあるとして，$K_i:=\ker\varphi_{i-1}$，$\alpha_i:K_i\hookrightarrow F_{i-1}$と置いて，
$$0\rightarrow K_i \xrightarrow{(\alpha,-\beta_i)} F_{i-1}\oplus B_i \twoheadrightarrow F_{i-1}\oplus B_i/\Im(\alpha,-\beta_i)\rightarrow 0$$
は完全列であり，$F_{i-1}\oplus B_i/\Im(\alpha,-\beta_i)$を$M_i$と定義しておく．

・このとき，次の完全列が成立する．
$$0\rightarrow B_i \xrightarrow{*} M_i \twoheadrightarrow M_i/\Im \ *\rightarrow 0$$
また$*:B_i \ni b \mapsto (0,\bar{b}) \in M_i$とする．そして$B_{i-1} =M_i/\Im \ *$と置く．

・このとき次の完全列が成り立つ．
$$\begin{xy} \xymatrix{ & \ker\varphi_{i-1}\ar@{=}[d] & & \Im\varphi_{i-1} \ar@{}[d]|{\bigcup} & F_{i-2} \ar@{}[l]|*{\subset}\\ 0 \ar[r] & K_i \ar[d]_{\beta_i} \ar[r]^{} & F_{i-1} \ar[d] \ar[r]^{\varphi_{i-1}} & K_{i-1} \ar[d]_{\beta_{i-1}} \ar[r] & 0\\ 0 \ar[r] & B_i \ar[r] & M_{i} \ar[r] & B_{i-1} \ar[r] & 0\\ } \end{xy}$$

この完全列を繋げていくと
$$\begin{xy} \xymatrix{ & & & {\color{blue}0} \ar@[blue][rd]\\ 0 \ar[r] & K_i \ar[dd] \ar[r]^{} & F_{i-1} \ar[dd] \ar[rr] & & K_{i-1} \ar[dd] \ar@[blue][rd] \ar[r] & 0\\ & & & {\color{blue}0} \ar@[blue][rd] & & {\color{blue}F_{i-1}} \ar@[blue][rd] \ar@[blue]@/^12pt/[dd] \\ 0 \ar[r] & B_i \ar[r] & M_{i} \ar[rr] & & B_{i-1} \ar@[blue][rd] \ar[r] & 0 & {\color{blue}K_{i-1}} \ar@[blue][dr] \ar@[blue][dd]\\ &&&&& {\color{blue}M_{i-1}} \ar@[blue][dr] && {\color{blue}0}\\ &&&&&& {\color{blue}B_{i-2}} \ar@[blue][dr] \\ &&&&&&& {\color{blue} 0} } \end{xy}$$
と繋げると，$F_{i-1}$から$F_{i-2}$と$M_i$と$M_{i-1}$へ写像が伸びる．よって次の$k$次拡大を得る．
$$\begin{xy} \xymatrix{ \cdots \ar[r] & F_{k+1} \ar[d]_{^\exists f_{k+1}} \ar[r] & F_k \ar[d]_{^\exists f_{k}} \ar[r] & F_{k-1} \ar[d]_{^\exists f_{k-1}}\ar[r] & \cdots \ar[r] & F_0 \ar[d]_{^\exists f_{0}}\ar[r] & A \ar[d]_{\text{id}_A} \ar[r] & 0\\ & 0 \ar[r] & B \ar[r] & M_k \ar[r] & \cdots \ar[r] & M_1 \ar[r] & A \ar[r] & 0 } \end{xy}$$

　同様に同値類を考えられるのだろうか？これもテキストに書かれていなかったので分からないが，単位元が想像できない．逆元はたぶん交代的に符合が入れ違いになることが想像できる．

参考
・福井敏純，”幾何学C"（ https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/GeometryC.pdf )