非負の整数解の個数

$r=0,1,\cdots ,p-1$，$s=0,1,\cdots ,q-1$で，
$x=qX+r,y=pY+s$
とおくと，
$$X+Y\leqq N-(\frac{r}{q}+\frac{s}{p})$$
$(r,s)=(0,0)$のときに限って，
$$X+Y\leqq N$$
これ以外は，
$$0<\frac{r}{q}+\frac{s}{p}<1,1<\frac{r}{q}+\frac{s}{p}<2$$
のとき．
$s=s^{\prime }>0$のとき，$$1<\frac{r}{q}+\frac{s^{\prime }}{p}<2$$
のときを考えると，
$$0<\frac{k-1}{q}+\frac{s^{\prime }}{p}<1<\frac{k}{q}+\frac{s^{\prime }}{p}<2$$
をみたす$k$が存在するので，$r=k,\cdots ,q-1$の$q-k$個.
$s=p-s^{\prime }>0$のとき，
$$0<\frac{q-k}{q}+\frac{p-s^{\prime }}{p}<1<\frac{q-k+1}{q}+\frac{p-s^{\prime }}{p}<2$$
をみたす$k$が存在するので，$r=k,\cdots ,q-1$の$k-1$個.
$s=s^{\prime },p-s^{\prime }$のとき合わせて，$q-k+(k-1)=q-1$個あるので，
$s=1,2,\cdots ,p-1$の$p-1$個を渡って，和をとると，
$$\frac{(p-1)(q-1)}{2}$$
以上から，
$X+Y\leqq N$のとき，１個
$X+Y\leqq N-2$のとき，$\frac{(p-1)(q-1)}{2}=m$個
$X+Y\leqq N-1$のとき，$pq-m-1$個
和をとると，
$${}_{N+2}{\mathrm{C}}_2+(pq-m-1){}_{N+1}{\mathrm{C}}_2+m{}_N{\mathrm{C}}_2$$
$$=\frac{pq{N}^2+(p+q+1)N+2}{2}$$