非負の整数解の個数

$r=0 , 1 , \cdots,p-1 $，$s=0,1,\cdots,q-1$で，
$x=qX+r , y=pY+s$
とおくと，
$$X+Y \leqq N-( \frac{r}{q}+ \frac{s}{p} )$$
$(r,s)=(0,0)$のときに限って，
$$X+Y \leqq N$$
これ以外は，
$$0 \lt \frac{r}{q}+ \frac{s}{p} \lt1 , 1 \lt \frac{r}{q}+ \frac{s}{p} \lt2 $$
のとき．
$s=s' \gt 0$のとき，$$ 1 \lt \frac{r}{q}+ \frac{s'}{p} \lt2 $$
のときを考えると，
$$0 \lt \frac{k-1}{q}+ \frac{s'}{p} \lt1\lt \frac{k}{q}+ \frac{s'}{p} \lt2 $$
をみたす$k$が存在するので，$r=k, \cdots,q-1 $の$q-k$個.
$s=p-s' \gt 0$のとき，
$$0 \lt \frac{q-k}{q}+ \frac{p-s'}{p} \lt 1 \lt \frac{q-k+1}{q}+ \frac{p-s'}{p} \lt2 $$
をみたす$k$が存在するので，$r=k, \cdots,q-1 $の$k-1$個.
$s=s',p-s'$のとき合わせて，$q-k+(k-1)=q-1$個あるので，
$s=1,2, \cdots ,p-1$の$p-1$個を渡って，和をとると，
$$\frac{(p-1)(q-1)}{2}$$
以上から，
$X+Y \leqq N$のとき，１個
$X+Y \leqq N-2$のとき，$ \frac{(p-1)(q-1)}{2}=m$個
$X+Y \leqq N-1$のとき，$ pq-m-1$個
和をとると，
$$ {}_{N+2} \mathrm{ C }_2+{(pq-m-1)}{}_{N+1} \mathrm{ C }_2+m{}_{N} \mathrm{ C }_2 $$
$$= \frac{pqN^2+(p+q+1)N+2}{2} $$