2019 ISL A1
以下は僕の解答であり、最善であるとは限りません。逆にいろいろと教えてほしいです。
この記事の目的は個人的なメモでありながら、気になる方々のために出来るだけ思考をわかりやすく説明することです。
よろしくお願いします :)
問題
$f:\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z$であって任意の$x,y\in\mathbb Z$について
$$
f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b))
$$
を満たすものを全て求めよ。
考察
色々代入してみる。
すると、気が付いた：左辺が対称じゃない。右辺は対称。
じゃあ対称的な式に表せそう。
$f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b)) = f(2b) + 2f(a)$
$f(2a) + 2f(b) = f(2b) + 2f(a)$
いろいろ代入しよう。
$b=0$で$f(2a)-2f(a) = -f(0)$となる。
じゃあ $f(2a) = 2f(a) - f(0)$ そして $2f(a) = f(2a)+f(0)$となる。
わざわざ分けて書いた理由は個人的にあとから代入しやすくなるから。
いろいろ代入してみよう。
与式の項に見つけた式を代入しみる。
$2f(a) + 2f(b) + f(0) = f(f(a+b))$
対称的な式にできた。
またいろいろ代入していく。
$b=0$で$2f(a) + 3f(0) = f(f(a))$となる。
じゃあ$f(f(a+b)) = 2f(a+b) + 3f(0)$。
代入すると$2f(a) + 2f(b) + f(0) = 2f(a+b)+3f(0) \iff f(a)+f(b) = f(a+b)-f(0)$
コーシーだ。
$g(x) = f(x)-f(0)$と定めると、コーシーで答えが求められる。
何を学ぶか
・一辺が対象だと、関数方程式全体を対称にしてみるといいかも。
・代入に対する直観があれば結構あっているかも、信じてみよう。
・与式を忘れずに、その式をどんどん求めた形で変換していく。
