【基礎】エネルギーと質量の関係式を導く①～原子編～「高校物理」

質量$M$で, 光を吸収する静止物体に, 振動数$\nu$の光子を左右から当てる. すると$M$の運動量は変化せず, エネルギーは$\mathrm{\Delta }E=2ϵ$だけ増加する. (ただし, $ϵ=h\nu$)

つぎに, この現象を$-y$方向に速さ$v$で動く座標系$x^{\prime }-y^{\prime }$から見る. このとき, $x^{\prime }-y^{\prime }$座標から見ると, $M$は速さ$v$で$+y$方向に動いて見える. すると$M$の運動量は$\mathrm{\Delta }P$だけ増加する. 光子の運動量の大きさを$p$, その$y^{\prime }$成分を$p_{y^{\prime }}$として,
$$\mathrm{\Delta }P=2p_{y^{\prime }}=2p\cos \theta =2p\times \frac{v}{c}=2\frac{ϵ}{c}\times \frac{v}{c}=\frac{2ϵ}{c^2}v=\frac{\mathrm{\Delta }E}{c^2}v\cdots (1)$$
速さ$v$で動く座標系$x^{\prime }-y^{\prime }$から見た図

ところで, $M$は静止物体であったから, 増加した運動量$\mathrm{\Delta }P$のうち, 変化したのは$M$の質量である. つまり,
$$\mathrm{\Delta }P=\mathrm{\Delta }M\times v\cdots (2)$$

$(1)$と$(2)$より, $\mathrm{\Delta }E=\mathrm{\Delta }M{c}^2$が得られる.