自作問題（高校数学＋α）

$\fbox{1}$領域Dを以下のように定義する
　　$x\leqq 2, y\leq k,x+2y-2k+2\geqq0 \ (k\in\mathbb{R})$
また$y=\displaystyle\frac12x^2$の放物線を平行移動した放物線をCとして
Cは次の条件①,②を満たす
　　①Cの頂点P(p,q)は領域Dの周及び内部にある
　　②点(1,3)を通る
(1)このようなCが存在するときのkの範囲を求めよ
(2)kが(1)で求めた範囲内にあるとする
　 qの最大値と、その値をとるときのpの値をそれぞれkで表せ

$\fbox2$数列$\{a_n\}$を以下のように定義する
　　$\displaystyle\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \prod_{k=1}^{n}a_k=\sqrt{a_{n+1}\prod_{k=1}^n(a_k-a_{k+1})} \\ a_1=1 \end{array} \right. \end{eqnarray}$
(1)$a_n$の一般項を求めよ
(2)$n^\frac n2\leqq n!\leqq\displaystyle \left(\frac{1+n}2\right)^n$を示せ

$\fbox3$１辺の長さ１の正三角形ABCについて
辺AB,BC,CA上に三点P,Q,Rを
　　AP+BQ+CR=1
となるようにとる
このとき$\triangle$PQRが$\triangle$ABCの重心を含む確率を求めよ

$\fbox4$ $k\in\mathbb{R}$について直線$l$を$y=kx$、円Ｃを$(x-2)^2+(y-2)^2=\displaystyle\frac14$とする
直線$l$と円Cが異なる二点で交わるとき
(1)kの範囲を求めよ
中心が円Cの周及び内部にあり、二点A,Bを通る円をC'とする
円C'の円周が動ける範囲の面積をS(k)とする
(2)S(k)の最小値とそのときのkの値を求めよ

$\fbox5$n$\in \mathbb{N}$,k$\in \mathbb{N},k\leqq n$とする
数直線上で動点$P_n$が原点$O$から正の向きに$a_{n,k}$進み、
その後負の向きに$ \displaystyle\frac{(a_{n,k})^2}{n}$ 進み、その後正の向きに$\displaystyle\frac{(a_{n,k})^3}{n^2}\cdots$進む
この運動を限りなく続けるとき$P_n$が近づく点の座標を$a_{n,k+1}$とする
但し、$P_n$が定点に近づかない場合$a_{n,k+1}=0$とする
任意のnについて$a_{n,1}$=1として以下の問いについて考えよ
(1)任意のn,k$\in\mathbb{N}$について0<$a_{n,k}\leqq$1を示せ
(2)$a_{n,k}$を求めよ
数列$\displaystyle\left\{\frac1{a_{n,k}}\right\}$のkについての相加平均を$T_n$相乗平均を$S_n$とする
(3)ⅰ)$\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_n$を求めよ
　 ⅱ)$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ

$\fbox6$n$\in\mathbb{N}$として実数係数の多項式$f_n(x)$を
　　$f_n(x)-(2x+1)f_n'(x)$=$(1-4n^2)x^n\cdots$①
を満たすよう定義する
(1)$f_n(x)$はn次多項式であることを示せ
(2)$f_n(0)$を求めよ
(3)$\displaystyle\sum^n_{k=1}{}_{2k}C_kf_{k}(0)$を求めよ

$\fbox7$鋭角三角形ABCの重心をG、外心をOとする
ここで点Oについて辺BC,CA,ABと対称な点をそれぞれ点A',B',C'とする
このとき$\triangle$A'B'C'の重心をG'、外心をO'とすると
線分OO',GG'の中点は一致することを示せ

$\fbox8$二人の人A,Bが以下の条件を満たしながらカードを交換する
　ⅰ)最初にAは$\fbox2,\fbox4$、Bは$\fbox1,\fbox3$が表に書かれたカードを裏にして持つ
　$ⅱ)$確率pで表が出るコインを投げる
　$ⅲ)$コインが表を出したときA,Bは互いのカードを交換する
　　　裏が出たときA,Bはカードを交換しない
　$ⅳ)$操作$ⅱ),ⅲ)$を合計n回繰り返す
A,Bはそれぞれ$\displaystyle\frac12$の確率で相手の2枚のカードの内
1方を選んだ後、互いに指定したカードを交換する
以下のルールの公平性を調べよ
(1)奇数のカードの枚数が多いほうが勝ち
(2)自身のカードの数の和が多いほうが勝ち
(3)(1)(2)より任意のn,pについて公平となるようなルールを挙げよ
但し、任意のn,pであってもA,Bの勝負が決しないルールは公平でない

$\fbox9$AB=$15$,BC=11$\sqrt5$,CA=$10\sqrt5 $の$\triangle$ABCを考える
(1)$\cos\angle A$の値を求めよ、又$\triangle$ABCの外接円Pの直径を求めよ
$\angle A$の角の三等分線と辺BCの交点のうち点Bに近いほうから点D,Eとして
$\angle $ BAD= $\theta$とする
(2)$\sin \theta$の分母の値を予想し、$\sin\theta$を求めよ
(3)AD=x,AE=yとする
ⅰ)$\triangle$ABCの面積をx,yで表せ
ⅱ)BD:DE:ECの値をx,yで表しBDをxを用いて表せ
ⅲ)x,yを求めよ
円Pと直線AD,AEの交点のうち点Aでない方をそれぞれ点S,Tとする
又、直線ASと直線BTの交点をUとする
(4)ⅰ)ATの長さを求めよ
　 ⅱ)$\triangle$BSUの面積を求めよ

$\fbox{10}$xy座標平面上に原点を中心とする半径1の円を考え、その円に内接する正n角形T
について以下の運動を行う

0秒から2$\pi$秒までのTの通過範囲と、Tを底面とする高さ2$\pi$の正n角柱の共通範囲
の体積の大きさを$V_n$とする
(1)$V_3$を求めよ
(2)$V_n$ を求めよ(但し答えのみでよい)
(3)$\displaystyle\lim_{n\to\infty}V_n$を求めよ

$\fbox{11}f(x)=1+x^2+x^a+x^b(a,b\in\mathbb{N},a\leqq b)$とする
$f(2)$が平方数であることは任意の$n\in\mathbb{N}$で$f(n)$が平方数であることと
同値であることを示せ

$\fbox{12}$数列$\left\{a_n\right\}$を
　　$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_1=c \ (c>1) \\ a_{n+1}=\log a_n+1 \end{array} \right. \end{eqnarray}$
と定義する
単調減少で下に有界な数列は収束するとして以下の問いに答えよ
(1)$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ
(2)$\displaystyle\frac{a_n-a_{n+1}}{a_n}< a_{n+1}-a_{n+2}<\frac{a_n-a_{n+1}}{a_{n+1}}$を示せ
(3)$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(-n+\sum^n_{k=1}a_k\right)$の極値を調べよ

$\fbox{13}$0でない実数x,y,zが
　　$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^3+y^3+z^3=\displaystyle-\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right) \\ x+y+z=0 \end{array} \right. \end{eqnarray}$
を満たすとする
このとき$x^3+y^3+z^3$の取りうる値の範囲を求めよ

$\fbox{14}$一辺の長さ１の立方体ABCD-EFGHについて
面EFGHを底面としてこの立方体に内接する円錐を考える
この円錐上の点Pについて4平面ABFE,BCGF,CDHG,DAEHに対し対称な点
を結んだ四角形の周及び内部からなる領域の動きうる範囲の体積を求めよ

$\fbox{15}n,m\in\mathbb{N}$として$1+n$個の箱の中に$m$個のボールを入れる
箱は互いに区別するものとして以下の問いに答えよ
(1)n=3のとき空箱が生じる場合の数を求めよ
(2)n=3の時m=1,2,3で空箱が生じる場合の数は$4^m$と等しくなる。なぜか？
(3)m<nのとき$\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k{}_nC_kk^m=0$が成り立つことをを示せ

$\fbox{16}-2\leqq s\leqq1,-1\leqq t \leqq2$を満たすs,tについて
　　　　　　　$as^2-2a^2s-1=t^2-2t+b$
を満たすような組が存在するとき(a,b)の存在範囲を図示せよ

$\fbox{17}$(1)$n\in\mathbb{N}$として$a_0,a_1,\cdots a_n\in\mathbb{Z}$について
　　　　$\displaystyle\sum^{2n-1}_{k=0}a_k10^k\equiv\sum^{n-1}_{k=0}(a_k+a_{n+k})10^k \ \ \ (\mathrm{mod}10^n-1)$
　　を示せ
　　(2)任意の$n\in\mathbb{N}$で$n$ごとに適切な$a\in\mathbb{N}$を選べば$ a,2a,\cdots na$の全てにおいて各位の和が一致することを示せ

$\fbox{18}$(1)単位円周上の点Pと点(2,0)の垂直二等分線の通過領域を示せ
　　(2)2点P,Aの垂直二等分線と直線OPの交点は(1)の境界線上にあることを示せ

$\fbox{19}a\in\mathbb{R}$について楕円$L_1$を$x^2+4y^2=16$、双曲線$L_2$を$(x-a)^2-y^2=1$とする
このとき$L_1,L_2$の交点をすべて通る円を$C$とする
(1)円$C$が1通りに定まるとき、aの範囲を求めよ
以下、$a$が(1)で求めた範囲にあるとする
(2)$C$の方程式をaで表せ
(3)$C$の通過領域を図示せよ

$\fbox{20}$複素数z($\neq$0,1)は
　　　　$\displaystyle\frac1{\mid1-z\mid}-\frac1{\mid1-\frac1z\mid}=\frac12$
を満たすとする
ここで$\omega=\displaystyle\frac{1+z}{1-z}$とする
(1)$\mid z\mid=a$として$z+\overline z$をaを用いて表せ
(2)$\displaystyle a=\frac12,\frac13$のときの$\omega$が表す点をすべて通る実軸、虚軸に対称な双曲線の焦点を求めよ
(3)$\omega$は同一双曲線上にあることを示せ

$\fbox{21}$１辺の長さが１の立方体の頂点の一つをOとする
点Oを含む異なる３辺上にそれぞれ動点P,Qと定点RをOP=x,OQ=y,OR=1となるようにとる
(1)$\displaystyle\frac1{x^2}+\frac1{y^2}=k(2\leqq k \leqq 3)$のとき線分PQが動きうる範囲を示せ
平面PQRが点Oを中心とする半径$\displaystyle\frac12$の球の内部と共通部分をもたないとする
(2)線分PQが動きうる領域を示せ

$\fbox{22}n=0,1,2,\cdots$について数列$\{a_n\}\{b_n\}$を
　　　$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_0,b_0\in\mathbb{R} \\ a_{n+1}=\displaystyle\frac1{1-a_n+b_n} \\ b_{n+1}=\displaystyle\frac1{1+a_n-b_n} \end{array} \right. \end{eqnarray}$
として定義する
任意の3以上の自然数mについて、
　　　　　　　　　$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_1=a_m \\ b_1=b_m\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$
を満たす組$(a_1,b_1)$は少なくとも$2^{m-1}-1$組存在することを示

$\fbox{23}$$(1)\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-\log x}dx\leqq\frac32$を示せ
　　 $(2)\displaystyle\sqrt\pi\leqq\sqrt{\frac2{{e}}}+\frac3{e}$を示せ。但し、$\displaystyle\int_0^\infty\sqrt{x}e^{-x}dx=\left(\frac12\right)!=\frac{\sqrt\pi}2$は既知として良い

$\fbox{24}$nを自然数としてaを8で割って1余らない正の奇数とする
$(1)n!+a$が平方数となるようなnは多くても2個までしか存在しないことを示せ。
$(2)a\leqq2025$とする。任意のnについて$n!+a$が平方数とならないようなaの個数を求めよ

$\fbox{25}\angle$BCAが鈍角の三角形について$\angle$CAB$=\theta$,BC=a,CA=b,BA=cとする
今、$\angle$CABをn等分する直線を考え、この直線と辺BCの交点を点Bから近い方から$\mathrm{B_1,B_2,\cdots B_{n-1}}$とする。また、点Bを$\mathrm{B_0}$点Cを$\mathrm{B_n}$として数列{$a_n$}を
　　　　　　　　　$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_0=c \\ a_k=\mathrm{AB_k} (k=1,2,\cdots n-1)\\ a_n=b\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$
と定義する
(1)連比$\mathrm{BB_1:B_1B_2\cdots :B_{n-1}B_n}$を求めよ
(2)$\mathrm{B_k B_{k+1}}(k=0,1,\cdots n-1)$の長さを$a_k,a_{k+1}$を用いて表せ
(3)$\displaystyle\frac1{\cos \frac\theta n+\sqrt{(\frac{a}{b\sin \theta})^2-1}\sin\frac{\theta}{n}}\leqq\frac{a_{k+1}}{a_k}\leqq\frac1{\cos\frac\theta{n}+\sqrt{(\frac{a}{c\sin\theta})^2-1}\sin\frac{\theta}{n}}$を示せ
(4)$f(x)=be^{\frac\theta{x\sin\theta}\sqrt{a^2-x^2\sin^2\theta}}$として$f(c)\leqq c\leqq f(b) $が成り立つことを示せ

$\fbox{26}$一辺の長さ1の立方体$\mathrm{ABCD-EFGH}$について辺$\mathrm{AB,AD,AE}$上にそれぞれ点$\mathrm{P,Q,R}$を
　　　　　$\displaystyle\frac1{\mathrm{AP}}+\frac1{\mathrm{AQ}}+\frac1{\mathrm{AR}}\leqq4$
を満たすように取る
このとき、平面$\mathrm{PQR}$の動きうる体積を求めよ