OMC対策（A分野：因数定理の応用）

本記事の前提知識

剰余の定理

1.　整式$P(x)$を$1$次式$x-a$で割った余りは$P(a)$．
2.　整式$P(x)$を$1$次式$ax+b$で割った余りは$P\left(-\dfrac{b}{a}\right)$．

（確認問題）この定理を証明せよ．

証明

　整式$P(x)$を$x-a$で割った商を$Q(x)$，余りを$R$とおく（$1$次式で割っているので，余りは定数項である）．すなわち$P(x)=(x-a)Q(x)+R$とおく．この式に$x=a$を代入すれば，余り$R=P(a)$である．
　2.の証明もほぼ同様なので省略する．

因数定理

　整式$P(x)$が$x-a$を因数にもつ（$x-a$で割り切れる）ことと，$P(a)=0$を満たすことは同値である．

（確認問題）この定理を証明せよ．

証明

　$P(x)=(x-a)Q(x)+R$とおくと，$P(a)=0 \iff R=0$である．
　$R=0$であることは，$P(x)=(x-a)Q(x)$すなわち$P(x)$が$x-a$を因数にもつことを意味する．

　以上，二つの定理を前提知識としたが，これらはどちらも大学受験で言えば基本レベルの定理である．
　今回の記事は，これらの定理の応用編と言うべきものであり，大学受験で役立つこともあるかもしれない．

応用その１．関数の決定

　$3$点$(0,0),(1,1),(2,4)$を通る$2$次関数を決定せよ．

　この問題を解く基本的な方法は，決定すべき関数を$y=ax^2+bx+c$とおいて，$3$点を代入するものである．そうすれば$a,b,c$に関する連立方程式が得られるので，それを解けば$2$次関数が決定される．
　しかし，もし$3$点ともが$y=x^2$を満たすことに気付けば，これで終わりである．相異なる$3$点を通る$2$次関数は一つに決定されるためである．

　では，次の問題はどうだろうか．

　$4$点$(0,0),(1,1),(2,4),(3,7)$を通る$3$次関数を決定せよ．

　この問題は，例１の発展バージョンである．
　もし最後の点が$(3,9)$であれば，そのような$3$次の関数は存在せず，$y=x^2$が答えとなる．しかし本問では，最後の点が$(3,7)$となっている．
　もちろん$y=ax^3+bx^2+cx+d$と置いて，$4$点を代入する手段はある．しかし$(0,0),(1,1),(2,4)$を通るという条件を，どうにか活用できないだろうか．
　ある程度"良い"条件がわかっているときに，それらを活用して関数の決定をしたい，というのが今回の記事の核である．
　例２をここで解いてしまうこともできるが，この問題は練習問題としてあとに残しておきたい．

　次の問題はどうだろうか．

　$3$点$(2,0),(3,0),(4,4)$を通る$2$次関数を決定せよ．

　これくらいの問題であれば，普通の数学Ⅰの教科書や問題集に載っているかもしれない．決定すべき関数を$y=ax^2+bx+c$とおいて$3$点を代入するより，ちょっとした工夫ができる．
　それは，決定すべき関数を$y=a(x-2)(x-3)$と置くことである．こう置けば，あとは$(4,4)$を代入すれば$a=2$が決まり，$y=2(x-2)(x-3)$が答えだとわかる．
　この工夫の素晴らしい点は，$y=ax^2+bx+c$と置く場合に比べて，未知数の数が$2$つも少なくなるところにある．$(2,0),(3,0)$を通るという条件だけを生かして，$y=a(x-2)(x-3)$と置く技を，ぜひとも覚えておいてほしい（大学入試でもしばしば使える技である）．

　なお（少し大げさな表現ではあるが，）このアイディアに因数定理が使われていることは明記しておく．
　問題文の条件を満たす$2$次式$P(x)$は，$P(2)=0$を満たすので$x-2$を因数にもち，$P(3)=0$を満たすので$x-3$を因数にもつ．これらを利用して，$P(x)=a(x-2)(x-3)$と置けたのである．

　では，この問題を参考にして，次の問題を解けるだろうか．ぜひとも考えてから解答を見てほしい．

　$3$点$(2,1),(3,1),(0,7)$を通る$2$次関数を決定せよ．

解説

　決定すべき関数を$y=a(x-2)(x-3)+1$と置くのが工夫である．
　こうすることで，$(2,1),(3,1)$を通るという条件は使い切っている．あとは$(0,7)$を代入して，$a=1$を得る．求めるべき解答は$y=(x-2)(x-3)+1$である．
　なお数学のテストであれば，この解答では減点される可能性が高い．きちんと展開して$y=x^2-5x+7$とした方がよいだろう．

　次の問題も，工夫できるだろうか．

　$3$点$(1,1),(2,2),(4,16)$を通る$2$次関数を決定せよ．

ヒント１

　$(1,1),(2,2)$を通る条件を上手く使いたい．
　当然だが，この二点が満たしている条件は$y=x$である．

ヒント２

　$y=P(x)+x$と置いてみると$P(1),P(2)$はいくつになるだろうか．

解説

　$y=P(x)+x$と置く．
　誤解しないでほしいが，求めるべき関数$ax^2+bx+c$は，$P(x)$ではなく，$P(x)+x$全てである．
　つまり，方程式$y=P(x)+x$が$(1,1),(2,2),(4,16)$を通るということである．
　さて，ここで$y=P(x)+x$に$(1,1),(2,2)$を代入するとどうなるか．答えは，$P(1)=P(2)=0$である．つまり因数定理から$P(x)=a(x-1)(x-2)$と置けるのである．
　ということで，決定すべき$2$次関数は$y=a(x-1)(x-2)+x$と置ける．あとは$(4,16)$を代入することで$a=2$を得る．答えは$y=2(x-1)(x-2)+x=2x^2-5x+4$である．

　ここまでを理解していれば，先ほど飛ばした例２を工夫して解けるはずだ．
　改めて考えてみてほしい．

例2（再掲）

　$4$点$(0,0),(1,1),(2,4),(3,7)$を通る$3$次関数を決定せよ．

解説

　$y=P(x)+x^2$と置くと，$P(0)=P(1)=P(2)=0$を得る．よって，決定すべき$3$次関数は$y=ax(x-1)(x-2)+x^2$と置ける．
　$(3,7)$を代入すると$7=6a+9$となり，$a=-\dfrac{1}{3}$である．よって求めるべき関数は$y=-\dfrac{1}{3}x(x-1)(x-2)+x^2$である．

　このように，関数を決定する際に，既にある条件をうまく生かして文字数を減らすという技が，因数定理の応用その１である．

OMCの例題

OMC209(B) ←公式解説は因数定理そのものではないが，解説Youtubeの方針は因数定理を使っている．
OMCB038(F)
OMCB031(C)

応用その２．代入を楽に

　$x^2-6x+4=0$の解を$\alpha,\beta$とするとき，$(\alpha+3)(\beta+3)$の値を求めよ．

　この問題を，解と係数の関係の問題ではなく，因数定理の問題として解けるだろうか．
　このヒントだけで，少しでも方針が思い浮かんだ人は，その方針を試してみてほしい．さっぱりわからないという人は，解説を読んだ方がよいだろう．

解説

　$P(x)=x^2-6x+4$とおく．因数定理より$x^2-6x+4=(x-\alpha)(x-\beta)$である．
　いま求めたい値は，$(\alpha+3)(\beta+3)=P(-3)$であり，その値は$31$である．

　この解説を読んでも，「解と係数の関係を使った方が早いのでは…」という人はいるかもしれない．では，次の問題だとどうだろう．

　$x^4-6x+4=0$の解を$\alpha,\beta,\gamma,\delta$とするとき，$(\alpha+2)(\beta+2)(\gamma+2)(\delta+2)$の値を求めよ．

解説１

　実は，因数定理だろうが解と係数の関係だろうが，この問題なら大差ない．そういうわけで，両方の方針を記しておく．
　まず因数定理の方針であれば，$x^4-6x+4=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)$と置いて，$x=-2$を代入すればよいので，値は$32$である．
　次に解と係数の関係を使う場合は，$1,2$次の対称式が$0$になるので，
　$(\alpha+2)(\beta+2)(\gamma+2)(\delta+2)=\alpha \beta \gamma \delta+2(\alpha+\beta+\gamma+\delta)+16=32$である．

　ここで読者の皆さんに次の問いである．「因数定理を使った方が楽である」と言えるような例を作ってほしい（そのような例を解説２に記す）．

解説２

　基本対称式が$0$にならないように，全ての係数を$0$でなくすのは一案である．例として$x^4+x^3+x^2-6x+4$．
　また，$4$次の係数を$1$でなくす方法もあるだろう．

　以下にOMCの例題をいくつか置いておくので，ぜひ解いてみてほしい．

OMCの例題

OMC201(F) ←応用２の難しめの例題
OMC143(E) ←今回の応用１，２の複合
OMC058(C) ←今回のテーマと少しずれるかもしれない