OMC対策（A分野：因数定理の応用）

本記事の前提知識

　以上，二つの定理を前提知識としたが，これらはどちらも大学受験で言えば基本レベルの定理である．
　今回の記事は，これらの定理の応用編と言うべきものであり，大学受験で役立つこともあるかもしれない．

応用その１．関数の決定

　この問題を解く基本的な方法は，決定すべき関数を$y=a{x}^2+bx+c$とおいて，$3$点を代入するものである．そうすれば$a,b,c$に関する連立方程式が得られるので，それを解けば$2$次関数が決定される．
　しかし，もし$3$点ともが$y=x^2$を満たすことに気付けば，これで終わりである．相異なる$3$点を通る$2$次関数は一つに決定されるためである．

　では，次の問題はどうだろうか．

　この問題は，例１の発展バージョンである．
　もし最後の点が$(3,9)$であれば，そのような$3$次の関数は存在せず，$y=x^2$が答えとなる．しかし本問では，最後の点が$(3,7)$となっている．
　もちろん$y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$と置いて，$4$点を代入する手段はある．しかし$(0,0),(1,1),(2,4)$を通るという条件を，どうにか活用できないだろうか．
　ある程度"良い"条件がわかっているときに，それらを活用して関数の決定をしたい，というのが今回の記事の核である．
　例２をここで解いてしまうこともできるが，この問題は練習問題としてあとに残しておきたい．

　次の問題はどうだろうか．

　これくらいの問題であれば，普通の数学Ⅰの教科書や問題集に載っているかもしれない．決定すべき関数を$y=a{x}^2+bx+c$とおいて$3$点を代入するより，ちょっとした工夫ができる．
　それは，決定すべき関数を$y=a(x-2)(x-3)$と置くことである．こう置けば，あとは$(4,4)$を代入すれば$a=2$が決まり，$y=2(x-2)(x-3)$が答えだとわかる．
　この工夫の素晴らしい点は，$y=a{x}^2+bx+c$と置く場合に比べて，未知数の数が$2$つも少なくなるところにある．$(2,0),(3,0)$を通るという条件だけを生かして，$y=a(x-2)(x-3)$と置く技を，ぜひとも覚えておいてほしい（大学入試でもしばしば使える技である）．

　なお（少し大げさな表現ではあるが，）このアイディアに因数定理が使われていることは明記しておく．
　問題文の条件を満たす$2$次式$P(x)$は，$P(2)=0$を満たすので$x-2$を因数にもち，$P(3)=0$を満たすので$x-3$を因数にもつ．これらを利用して，$P(x)=a(x-2)(x-3)$と置けたのである．

　では，この問題を参考にして，次の問題を解けるだろうか．ぜひとも考えてから解答を見てほしい．

　次の問題も，工夫できるだろうか．

　ここまでを理解していれば，先ほど飛ばした例２を工夫して解けるはずだ．
　改めて考えてみてほしい．

　このように，関数を決定する際に，既にある条件をうまく生かして文字数を減らすという技が，因数定理の応用その１である．

応用その２．代入を楽に

　この問題を，解と係数の関係の問題ではなく，因数定理の問題として解けるだろうか．
　このヒントだけで，少しでも方針が思い浮かんだ人は，その方針を試してみてほしい．さっぱりわからないという人は，解説を読んだ方がよいだろう．

　以下にOMCの例題をいくつか置いておくので，ぜひ解いてみてほしい．

おまけ

　次の性質は，OMCでたまに見かけるので書いておく．証明はそんなに難しくないので，初めて見た人は考えてみるとよいだろう．