8次方程式の判別式の導出(方法)

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

皆様ご機嫌よう。
良き $D i s c r i m i n a n t L i f e$ (ねっとり)を送っていらっしゃいますか？
皆様もご存じの通りですけれど、この偉大なる判別式様は任意の多項式に定めることができますのよ。
えぇ？意味がわからないとおっしゃいますの？…仕方ないですわね、説明していきますわよ。
さて、判別式は皆様ご存じの通り、多項式に重解が存在するかどうかを判定できる式ですわ。
ただ、これは有名なのは2次方程式のものですし、人によっては「解の公式は4次までしかないから判別式だって4次までじゃないの」、と思うかもしれませんけれど、そうじゃありませんのよ。
と、いうのも先ず $R e s u l t a n t$ というものが存在していますわ。
日本語では終結式と呼びますのよ。
古くは $E l i m i n a n t$ (消去式)と呼んだそうですけれども、現代においては終結式と呼ぶそうですわ。
こちら、任意の二つの多項式が共通根を持つ条件を示す事ができますわ。

終結式の性質

以下、 $R e s$ は終結式とし、 $f (x), g (x)$ はともに多項式とする
$\forall f, g [\exists α, R e s (f, g) = 0 ⟹ f (α) = g (α) = 0]$

まあこういうことですわよ(述語論理の書き方になれておりませんので、間違っていたら穏やかにご指摘願いたいですわ)

念のため、重根の定義も振り返っておきますわよ。

重根

多項式f(x)について
$\exists n \geq 2, n \in N [f (x) = (x - α)^{n} g (x)]$
を満たす値 $n$ と多項式 $g (x)$ が存在するとき
多項式f(x)は $α$ において重根をもつ、といい特にg(x)が $α$ を根に持たないときそのような自然数nを根 $α$ の重複度という

さて、ここで以下の定理を用いることで判別式と終結式に関係があることが示唆できますわ。

$R e s (h, g)$ を多項式h,gの終結式とし、 $D_{h}$ を多項式hの判別式とするとき
$R e s (f, f^{'}) = 0 ⟺ D_{f} = 0$

証明は…簡単なので省きますわね
私自身良く理解していないので強くは言えないんですけれど、 $R e s (f, f^{'}) と D_{f}$ は定数倍の差を除いて等しいらしいですわ。
その定数はfの最高次の係数aとfの次数nを用いて
$\frac{(- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}}{a}$ と示せるそうですわ。
そして、終結式はシルベスター行列という行列を使うことで一般に示すことができますのよ。
練習も兼ねて、1次式の判別式を導出してみますわよ。

1次方程式の判別式

1次の多項式 $f (x) = a x + b$ について
その終結式 $R e s (f, f^{'})$ は行列
$\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} a \end{array}) \end{array}$
の行列式に一致する
1次の多項式において、 $\frac{D_{f}}{R e s (f, f^{'})} = \frac{1}{a}$
であるから
$D_{f} = 1$

言い換えると、一次方程式は常に重解を持たないということですわね。

さて、本題に入りますわ。
8次方程式の判別式を導出していきますわよ

8次方程式の判別式

8次の多項式
$f (x) = a_{0} x^{8} + a_{1} x^{7} + a_{2} x^{6} + a_{3} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{3} + a_{6} x^{2} + a_{7} x + a_{8}$
についてその導関数f'(x)は
$f^{'} (x) = 8 a_{0} x^{7} + 7 a_{1} x^{6} + 6 a_{2} x^{5} + 5 a_{3} x^{4} + 4 a_{4} x^{3} + 3 a_{5} x^{2} + 2 a_{6} x + a_{7}$
である。
この時、 $R e s (f, f^{'})$ は行列
$\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} & a_{6} & a_{7} & a_{8} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} & a_{6} & a_{7} & a_{8} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} & a_{6} & a_{7} & a_{8} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} & a_{6} & a_{7} & a_{8} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} & a_{6} & a_{7} & a_{8} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} & a_{6} & a_{7} & a_{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} & a_{6} & a_{7} & a_{8} \\ 8 a_{0} & 7 a_{1} & 6 a_{2} & 5 a_{3} & 4 a_{4} & 3 a_{5} & 2 a_{6} & a_{7} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 a_{0} & 7 a_{1} & 6 a_{2} & 5 a_{3} & 4 a_{4} & 3 a_{5} & 2 a_{6} & a_{7} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 a_{0} & 7 a_{1} & 6 a_{2} & 5 a_{3} & 4 a_{4} & 3 a_{5} & 2 a_{6} & a_{7} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8 a_{0} & 7 a_{1} & 6 a_{2} & 5 a_{3} & 4 a_{4} & 3 a_{5} & 2 a_{6} & a_{7} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 a_{0} & 7 a_{1} & 6 a_{2} & 5 a_{3} & 4 a_{4} & 3 a_{5} & 2 a_{6} & a_{7} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 8 a_{0} & 7 a_{1} & 6 a_{2} & 5 a_{3} & 4 a_{4} & 3 a_{5} & 2 a_{6} & a_{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 8 a_{0} & 7 a_{1} & 6 a_{2} & 5 a_{3} & 4 a_{4} & 3 a_{5} & 2 a_{6} & a_{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 8 a_{0} & 7 a_{1} & 6 a_{2} & 5 a_{3} & 4 a_{4} & 3 a_{5} & 2 a_{6} & a_{7} \end{array}) \end{array}$
の行列式に等しい
これは15次正方行列であるため、その項数は15!=1307674368000になる

…できるわけなくてよ。
このように、一般にn次の多項式とその導関数の終結式の項数は愚直に計算すると(2(n-1))!になりますの。
6次方程式とかでしたら、まだ10!=3628800…これでもまだ厳しいですけれど、できない、ということはありませんわ。
私自身どうしてこんな事に手を染めたのかわかりませんわ。
ちなみに以下は6次方程式の判別式でしてよ。
こういったものを見て気分が宜しくなる奇特な方々のために載せておきますわね。
それでは、ご機嫌よう。・
$729 a^{2} g^{2} d^{18} + 108 a^{2} f^{3} d^{15} + 108 b^{3} g^{2} d^{15} - 486 a b c g^{2} d^{15} - 486 a^{2} e f g d^{15} + 16 b^{3} f^{3} d^{12} - 72 a b c f^{3} d^{12} - 8748 a^{3} g^{3} d^{12} - 27 a^{2} e^{2} f^{2} d^{12} + 108 a c^{3} g^{2} d^{12} - 27 b^{2} c^{2} g^{2} d^{12} - 6318 a^{2} b f g^{2} d^{12} + 162 a b^{2} e g^{2} d^{12} - 4860 a^{2} c e g^{2} d^{12} + 162 a^{2} c f^{2} g d^{12} - 72 b^{3} e f g d^{12} + 324 a b c e f g d^{12} + 108 a^{2} e^{3} g d^{12} - 900 a^{2} b f^{4} d^{9} + 16 a c^{3} f^{3} d^{9} - 4 b^{2} c^{2} f^{3} d^{9} + 24 a b^{2} e f^{3} d^{9} - 630 a^{2} c e f^{3} d^{9} - 1350 a b^{3} g^{3} d^{9} + 21384 a^{2} b c g^{3} d^{9} - 4 b^{3} e^{2} f^{2} d^{9} + 18 a b c e^{2} f^{2} d^{9} - 900 b^{4} f g^{2} d^{9} + 5832 a^{2} c^{2} f g^{2} d^{9} + 3942 a b^{2} c f g^{2} d^{9} + 21384 a^{3} e f g^{2} d^{9} + 5832 a^{2} b e^{2} g^{2} d^{9} + 2808 a b c^{2} e g^{2} d^{9} - 630 b^{3} c e g^{2} d^{9} - 1350 a^{3} f^{3} g d^{9} - 108 a b c^{2} f^{2} g d^{9} + 24 b^{3} c f^{2} g d^{9} + 3942 a^{2} b e f^{2} g d^{9} - 108 a b^{2} e^{2} f g d^{9} + 2808 a^{2} c e^{2} f g d^{9} - 72 a c^{3} e f g d^{9} + 18 b^{2} c^{2} e f g d^{9} + 16 b^{3} e^{3} g d^{9} - 72 a b c e^{3} g d^{9} - 128 b^{4} f^{4} d^{6} + 825 a^{2} c^{2} f^{4} d^{6} + 560 a b^{2} c f^{4} d^{6} + 2250 a^{3} e f^{4} d^{6} + 34992 a^{4} g^{4} d^{6} + 1020 a^{2} b e^{2} f^{3} d^{6} + 356 a b c^{2} e f^{3} d^{6} - 80 b^{3} c e f^{3} d^{6} - 8640 a^{2} c^{3} g^{3} d^{6} - 9720 a b^{2} c^{2} g^{3} d^{6} + 2250 b^{4} c g^{3} d^{6} + 15552 a^{3} b f g^{3} d^{6} - 27540 a^{2} b^{2} e g^{3} d^{6} + 3888 a^{3} c e g^{3} d^{6} - 6 a b^{2} e^{3} f^{2} d^{6} + 144 a^{2} c e^{3} f^{2} d^{6} - 4 a c^{3} e^{2} f^{2} d^{6} + b^{2} c^{2} e^{2} f^{2} d^{6} + 15417 a^{2} b^{2} f^{2} g^{2} d^{6} - 27540 a^{3} c f^{2} g^{2} d^{6} - 4464 a b c^{3} f g^{2} d^{6} + 1020 b^{3} c^{2} f g^{2} d^{6} + 1980 a b^{3} e f g^{2} d^{6} - 22896 a^{2} b c e f g^{2} d^{6} - 8640 a^{3} e^{3} g^{2} d^{6} + 825 b^{4} e^{2} g^{2} d^{6} + 8208 a^{2} c^{2} e^{2} g^{2} d^{6} - 4536 a b^{2} c e^{2} g^{2} d^{6} - 576 a c^{4} e g^{2} d^{6} + 144 b^{2} c^{3} e g^{2} d^{6} - 208 a b^{3} f^{3} g d^{6} + 1980 a^{2} b c f^{3} g d^{6} + 24 a c^{4} f^{2} g d^{6} - 6 b^{2} c^{3} f^{2} g d^{6} - 9720 a^{3} e^{2} f^{2} g d^{6} + 560 b^{4} e f^{2} g d^{6} - 4536 a^{2} c^{2} e f^{2} g d^{6} - 2412 a b^{2} c e f^{2} g d^{6} - 4464 a^{2} b e^{3} f g d^{6} - 1584 a b c^{2} e^{2} f g d^{6} + 356 b^{3} c e^{2} f g d^{6} + 24 a b^{2} e^{4} g d^{6} - 576 a^{2} c e^{4} g d^{6} + 16 a c^{3} e^{3} g d^{6} - 4 b^{2} c^{2} e^{3} g d^{6} + 2000 a^{2} b^{2} f^{5} d^{3} - 3750 a^{3} c f^{5} d^{3} - 630 a b c^{3} f^{4} d^{3} + 144 b^{3} c^{2} f^{4} d^{3} + 160 a b^{3} e f^{4} d^{3} - 2050 a^{2} b c e f^{4} d^{3} + 27000 a^{2} b^{3} g^{4} d^{3} - 77760 a^{3} b c g^{4} d^{3} - 1600 a^{3} e^{3} f^{3} d^{3} + 144 b^{4} e^{2} f^{3} d^{3} + 560 a^{2} c^{2} e^{2} f^{3} d^{3} - 746 a b^{2} c e^{2} f^{3} d^{3} - 72 a c^{4} e f^{3} d^{3} + 18 b^{2} c^{3} e f^{3} d^{3} + 6912 a b c^{4} g^{3} d^{3} - 1600 b^{3} c^{3} g^{3} d^{3} + 2250 a b^{4} f g^{3} d^{3} + 46656 a^{3} c^{2} f g^{3} d^{3} - 31320 a^{2} b^{2} c f g^{3} d^{3} - 77760 a^{4} e f g^{3} d^{3} + 46656 a^{3} b e^{2} g^{3} d^{3} - 3750 b^{5} e g^{3} d^{3} - 3456 a^{2} b c^{2} e g^{3} d^{3} + 19800 a b^{3} c e g^{3} d^{3} - 192 a^{2} b e^{4} f^{2} d^{3} - 80 a b c^{2} e^{3} f^{2} d^{3} + 18 b^{3} c e^{3} f^{2} d^{3} + 27000 a^{4} f^{3} g^{2} d^{3} + 2000 b^{5} f^{2} g^{2} d^{3} + 16632 a^{2} b c^{2} f^{2} g^{2} d^{3} - 12330 a b^{3} c f^{2} g^{2} d^{3} - 31320 a^{3} b e f^{2} g^{2} d^{3} + 768 a c^{5} f g^{2} d^{3} - 192 b^{2} c^{4} f g^{2} d^{3} + 16632 a^{2} b^{2} e^{2} f g^{2} d^{3} - 3456 a^{3} c e^{2} f g^{2} d^{3} - 5760 a^{2} c^{3} e f g^{2} d^{3} + 10152 a b^{2} c^{2} e f g^{2} d^{3} - 2050 b^{4} c e f g^{2} d^{3} - 120 a b^{3} e^{3} g^{2} d^{3} - 5760 a^{2} b c e^{3} g^{2} d^{3} - 2496 a b c^{3} e^{2} g^{2} d^{3} + 560 b^{3} c^{2} e^{2} g^{2} d^{3} + 2250 a^{3} b f^{4} g d^{3} - 120 a^{2} c^{3} f^{3} g d^{3} - 682 a b^{2} c^{2} f^{3} g d^{3} + 160 b^{4} c f^{3} g d^{3} - 12330 a^{2} b^{2} e f^{3} g d^{3} + 19800 a^{3} c e f^{3} g d^{3} - 682 a b^{3} e^{2} f^{2} g d^{3} + 10152 a^{2} b c e^{2} f^{2} g d^{3} + 3272 a b c^{3} e f^{2} g d^{3} - 746 b^{3} c^{2} e f^{2} g d^{3} + 6912 a^{3} e^{4} f g d^{3} - 630 b^{4} e^{3} f g d^{3} - 2496 a^{2} c^{2} e^{3} f g d^{3} + 3272 a b^{2} c e^{3} f g d^{3} + 320 a c^{4} e^{2} f g d^{3} - 80 b^{2} c^{3} e^{2} f g d^{3} + 768 a^{2} b e^{5} g d^{3} + 320 a b c^{2} e^{4} g d^{3} - 72 b^{3} c e^{4} g d^{3} + 3125 a^{4} f^{6} + 256 b^{5} f^{5} + 2250 a^{2} b c^{2} f^{5} - 1600 a b^{3} c f^{5} - 2500 a^{3} b e f^{5} - 46656 a^{5} g^{5} + 108 a c^{5} f^{4} - 27 b^{2} c^{4} f^{4} - 50 a^{2} b^{2} e^{2} f^{4} + 2000 a^{3} c e^{2} f^{4} - 900 a^{2} c^{3} e f^{4} + 1020 a b^{2} c^{2} e f^{4} - 192 b^{4} c e f^{4} + 3125 b^{6} g^{4} - 13824 a^{3} c^{3} g^{4} + 43200 a^{2} b^{2} c^{2} g^{4} - 22500 a b^{4} c g^{4} + 38880 a^{4} b f g^{4} - 32400 a^{3} b^{2} e g^{4} + 62208 a^{4} c e g^{4} - 36 a b^{3} e^{3} f^{3} + 160 a^{2} b c e^{3} f^{3} + 24 a b c^{3} e^{2} f^{3} - 6 b^{3} c^{2} e^{2} f^{3} - 1024 a c^{6} g^{3} + 256 b^{2} c^{5} g^{3} + 540 a^{3} b^{2} f^{2} g^{3} - 32400 a^{4} c f^{2} g^{3} - 21888 a^{2} b c^{3} f g^{3} + 15600 a b^{3} c^{2} f g^{3} - 2500 b^{5} c f g^{3} - 1800 a^{2} b^{3} e f g^{3} + 31968 a^{3} b c e f g^{3} - 13824 a^{4} e^{3} g^{3} + 1500 a b^{4} e^{2} g^{3} - 17280 a^{3} c^{2} e^{2} g^{3} - 6480 a^{2} b^{2} c e^{2} g^{3} + 9216 a^{2} c^{4} e g^{3} - 10560 a b^{2} c^{3} e g^{3} + 2000 b^{4} c^{2} e g^{3} + 256 a^{3} e^{5} f^{2} - 27 b^{4} e^{4} f^{2} - 128 a^{2} c^{2} e^{4} f^{2} + 144 a b^{2} c e^{4} f^{2} + 16 a c^{4} e^{3} f^{2} - 4 b^{2} c^{3} e^{3} f^{2} + 410 a^{2} b^{3} f^{3} g^{2} - 1800 a^{3} b c f^{3} g^{2} - 192 a^{2} c^{4} f^{2} g^{2} + 248 a b^{2} c^{3} f^{2} g^{2} - 50 b^{4} c^{2} f^{2} g^{2} + 43200 a^{4} e^{2} f^{2} g^{2} - 1700 a b^{4} e f^{2} g^{2} - 6480 a^{3} c^{2} e f^{2} g^{2} + 8748 a^{2} b^{2} c e f^{2} g^{2} - 21888 a^{3} b e^{3} f g^{2} + 2250 b^{5} e^{2} f g^{2} + 15264 a^{2} b c^{2} e^{2} f g^{2} - 13040 a b^{3} c e^{2} f g^{2} - 640 a b c^{4} e f g^{2} + 160 b^{3} c^{3} e f g^{2} - 192 a^{2} b^{2} e^{4} g^{2} + 9216 a^{3} c e^{4} g^{2} - 4352 a^{2} c^{3} e^{3} g^{2} + 4816 a b^{2} c^{2} e^{3} g^{2} - 900 b^{4} c e^{3} g^{2} + 512 a c^{5} e^{2} g^{2} - 128 b^{2} c^{4} e^{2} g^{2} + 320 a b^{4} f^{4} g + 1500 a^{3} c^{2} f^{4} g - 1700 a^{2} b^{2} c f^{4} g - 22500 a^{4} e f^{4} g + 144 a b c^{4} f^{3} g - 36 b^{3} c^{3} f^{3} g + 15600 a^{3} b e^{2} f^{3} g - 1600 b^{5} e f^{3} g - 13040 a^{2} b c^{2} e f^{3} g + 9768 a b^{3} c e f^{3} g + 248 a^{2} b^{2} e^{3} f^{2} g - 10560 a^{3} c e^{3} f^{2} g + 4816 a^{2} c^{3} e^{2} f^{2} g - 5428 a b^{2} c^{2} e^{2} f^{2} g + 1020 b^{4} c e^{2} f^{2} g - 576 a c^{5} e f^{2} g + 144 b^{2} c^{4} e f^{2} g + 144 a b^{3} e^{4} f g - 640 a^{2} b c e^{4} f g - 96 a b c^{3} e^{3} f g + 24 b^{3} c^{2} e^{3} f g - 1024 a^{3} e^{6} g + 108 b^{4} e^{5} g + 512 a^{2} c^{2} e^{5} g - 576 a b^{2} c e^{5} g - 64 a c^{4} e^{4} g + 16 b^{2} c^{3} e^{4} g$

投稿日：2023年11月30日

更新日：2024年11月26日

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