積分　問題④

$$自然数nに対し、曲線y=e^{-x}\sin{x}の(n-1)\pi\leq x \leq n\piとx軸で囲まれた面積をS(n)とする$$
$$(1)F(x)=e^{-x}(\sin{x}+\cos{x})の導関数を求めなさい$$
$$(2)S(1)を求めなさい$$
$$(3)\sum_{n=1}^{\infty}S(n)を求めなさい$$

$$(1)$$
積の微分より、
$$F'(x)=e^{-x}(\cos{x}-\sin{x})-e^{-x}(\sin{x}+\cos{x})=-2e^{-x}\sin{x}$$
$(2)$
$$y=e^{-x}\sin{x}の0\leq x \leq \piとx軸で囲まれた面積を考えればよい。$$
$$0\leq x \leq \piでy\geq 0であるから$$
$$\int_{0}^{\pi}e^{-x}\sin{x}dx$$
$$=-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}F'(x)dx$$
$$=-\frac{1}{2}(F(\pi)-F(0))$$
$$=-\frac{1}{2}(-e^{-\pi}-1)$$
$$=\frac{e^{-\pi}+1}{2}$$

$(3)$
$$\sum_{n=1}^{\infty}S(n)=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}|e^{-x}\sin{x}|dx$$
$$=\sum_{n=1}^{\infty}(\int_{(2n-2)\pi}^{(2n-1)\pi}e^{-x}\sin{x}dx-\int_{(2n-1)\pi}^{2n\pi}e^{-x}\sin{x}dx)$$
$$=-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(\int_{(2n-2)\pi}^{2n-1\pi}F'(x)dx-\int_{(2n-1)\pi}^{2n\pi}F'(x)dx)$$
$$=-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(F((2n-1)\pi)-F((2n-2)\pi)-F(2n\pi)+F((2n-1)\pi))$$
$$=-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(-2e^{-2n\pi+\pi}-e^{-2n\pi+2\pi}-e^{-2n\pi})$$
$$=\frac{(e^{\pi}+1)^2}{2}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-2n\pi}$$
$$=\frac{(e^\pi+1)^2}{2}・\frac{e^{-2\pi}}{1-e^{-2\pi}}$$
$$=\frac{(e^\pi+1)^2}{2(e^\pi+1)(e^\pi-1)}$$
$$=\frac{e^\pi+1}{2(e^\pi-1)}$$