積分　問題④

$$自然数nに対し、曲線y=e^{-x}\sin xの(n-1)\pi \le x\le n\pi とx軸で囲まれた面積をS(n)とする$$
$$(1)F(x)=e^{-x}(\sin x+\cos x)の導関数を求めなさい$$
$$(2)S(1)を求めなさい$$
$$(3)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}S(n)を求めなさい$$

$$(1)$$
積の微分より、
$$F^{\prime }(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x)-e^{-x}(\sin x+\cos x)=-2e^{-x}\sin x$$
$(2)$
$$y=e^{-x}\sin xの0\le x\le \pi とx軸で囲まれた面積を考えればよい。$$
$$0\le x\le \pi でy\ge 0であるから$$
$${\int }_0^{\pi }{e}^{-x}\sin xdx$$
$$=-\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }{F}^{\prime }(x)dx$$
$$=-\frac{1}{2}(F(\pi )-F(0))$$
$$=-\frac{1}{2}(-e^{-\pi }-1)$$
$$=\frac{e^{-\pi }+1}{2}$$

$(3)$
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}S(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }|e^{-x}\sin x|dx$$
$$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}({\int }_{(2n-2)\pi }^{(2n-1)\pi }{e}^{-x}\sin xdx-{\int }_{(2n-1)\pi }^{2n\pi }{e}^{-x}\sin xdx)$$
$$=-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}({\int }_{(2n-2)\pi }^{2n-1\pi }{F}^{\prime }(x)dx-{\int }_{(2n-1)\pi }^{2n\pi }{F}^{\prime }(x)dx)$$
$$=-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(F((2n-1)\pi )-F((2n-2)\pi )-F(2n\pi )+F((2n-1)\pi ))$$
$$=-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-2e^{-2n\pi +\pi }-e^{-2n\pi +2\pi }-e^{-2n\pi })$$
$$=\frac{(e^{\pi }+1{)}^2}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2n\pi }$$
$$=\frac{(e^{\pi }+1{)}^2}{2}・\frac{e^{-2\pi }}{1-e^{-2\pi }}$$
$$=\frac{(e^{\pi }+1{)}^2}{2(e^{\pi }+1)(e^{\pi }-1)}$$
$$=\frac{e^{\pi }+1}{2(e^{\pi }-1)}$$