2重ゼータ関数の関数等式について

Mellin--Barnes 積分より,
\begin{align*} \Psi(a,c;x)&\coloneqq\frac{1}{\Gamma(a)}\int_0^\infty e^{-xt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}dt\\ &=\frac{1}{2\pi i\Gamma(a)}\int_0^\infty t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\Gamma(-s)(xt)^sdsdt\\ &=\frac{1}{2\pi i\Gamma(a)}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(-s)x^s\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(1-b-s)}{\Gamma(1+a-b)}ds\\ &=\frac{1}{\Gamma(a)}\sum_{0\le n}\left(\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(1-b-n)}{n!}(-z)^n+z^{1-b}\frac{\Gamma(b-1-n)\Gamma(1+a-b+n)}{n!}(-z)^n\right) \end{align*}
となる.

\begin{align} \int_0^{\infty e^{i\phi}}e^{-xt}t^{a-1}(1+t)^{c-a-1}dy \end{align}
の $(1+t)^{c-a-1}$ においてテイラーの定理を適用することで得る.

定理 3 を適用することで次のように変形できる.
\begin{align} F_\pm(u,v)&=\sum_{k=1}^\infty\sigma_{u+v-1}(k)\Psi(v,u+v;\pm2\pi ik)\\ &=\begin{multlined}[t]\sum_{k=1}^\infty\sigma_{u+v-1}(k)\sum_{\ell=0}^{N-1}\frac{(-1)^\ell(1-u)_\ell(v)_\ell}{\ell!}(\pm2\pi ik)^{-v-\ell}\\+\sum_{k=1}^\infty\sigma_{u+v-1}(k)\frac{(-1)^N(1-u)_N}{\Gamma(v)}\int_0^{\infty e^{i\phi}}e^{\mp2\pi iky}y^{v+N-1}\int_0^1\frac{(1-\tau)^{N-1}(1+\tau y)^{u-N-1}}{(N-1)!}d\tau dy \end{multlined}\\ &=\begin{multlined}[t]\sum_{n,m=1}^\infty n^{u+v-1}\sum_{\ell=0}^{N-1}\frac{(-1)^\ell(1-u)_\ell(v)_\ell}{\ell!}(\pm2\pi inm)^{-v-\ell}\\+\sum_{n,m=1}^\infty n^{u+v-1}\frac{(-1)^N(1-u)_N}{\Gamma(v)}\int_0^{\infty e^{i\phi}}e^{\mp2\pi inmy}y^{v+N-1}\int_0^1\frac{(1-\tau)^{N-1}(1+\tau y)^{u-N-1}}{(N-1)!}d\tau dy \end{multlined}\\ &=\begin{multlined}[t]\sum_{\ell=0}^{N-1}\frac{(-1)^\ell(1-u)_\ell(v)_\ell}{\ell!}(\pm2\pi i)^{-v-\ell}\zeta(\ell-u+1)\zeta(v+\ell)\\+\sum_{n,m=1}^\infty n^{u+v-1}\frac{(-1)^N(1-u)_N}{\Gamma(v)}\int_0^{\infty e^{i\phi}}e^{\mp2\pi inmy}y^{v+N-1}\int_0^1\frac{(1-\tau)^{N-1}(1+\tau y)^{u-N-1}}{(N-1)!}d\tau dy \end{multlined} \end{align}
第1項は Riemann ゼータ関数の積の有限個の和なのでこれで ok です. 残すは第2項を評価すればいいです.
\begin{align} &\sum_{n,m=1}^\infty n^{u+v-1}\frac{(-1)^N(1-u)_N}{\Gamma(v)}\int_0^{\infty e^{i\phi}}e^{\mp2\pi inmy}y^{v+N-1}\int_0^1\frac{(1-\tau)^{N-1}(1+\tau y)^{u-N-1}}{(N-1)!}d\tau dy\\ &=(\pm2\pi i)^{-v-N}\sum_{n,m=1}^\infty n^{u-N-1}m^{-v-N}\frac{(-1)^N(1-u)_N}{\Gamma(v)}\int_0^{\pm\infty e^{i(\phi+\frac{\pi}{2})}}e^{-\eta}\eta^{v+N-1}\int_0^1\frac{(1-\tau)^{N-1}(1\pm\frac{\tau \eta}{2\pi inm})^{u-N-1}}{(N-1)!}d\tau d\eta \end{align}
であり,
$\Re u< N+1$ であれば,
\begin{align} \left|1\pm\frac{\tau \eta}{2\pi inm}\right|^{\Re u-N-1}\le 1 \end{align}
が成り立つため,
\begin{align} \left|\left(1\pm\frac{\tau \eta}{2\pi inm}\right)^{u-N-1}\right|\le e^{\frac{\pi|\Im u|}{2}} \end{align}
を得る.
よって, これを用いて
\begin{align} &\sum_{n,m=1}^\infty \left|(\pm2\pi i)^{-v-N}n^{u-N-1}m^{-v-N}\frac{(-1)^N(1-u)_N}{\Gamma(v)}\int_0^{\pm\infty e^{i\phi}}e^{-\eta}\eta^{v+N-1}\int_0^1\frac{(1-\tau)^{N-1}(1\pm\frac{\tau \eta}{2\pi inm})^{u-N-1}}{(N-1)!}d\tau d\eta\right|\\ &\le \frac{e^{\frac{\pi (|\Im u|+|\Im v|)}{2}}|(1-u)_N\Gamma(v+N)|}{|\Gamma(v)|N!}(2\pi )^{-\Re v-N}\sum_{n,m=1}^\infty \left|n^{u-N-1}m^{-v-N}\right|\\ &\le \frac{e^{\frac{\pi (|\Im u|+|\Im v|)}{2}}|(1-u)_N\Gamma(v+N)|}{|\Gamma(v)|N!}(2\pi )^{-\Re v-N}\zeta(N+1-\Re u)\zeta(\Re v+N) \end{align}
と評価できる.
右辺は $\Re u< N$, $\Re v>1-N$ において絶対収束する. ここで $N$ は任意の自然数であるため, 定理4を示せた.

定理2を用いると,
\begin{align*} F_\pm(u,v)&=\sum_{k=1}^\infty\sigma_{u+v-1}(k)\Psi(v,u+v;\pm2\pi ik)\\ &=\sum_{d,\ell=1}^\infty\ell^{u+v-1}\Psi(v,u+v;\pm2\pi id\ell)\\ &=(\pm2\pi i)^{1-u-v}\sum_{d,\ell=1}^\infty d^{1-u-v}\Psi(1-u,2-u-v;\pm2\pi id\ell)\\&=(\pm2\pi i)^{1-u-v}F_\pm(1-v,1-u). \end{align*}
と変形できる.

Riemann ゼータ関数と同じように2重ゼータ関数は次のような積分表示
\begin{equation} \zeta_{EZ,2}(u,v)=\frac{1}{\Gamma(u)\Gamma(v)}\int_0^\infty\frac{y^{v-1}}{e^y-1}\int_0^\infty\frac{x^{u-1}}{e^{x+y}-1}dxdy\label{label15} \end{equation}
を持つ. 右辺の積分は $\Re u>0$, $\Re v>1$, $\Re(u+v)>2$ という領域において収束する.
ここで,
\begin{align} h(z)\coloneqq\frac{1}{e^z-1}-\frac{1}{z} \end{align}
とおく.
$h(z)$ を用いて上式の右辺を分割すると,
\begin{align*} \zeta_{EZ,2}(u,v)=\begin{multlined}[t]\frac{1}{\Gamma(u)\Gamma(v)}\int_0^\infty\frac{y^{v-1}}{e^y-1}\int_0^\infty\frac{x^{u-1}}{x+y}dxdy\\+\frac{1}{\Gamma(u)\Gamma(v)}\int_0^\infty\frac{y^{v-1}}{e^y-1}\int_0^\infty x^{u-1}h(x+y)dxdy\end{multlined} \end{align*}
となる.
ここで, $B(x,y)$ をベータ関数とすると,
\begin{equation*} B(x,y)=\int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}dt \end{equation*}
が成り立つので,
\begin{align*} \frac{1}{\Gamma(u)\Gamma(v)}\int_0^\infty\frac{y^{v-1}}{e^y-1}\int_0^\infty\frac{x^{u-1}}{x+y}dxdy&=\frac{1}{\Gamma(u)\Gamma(v)}\int_0^\infty\frac{y^{v-1}}{e^y-1}\frac{1}{y}\int_0^\infty\frac{x^{u-1}}{1+\frac{x}{y}}dxdy\\ &=\frac{1}{\Gamma(u)\Gamma(v)}\int_0^\infty\frac{y^{u+v-2}}{e^y-1}\int_0^\infty\frac{w^{u-1}}{1+w}dwdy\\ &=\frac{\Gamma(1-u)}{\Gamma(v)}\int_0^\infty\frac{y^{u+v-2}}{e^y-1}dy\\ &=\frac{\Gamma(1-u)}{\Gamma(v)}\sum_{n=1}^\infty\int_0^\infty y^{u+v-2}e^{-ny}dy\\ &=\frac{\Gamma(1-u)\Gamma(u+v-1)}{\Gamma(v)}\zeta(u+v-1) \end{align*}
を得る.
また, $\mathcal{C}$ をハンケル経路とすると (向きが逆なことに注意されたい),
\begin{align*} \frac{1}{\Gamma(u)\Gamma(v)}\int_0^\infty\frac{y^{v-1}}{e^y-1}\int_0^\infty x^{u-1}h(x+y)dxdy&=\frac{1}{\Gamma(u)\Gamma(v)(e^{2\pi iu}-1)(e^{2\pi iv}-1)}\int_{\mathcal{C}}\frac{y^{v-1}}{e^y-1}\int_{\mathcal{C}} x^{u-1}h(x+y)dxdy \end{align*}
を得る. この積分は $\Re u<1$ において収束する.
ここで留数定理を用いると,
\begin{align*} \frac{1}{\Gamma(u)\Gamma(v)(e^{2\pi iu}-1)(e^{2\pi iv}-1)}\int_{\mathcal{C}}\frac{y^{v-1}}{e^y-1}\int_{\mathcal{C}} x^{u-1}h(x+y)dxdy&=\frac{-2\pi i}{\Gamma(u)\Gamma(v)(e^{2\pi iu}-1)(e^{2\pi iv}-1)}\sum_{n\not=0}\int_{\mathcal{C}}\frac{y^{v-1}}{e^y-1}(-y+2\pi in)^{u-1}dy \end{align*}
を得る. さらに経路を $0\to\infty$ に直すことで,
\begin{align*} \int_{\mathcal{C}}\frac{y^{v-1}}{e^y-1}(-y+2\pi in)^{u-1}dy&=(e^{2\pi iv}-1)\int_0^\infty\frac{y^{v-1}}{e^y-1}(-y+2\pi in)^{u-1}dy\\ &=\Gamma(v)(e^{2\pi iv}-1)(2\pi n)^{u+v-1}e^{\pi i(u-v-1)/2}\sum_{0< m}\Psi(v,u+v;-2\pi inm) \end{align*}
を得る.
よって,
\begin{align} g(u,v)&=(2\pi)^{u+v-1}\Gamma(1-u)e^{\pi i(1-u-v)/2}\sum_{n\not=0,0< m}\Psi(v,u+v;-2\pi inm)n^{u+v-1}\notag\\ &=(2\pi)^{u+v-1}\Gamma(1-u)\{e^{-\pi i(u+v-1)/2}F_-(u,v)+e^{\pi i(u+v-1)/2}F_+(u,v)\}\label{fe} \end{align}
となる.
あとは定理5を適用し, $F_-(u,v)$ を消去すればいい.