そういえば気になってたこと

てきとーに思い付いたから書いてみる。
$$\exp \left(x\right):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^{n}x\in \mathbb{R}$$
は常に正であることの証明。
まず
$$\exp \left(1\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$$
と
$$\exp \left(x\right)x\geqq 0$$
は明らかに正。とりあえず前者を$e$としまして、コーシー積より、
$$e\exp \left(x\right)=\left(\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m!}\right)\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^n\right)$$
$$=\sum _{\mu =0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{\tau =0}^{\mu }\frac{1}{(\mu -\tau )!\tau !}{x}^{\tau }$$
$$=\sum _{\mu =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mu !}\sum _{\tau =0}^{\mu }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mu }{\tau })x^{\tau }$$
$$=\sum _{\mu =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mu !}(x+1{)}^{\mu }$$
$$=\exp (x+1)$$
ってなわけで
$$\exp (x-1)=\frac{1}{e}\exp \left(x\right)$$これで$x\geqq -1$でも、$x\geqq -2$でもというふうに再帰的に、そして結論として$\exp \left(x\right)>0x\in \mathbb{R}$がわかる。
これが誰かさんが言ってた級数定義の便利さですか...
いや、おれは屈しない！微分方程式による定義を愛でるんだ！ｸｯ!