そういえば気になってたこと

てきとーに思い付いたから書いてみる。
$$ \exp (x) := \sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{n!} x^n \quad x\in \mathbb{R} $$
は常に正であることの証明。
まず
$$ \exp(1) = \sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!} $$
と
$$\exp(x)\quad x\geqq0$$
は明らかに正。とりあえず前者を$e$としまして、コーシー積より、
$$e\exp(x)=\left(\sum^{\infty}_{m=0}\frac{1}{m!}\right)\left(\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!}x^n\right) $$
$$\qquad\quad \ \ =\sum^{\infty}_{\mu =0} \sum^{\mu}_{\tau = 0} \frac{1}{(\mu-\tau)!\tau!} x^{\tau} $$
$$\qquad \quad \ \ = \sum^{\infty}_{\mu=0}\frac{1}{\mu !} \sum^{\mu}_{\tau=0}\binom{\mu}{\tau} x^{\tau}$$
$$\qquad \quad \ \ =\sum^{\infty}_{\mu =0} \frac{1}{\mu !} (x+1)^{\mu}$$
$$\qquad\quad \ \ = \exp(x+1)$$
ってなわけで
$$\exp(x-1)=\frac{1}{e}\exp(x)$$これで$x\geqq -1$でも、$x\geqq -2$でもというふうに再帰的に、そして結論として$\exp(x)>0\quad x \in \mathbb{R}$がわかる。
これが誰かさんが言ってた級数定義の便利さですか...
いや、おれは屈しない！微分方程式による定義を愛でるんだ！ｸｯ!