正則なGalois接続
アーベル圏とかの勉強をした方がいいんだろうけど、とりあえず手の届く範囲だけでやってみようと思います。
長くなったので圏をなすところまで。
Galois接続の基礎: https://mathlog.info/articles/HZM4qbHU7PLSrLPOjivu
定義
$\Lambda_0, \Lambda_1$: 有界束 (最小元$0$、最大元$1$を持つ)
$\phi = (\phi_*, \phi^*): \Lambda_0 \to \Lambda_1$: Galois接続
このとき、
- $\ker(\phi) := \phi^*(0_{\Lambda_1})$
- $\im(\phi) := \phi_*(1_{\Lambda_0})$
と定める。
$\ker(\phi) = 0_{\Lambda_0}$のとき$\phi$は単射、$\im(\phi) = 1_{\Lambda_1}$のとき$\phi$は全射という。全射かつ単射のとき全単射という。
$\Lambda_0, \Lambda_1$: 有界束 (最小元$0$、最大元$1$を持つ)
$\phi = (\phi_*, \phi^*): \Lambda_0 \to \Lambda_1$: Galois接続
$\phi$が準同型(または正則なGalois接続)であるとは、以下を満たすことを言う。
- $\phi^* \phi_*(x) = x \vee \ker(\phi) \i$($\forall x \in \Lambda_0$)
- $\phi_* \phi^*(y) = y \wedge \im(\phi) \i$($\forall y \in \Lambda_1$)
逆写像補題
$\Lambda_0, \Lambda_1$: 有界束
$\phi_*: \Lambda_0 \to \Lambda_1, \ \phi^*: \Lambda_1 \to \Lambda_0$: 順序を保つ写像
$\phi^* \circ \phi_* = \id_{\Lambda_0}, \quad \phi_* \circ \phi^* = \id_{\Lambda_1}$
このとき、$\phi := (\phi_*, \phi^*): \Lambda_0 \to \Lambda_1$ は全単射準同型である。
[示すこと: $\phi$がGalois接続であること]
[i.e. $\forall x, \Lambda_0, \forall y \in \Lambda_1, \phi_*(x) \le y \iff x \le \phi^*(y)$]
$\i$$x \in \Lambda_0, \ y \in \Lambda_1$を任意に取る。
$\i$[$\implies$]
$\ii$$\phi_*(x) \le y$とする。$\phi^*$は順序を保つから$\phi^*(\phi_*(x)) \le \phi^*(y)$、すなわち$x \le \phi^*(y)$
$\i$[$\impliedby$]
$\ii$$x \le \phi^*(y)$とする。$\phi_*$は順序を保つから$\phi_*(x) \le \phi_*(\phi^*(y)) = y$
$\i$以上より$\phi_*(x) \le y,\ \phi_* \phi_* x \le \phi^*(y)$
[示すこと: 単射]
[i.e. $\ker(\phi) = 0_{\Lambda_0}$]
$\i$$y \in \Lambda_1$を任意に取り、$x := \phi^*(y)$とおく。
$\i$$0_{\Lambda_0} \le x$であり、$\phi_*$は順序を保つから$\phi_*(0_{\Lambda_0}) \le \phi_*(x) = \phi_*(\phi^*(y)) = y$
$\i$ゆえに$\phi_*(0_{\Lambda_0})$はすべての$y \in \Lambda_1$以下、すなわち$\phi_*(0_{\Lambda_0}) = 0_{\Lambda_1}$
$\i$両辺に$\phi^*$を適用すると、$\phi^*(\phi_*(0_{\Lambda_0})) = \phi^*(0_{\Lambda_1})$であり、左辺は$0_{\Lambda_0}$だから
$\i$$\ker(\phi) = \phi^*(0_{\Lambda_1}) = \phi^*(0_{\Lambda_1}) = 0_{\Lambda_0}$
[示すこと: 全射]
[i.e. $\im(\phi) = 1_{\Lambda_1}$]
$\i$上と双対的に、$\phi^*(1_{\Lambda_1}) = 1_{\Lambda_0}$が示され、
$\i$$\im(\phi) = \phi_*(1_{\Lambda_0}) = \phi_*(\phi^*(1_{\Lambda_1})) = \id_{\Lambda_1}(1_{\Lambda_1}) = 1_{\Lambda_1}$
[示すこと: 正則性]
$\i$$x \in \Lambda_0$を取る。$\phi^* \phi_*(x) = \phi^*(\phi_*(x)) = x = x \vee 0_{\Lambda_0} = x \vee \ker(\phi)$
$\i$$y \in \Lambda_1$を取る。$\phi_* \phi^*(y) = \phi_*(\phi^*(y)) = y = y \wedge 1_{\Lambda_1} = y \wedge \im(\phi)$
恒等準同型
$\Lambda$: 有界束
$\Lambda$上の恒等Galois接続$\Id_\Lambda$は準同型である。
[示すこと: 正則性の1つ目]
$\i$$x \in \Lambda$を取る。
$\i$$\id_\Lambda \id_\Lambda(x) = x$ (左辺)
$\i$$x \vee \ker(\Id_\Lambda) = x \vee \id_\Lambda(0) = x \vee 0 = x$ (右辺)
[示すこと: 正則性の2つ目]
$\i$$y \in \Lambda$を取る。
$\i$$\id_\Lambda \id_\Lambda(y) = y$ (左辺)
$\i$$y \wedge \im(\Id_\Lambda) = y \wedge \id_\Lambda(1) = y \wedge 1 = y$ (右辺)
合成
$\Lambda_0, \Lambda_1$: 有界束
$\phi: \Lambda_0 \to \Lambda_1$: 全単射準同型
このとき、
- $\phi^{-1}$は全単射準同型
- $\phi^{-1} \circ \phi = \Id_{\Lambda_0}$
- $\phi \circ \phi^{-1} = \Id_{\Lambda_1}$
$\phi$は全単射だから$\ker(\phi) = 0_{\Lambda_0}, \ \im(\phi) = 1_{\Lambda_1}$である。
よって正則性の2式は
$\i$$\phi^* \phi_*(x) = x \vee 0_{\Lambda_0} = x \qquad(\forall x \in \Lambda_0)$
$\i$$\phi_* \phi^*(y) = y \wedge 1_{\Lambda_1} = y \qquad(\forall y \in \Lambda_1)$
となり、$\phi^* \phi_* = \id_{\Lambda_0}, \ \phi_* \phi^* = \id_{\Lambda_1}$を得る。
[逆写像補題を適用する]
$\i$$\phi_*, \phi^*$は共に順序を保ち、$\phi_* \phi^* = \id_{\Lambda_1}, \ \phi^* \phi_* = \id_{\Lambda_0}$を満たす。
$\i$よって、逆写像補題より、$\phi^{-1} = (\phi^*, \phi_*)$は全単射準同型である。
[示すこと: $\phi^{-1} \circ \phi = \Id_{\Lambda_0}$]
$\i$$\phi^{-1} \circ \phi = ((\phi^{-1})_* \circ \phi_*, \phi^* \circ (\phi^{-1})^*) = (\phi^* \circ \phi_*, \phi^* \circ \phi_*) = (\id_{\Lambda_0}, \id_{\Lambda_0}) = \Id_{\Lambda_0}$
[示すこと: $\phi \circ \phi^{-1} = \Id_{\Lambda_1}$]
$\i$$\phi \circ \phi^{-1} = (\phi_* \circ (\phi^{-1})_*, (\phi^{-1})^* \circ \phi^*) = (\phi_* \circ \phi^*, \phi_* \circ \phi^*) = (\id_{\Lambda_1}, \id_{\Lambda_1}) = \Id_{\Lambda_1}$
$\Lambda_0, \Lambda_1$: 有界束
$\phi: \Lambda_0 \to \Lambda_1$: 準同型
$\Lambda_1$: モジュラー束
このとき、任意の $x \in \Lambda_0, \ c \in \Lambda_1$ に対し
$\i$$\phi^*(\phi_*(x) \vee c) = x \vee \phi^*(c)$
が成り立つ。
$x \in \Lambda_0, \ c \in \Lambda_1$を取る。
[$\phi_*(x \vee \phi^*(c)) = \phi_*(x) \vee(c \wedge \im(\phi))$]
$\i$$\phi_*$ は結びを保存するから、$\phi_*(x \vee \phi^*(c)) = \phi_*(x) \vee \phi_*(\phi^*(c))$
$\i$$\phi$ の正則性(第2式)$\phi_* \phi^*(c) = c \wedge \im(\phi)$ より、
$\ii$$ = \phi_*(x) \vee(c \wedge \im(\phi))$
[$\phi_*(x) \vee(c \wedge \im(\phi)) = (\phi_*(x) \vee c) \wedge \im(\phi)$]
$\i$$x \le 1_{\Lambda_0}$であり、$\phi_*$は順序を保存するから、$\phi_*(x) \le \phi_*(1_{\Lambda_0}) = \im(\phi)$である。
$\i$よって、$\Lambda_1$ のモジュラー則より
$\ii$$(\phi_*(x) \vee c) \wedge \im(\phi) = \phi_*(x) \vee(c \wedge \im(\phi))$
[$(\phi_*(x) \vee c) \wedge \im(\phi) = \phi_* \phi^*(\phi_*(x) \vee c)$]
$\i$正則性(第2式)を $y := \phi_*(x) \vee c$ に適用して
$\ii$$(\phi_*(x) \vee c) \wedge \im(\phi) = \phi_* \phi^*(\phi_*(x) \vee c)$
すなわち $\phi_* \big(x \vee \phi^*(c) \big) = \phi_* \Big(\phi^*(\phi_*(x) \vee c) \Big)$ が成り立つ。
両辺に $\phi^*$ を作用させ、正則性(第1式)$\phi^* \phi_*(u) = u \vee \ker(\phi)$ をそれぞれの引数 $u$ に適用すると、
$\i$(左辺) $= \big(x \vee \phi^*(c) \big) \vee \ker(\phi) = x \vee \phi^*(c)$
$\ii$($c \ge 0_{\Lambda_1}$ と $\phi^*$ が順序を保つことより $\phi^*(c) \ge \phi^*(0_{\Lambda_1}) = \ker(\phi)$ なので吸収される)
$\i$(右辺) $= \phi^*(\phi_*(x) \vee c) \vee \ker(\phi) = \phi^*(\phi_*(x) \vee c)$
$\ii$(同様に $\phi_*(x) \vee c \ge 0_{\Lambda_1}$ より吸収される)
両辺が等しいので、$x \vee \phi^*(c) = \phi^*(\phi_*(x) \vee c)$ を得る。
$\Lambda_1, \Lambda_2$: 有界束
$\chi: \Lambda_1 \to \Lambda_2$: 準同型
$\Lambda_1$: モジュラー束
このとき、任意の $z \in \Lambda_2, \ c \in \Lambda_1$ に対し
$\i$$\chi_*(\chi^*(z) \wedge c) = z \wedge \chi_*(c)$
が成り立つ。
$z \in \Lambda_2, \ c \in \Lambda_1$を取る。
[$\chi^*(z \wedge \chi_*(c)) = \chi^*(z) \wedge(c \vee \ker(\chi))$]
$\i$$\chi^*$ は交わりを保存するから、$\chi^*(z \wedge \chi_*(c)) = \chi^*(z) \wedge \chi^*(\chi_*(c))$
$\i$$\chi$ の正則性(第1式)$\chi^* \chi_*(c) = c \vee \ker(\chi)$ より、
$\ii$$ = \chi^*(z) \wedge(c \vee \ker(\chi))$
[$\chi^*(z) \wedge(c \vee \ker(\chi)) = (\chi^*(z) \wedge c) \vee \ker(\chi)$]
$\i$$z \ge 0_{\Lambda_2}$であり、$\chi^*$は順序を保存するから、$\chi^*(z) \ge \chi^*(0_{\Lambda_2}) = \ker(\chi)$である。
$\i$よって、$\Lambda_1$ のモジュラー則(双対形: $a \ge b \implies (a \wedge x) \vee b = a \wedge(x \vee b)$)より
$\ii$$(\chi^*(z) \wedge c) \vee \ker(\chi) = \chi^*(z) \wedge(c \vee \ker(\chi))$
[$(\chi^*(z) \wedge c) \vee \ker(\chi) = \chi^* \chi_*(\chi^*(z) \wedge c)$]
$\i$正則性(第1式)を $u := \chi^*(z) \wedge c$ に適用して
$\ii$$(\chi^*(z) \wedge c) \vee \ker(\chi) = \chi^* \chi_*(\chi^*(z) \wedge c)$
すなわち $\chi^* \Big(z \wedge \chi_*(c) \Big) = \chi^* \Big(\chi_*(\chi^*(z) \wedge c) \Big)$ が成り立つ。
両辺に $\chi_*$ を作用させ、正則性(第2式)$\chi_* \chi^*(v) = v \wedge \im(\chi)$ をそれぞれの引数 $v$ に適用すると、
$\i$(左辺) $= \big(z \wedge \chi_*(c) \big) \wedge \im(\chi) = z \wedge \chi_*(c)$
$\ii$($c \le 1_{\Lambda_1}$ と $\chi_*$ が順序を保つことより $\chi_*(c) \le \chi_*(1_{\Lambda_1}) = \im(\chi)$ なので $z \wedge \chi_*(c) \le \im(\chi)$となり吸収される)
$\i$(右辺) $= \chi_*(\chi^*(z) \wedge c) \wedge \im(\chi) = \chi_*(\chi^*(z) \wedge c)$
$\ii$(同様に $\chi^*(z) \wedge c \le 1_{\Lambda_1}$ より $\chi_*(\chi^*(z) \wedge c) \le \chi_*(1_{\Lambda_1}) = \im(\chi)$ なので吸収される)
両辺が等しいので、$z \wedge \chi_*(c) = \chi_*(\chi^*(z) \wedge c)$ を得る。
$\Lambda_0, \Lambda_1, \Lambda_2$: 有界束
$\phi: \Lambda_0 \to \Lambda_1, \ \chi: \Lambda_1 \to \Lambda_2$: 準同型
$\Lambda_1$はモジュラー束
このとき、$\chi \circ \phi$は準同型である。
[示すこと: 正則性の1つ目]
[i.e. $\forall x \in \Lambda_0, (\chi \circ \phi)^*(\chi \circ \phi)_*(x) = x \vee \ker(\chi \circ \phi)$]
$\i$任意の $x \in \Lambda_0$ に対し、
$\i$$(\chi \circ \phi)^*(\chi \circ \phi)_*(x) = \phi^* \chi^* \chi_* \phi_*(x) = \phi^* \big(\phi_*(x) \vee \ker(\chi) \big)$
$\ii$$= x \vee \phi^*(\ker \chi)$
$\ii$$= x \vee \phi^*(\chi^*(0))$
$\ii$$= x \vee \ker(\chi \circ \phi)$
[示すこと: 正則性の2つ目]
[i.e. $\forall z \in \Lambda_2, (\chi \circ \phi)_*(\chi \circ \phi)^*(z) = z \wedge \im(\chi \circ \phi)$]
$\i$任意の $z \in \Lambda_2$ に対し、
$\i$$(\chi \circ \phi)_*(\chi \circ \phi)^*(z) = \chi_* \phi_* \phi^* \chi^*(z) = \chi_* \big(\chi^*(z) \wedge \im(\phi) \big)$
$\ii$$= z \wedge \chi_*(\im \phi)$
$\ii$$= z \wedge \chi_*(\phi_*(1))$
$\ii$$= z \wedge \im(\chi \circ \phi)$
よって、有界モジュラー束を対象、正則Galois接続を射として圏が得られる。
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