正則なGalois接続

[示すこと: $\phi$がGalois接続であること]
[i.e. $\forall x \in \Lambda_0, \forall y \in \Lambda_1, \phi_*(x) \le y \iff x \le \phi^*(y)$]
$\i$$x \in \Lambda_0, \ y \in \Lambda_1$を任意に取る。

$\i$[$\implies$]
$\ii$$\phi_*(x) \le y$とする。$\phi^*$は順序を保つから$\phi^*(\phi_*(x)) \le \phi^*(y)$、すなわち$x \le \phi^*(y)$

$\i$[$\impliedby$]
$\ii$$x \le \phi^*(y)$とする。$\phi_*$は順序を保つから$\phi_*(x) \le \phi_*(\phi^*(y)) = y$

$\i$以上より$\phi_*(x) \le y \iff x \le \phi^*(y)$

[示すこと: 単射]
[i.e. $\ker(\phi) = 0_{\Lambda_0}$]
$\i$$y \in \Lambda_1$を任意に取り、$x := \phi^*(y)$とおく。
$\i$$0_{\Lambda_0} \le x$であり、$\phi_*$は順序を保つから$\phi_*(0_{\Lambda_0}) \le \phi_*(x) = \phi_*(\phi^*(y)) = y$
$\i$ゆえに$\phi_*(0_{\Lambda_0})$はすべての$y \in \Lambda_1$以下、すなわち$\phi_*(0_{\Lambda_0}) = 0_{\Lambda_1}$
$\i$両辺に$\phi^*$を適用すると、$\phi^*(\phi_*(0_{\Lambda_0})) = \phi^*(0_{\Lambda_1})$であり、左辺は$0_{\Lambda_0}$だから
$\i$$\ker(\phi) = \phi^*(0_{\Lambda_1}) = \phi^*(\phi_*(0_{\Lambda_0})) = 0_{\Lambda_0}$

[示すこと: 全射]
[i.e. $\im(\phi) = 1_{\Lambda_1}$]
$\i$上と双対的に、$\phi^*(1_{\Lambda_1}) = 1_{\Lambda_0}$が示され、
$\i$$\im(\phi) = \phi_*(1_{\Lambda_0}) = \phi_*(\phi^*(1_{\Lambda_1})) = \id_{\Lambda_1}(1_{\Lambda_1}) = 1_{\Lambda_1}$

[示すこと: 正則性]
$\i$$x \in \Lambda_0$を取る。$\phi^* \phi_*(x) = \phi^*(\phi_*(x)) = x = x \vee 0_{\Lambda_0} = x \vee \ker(\phi)$
$\i$$y \in \Lambda_1$を取る。$\phi_* \phi^*(y) = \phi_*(\phi^*(y)) = y = y \wedge 1_{\Lambda_1} = y \wedge \im(\phi)$

[示すこと: 正則性の1つ目]
$\i$$x \in \Lambda$を取る。
$\i$$\id_\Lambda \id_\Lambda(x) = x$ (左辺)
$\i$$x \vee \ker(\Id_\Lambda) = x \vee \id_\Lambda(0) = x \vee 0 = x$ (右辺)

[示すこと: 正則性の2つ目]
$\i$$y \in \Lambda$を取る。
$\i$$\id_\Lambda \id_\Lambda(y) = y$ (左辺)
$\i$$y \wedge \im(\Id_\Lambda) = y \wedge \id_\Lambda(1) = y \wedge 1 = y$ (右辺)

$\Lambda_0$の元をすべて$0_{\Lambda_1}$に送る定値写像を$0$、$\Lambda_1$の元をすべて$1_{\Lambda_0}$に送る定値写像を$1$と書く。
[零Galois接続はGalois接続]より、$0_{\Lambda_0, \Lambda_1} = (0, 1)$はGalois接続である。

[示すこと: $0_{\Lambda_0, \Lambda_1}$の正則性]
$\i$$\ker(0_{\Lambda_0, \Lambda_1}) = 1$かつ$\im(0_{\Lambda_0, \Lambda_1}) = 0$である。

$\i$$x \in \Lambda_0$を取る。
$\i$$1(0(x)) = 1$である。
$\i$$x \vee \ker(0_{\Lambda_0, \Lambda_1}) = x \vee 1 = 1$である。

$\i$$y \in \Lambda_1$を取る。
$\i$$0(1(y)) = 0$である。
$\i$$y \wedge \im(0_{\Lambda_0, \Lambda_1}) = y \wedge 0 = 0$である。

[示すこと: $\im(\phi) = 0 \implies \phi = 0_{\Lambda_0, \Lambda_1}$]
$\i$$\im(\phi) = \phi_*(1)$である。
$\i$[零Galois接続の判定]より、$\phi_*(1) = 0$ならば$\phi_* = 0$かつ$\phi^* = 1$である。

[示すこと: $\phi = 0_{\Lambda_0, \Lambda_1} \implies \im(\phi) = 0$]
$\i$$\im(0_{\Lambda_0, \Lambda_1}) = 0$である。

[示すこと: $s \le \ker(\phi) \implies \phi_*(s) = 0_{\Lambda_1}$]
$\i$$\phi_*$ が順序を保つことと正則性(第2式)より
$\ii$$\phi_*(s) \le \phi_*(\ker(\phi)) = \phi_* \phi^*(0_{\Lambda_1}) = 0_{\Lambda_1} \wedge \im(\phi) = 0_{\Lambda_1}$

$\i$ゆえに $\phi_*(s) = 0_{\Lambda_1}$

[示すこと: $s \ge \im(\phi) \implies \phi^*(s) = 1_{\Lambda_0}$]
$\i$$\phi^*$ が順序を保つことと正則性(第1式)より
$\ii$$\phi^*(s) \ge \phi^*(\im(\phi)) = \phi^* \phi_*(1_{\Lambda_0}) = 1_{\Lambda_0} \vee \ker(\phi) = 1_{\Lambda_0}$

$\i$ゆえに $\phi^*(s) = 1_{\Lambda_0}$

合成の定義より、$(\chi \circ \phi)_* = \chi_* \circ \phi_*$かつ$(\chi \circ \phi)^* = \phi^* \circ \chi^*$である。

よって、$\ker(\chi \circ \phi) = \phi^*(\chi^*(0)) = \phi^*(\ker(\chi))$
また、$\im(\chi \circ \phi) = \chi_*(\phi_*(1)) = \chi_*(\im(\phi))$

$\phi$は全単射だから$\ker(\phi) = 0_{\Lambda_0}, \ \im(\phi) = 1_{\Lambda_1}$である。
よって正則性の2式は
$\i$$\phi^* \phi_*(x) = x \vee 0_{\Lambda_0} = x \qquad(\forall x \in \Lambda_0)$
$\i$$\phi_* \phi^*(y) = y \wedge 1_{\Lambda_1} = y \qquad(\forall y \in \Lambda_1)$
となり、$\phi^* \phi_* = \id_{\Lambda_0}, \ \phi_* \phi^* = \id_{\Lambda_1}$を得る。

[逆写像補題を適用する]
$\i$$\phi_*, \phi^*$は共に順序を保ち、$\phi_* \phi^* = \id_{\Lambda_1}, \ \phi^* \phi_* = \id_{\Lambda_0}$を満たす。
$\i$よって、[逆写像補題]より、$\phi^{-1} = (\phi^*, \phi_*)$は同型である。

[示すこと: $\phi^{-1} \circ \phi = \Id_{\Lambda_0}$]
$\i$$\phi^{-1} \circ \phi = ((\phi^{-1})_* \circ \phi_*, \phi^* \circ (\phi^{-1})^*) = (\phi^* \circ \phi_*, \phi^* \circ \phi_*) = (\id_{\Lambda_0}, \id_{\Lambda_0}) = \Id_{\Lambda_0}$

[示すこと: $\phi \circ \phi^{-1} = \Id_{\Lambda_1}$]
$\i$$\phi \circ \phi^{-1} = (\phi_* \circ (\phi^{-1})_*, (\phi^{-1})^* \circ \phi^*) = (\phi_* \circ \phi^*, \phi_* \circ \phi^*) = (\id_{\Lambda_1}, \id_{\Lambda_1}) = \Id_{\Lambda_1}$

$x \in \Lambda_0, \ c \in \Lambda_1$を取る。

[$\phi_*(x \vee \phi^*(c)) = \phi_*(x) \vee(c \wedge \im(\phi))$]
$\i$$\phi_*$ は結びを保存するから、$\phi_*(x \vee \phi^*(c)) = \phi_*(x) \vee \phi_*(\phi^*(c))$
$\i$$\phi$ の正則性(第2式)$\phi_* \phi^*(c) = c \wedge \im(\phi)$ より、
$\ii$$= \phi_*(x) \vee(c \wedge \im(\phi))$

[$\phi_*(x) \vee(c \wedge \im(\phi)) = (\phi_*(x) \vee c) \wedge \im(\phi)$]
$\i$$x \le 1_{\Lambda_0}$であり、$\phi_*$は順序を保存するから、$\phi_*(x) \le \phi_*(1_{\Lambda_0}) = \im(\phi)$である。
$\i$よって、$\Lambda_1$ のモジュラー則より
$\ii$$(\phi_*(x) \vee c) \wedge \im(\phi) = \phi_*(x) \vee(c \wedge \im(\phi))$

[$(\phi_*(x) \vee c) \wedge \im(\phi) = \phi_* \phi^*(\phi_*(x) \vee c)$]
$\i$正則性(第2式)を $y := \phi_*(x) \vee c$ に適用して
$\ii$$(\phi_*(x) \vee c) \wedge \im(\phi) = \phi_* \phi^*(\phi_*(x) \vee c)$

すなわち $\phi_* \big(x \vee \phi^*(c) \big) = \phi_* \Big(\phi^*(\phi_*(x) \vee c) \Big)$ が成り立つ。

両辺に $\phi^*$ を作用させ、正則性(第1式)$\phi^* \phi_*(u) = u \vee \ker(\phi)$ をそれぞれの引数 $u$ に適用すると、
$\i$(左辺) $= \big(x \vee \phi^*(c) \big) \vee \ker(\phi) = x \vee \phi^*(c)$
$\ii$($c \ge 0_{\Lambda_1}$ と $\phi^*$ が順序を保つことより $\phi^*(c) \ge \phi^*(0_{\Lambda_1}) = \ker(\phi)$ なので吸収される)
$\i$(右辺) $= \phi^*(\phi_*(x) \vee c) \vee \ker(\phi) = \phi^*(\phi_*(x) \vee c)$
$\ii$(同様に $\phi_*(x) \vee c \ge 0_{\Lambda_1}$ より吸収される)

両辺が等しいので、$x \vee \phi^*(c) = \phi^*(\phi_*(x) \vee c)$ を得る。

$z \in \Lambda_2, \ c \in \Lambda_1$を取る。

[$\chi^*(z \wedge \chi_*(c)) = \chi^*(z) \wedge(c \vee \ker(\chi))$]
$\i$$\chi^*$ は交わりを保存するから、$\chi^*(z \wedge \chi_*(c)) = \chi^*(z) \wedge \chi^*(\chi_*(c))$
$\i$$\chi$ の正則性(第1式)$\chi^* \chi_*(c) = c \vee \ker(\chi)$ より、
$\ii$$= \chi^*(z) \wedge(c \vee \ker(\chi))$

[$\chi^*(z) \wedge(c \vee \ker(\chi)) = (\chi^*(z) \wedge c) \vee \ker(\chi)$]
$\i$$z \ge 0_{\Lambda_2}$であり、$\chi^*$は順序を保存するから、$\chi^*(z) \ge \chi^*(0_{\Lambda_2}) = \ker(\chi)$である。
$\i$よって、$\Lambda_1$ のモジュラー則(双対形: $a \ge b \implies (a \wedge x) \vee b = a \wedge(x \vee b)$)より
$\ii$$(\chi^*(z) \wedge c) \vee \ker(\chi) = \chi^*(z) \wedge(c \vee \ker(\chi))$

[$(\chi^*(z) \wedge c) \vee \ker(\chi) = \chi^* \chi_*(\chi^*(z) \wedge c)$]
$\i$正則性(第1式)を $u := \chi^*(z) \wedge c$ に適用して
$\ii$$(\chi^*(z) \wedge c) \vee \ker(\chi) = \chi^* \chi_*(\chi^*(z) \wedge c)$

すなわち $\chi^* \Big(z \wedge \chi_*(c) \Big) = \chi^* \Big(\chi_*(\chi^*(z) \wedge c) \Big)$ が成り立つ。

両辺に $\chi_*$ を作用させ、正則性(第2式)$\chi_* \chi^*(v) = v \wedge \im(\chi)$ をそれぞれの引数 $v$ に適用すると、
$\i$(左辺) $= \big(z \wedge \chi_*(c) \big) \wedge \im(\chi) = z \wedge \chi_*(c)$
$\ii$($c \le 1_{\Lambda_1}$ と $\chi_*$ が順序を保つことより $\chi_*(c) \le \chi_*(1_{\Lambda_1}) = \im(\chi)$ なので $z \wedge \chi_*(c) \le \im(\chi)$となり吸収される)
$\i$(右辺) $= \chi_*(\chi^*(z) \wedge c) \wedge \im(\chi) = \chi_*(\chi^*(z) \wedge c)$
$\ii$(同様に $\chi^*(z) \wedge c \le 1_{\Lambda_1}$ より $\chi_*(\chi^*(z) \wedge c) \le \chi_*(1_{\Lambda_1}) = \im(\chi)$ なので吸収される)

両辺が等しいので、$z \wedge \chi_*(c) = \chi_*(\chi^*(z) \wedge c)$ を得る。

[示すこと: 正則性の1つ目]
[i.e. $\forall x \in \Lambda_0, (\chi \circ \phi)^*(\chi \circ \phi)_*(x) = x \vee \ker(\chi \circ \phi)$]
$\i$任意の $x \in \Lambda_0$ に対し、
$\i$$(\chi \circ \phi)^*(\chi \circ \phi)_*(x) = \phi^* \chi^* \chi_* \phi_*(x) = \phi^* \big(\phi_*(x) \vee \ker(\chi) \big)$
$\ii$$= x \vee \phi^*(\ker(\chi))$ ([結びの吸収補題]を$c := \ker(\chi)$に適用)
$\ii$$= x \vee \ker(\chi \circ \phi)$ ([合成の核と像])

[示すこと: 正則性の2つ目]
[i.e. $\forall z \in \Lambda_2, (\chi \circ \phi)_*(\chi \circ \phi)^*(z) = z \wedge \im(\chi \circ \phi)$]
$\i$任意の $z \in \Lambda_2$ に対し、
$\i$$(\chi \circ \phi)_*(\chi \circ \phi)^*(z) = \chi_* \phi_* \phi^* \chi^*(z) = \chi_* \big(\chi^*(z) \wedge \im(\phi) \big)$
$\ii$$= z \wedge \chi_*(\im(\phi))$ ([交わりの吸収補題]を$c := \im(\phi)$に適用)
$\ii$$= z \wedge \im(\chi \circ \phi)$ ([合成の核と像])

[示すこと: $\chi \circ \phi$は自己同型]
$\i$[準同型の合成]より、$\chi \circ \phi \in \end(\Lambda)$である。
$\i$[合成の核と像]より、$\ker(\chi \circ \phi) = \phi^*(\ker(\chi)) = \phi^*(0) = \ker(\phi) = 0$
$\i$[合成の核と像]より、$\im(\chi \circ \phi) = \chi_*(\im(\phi)) = \chi_*(1) = \im(\chi) = 1$

[示すこと: $\phi^{-1}$は自己同型であり、$\phi^{-1} \circ \phi = \phi \circ \phi^{-1} = \Id_\Lambda$]
$\i$[同型の逆]そのものである。

[示すこと: $\phi^*$は結びを保つ]
$\i$$\phi^*$はGalois接続$\phi^{-1}$の下随伴だから、結びを保つ。