標数0の表現(の指標)を, 標数pの表現から求める

conjより,$\SL_2(\field p)$の$p'$共役類は$p$個. よって既約モジュラー表現も$p$個. $K$上の次元を見ることで, 明らかに$i\neq j$なら$V_i$と$V_j$は同型でない. よって, あとは$V_i$の既約性のみ言えばよい.
$V_n$の部分加群$U\neq0$を任意にとる. $U=V_j$を示せばよい. $0\neq f\in U$を$\deg_x f$が最小になるようにとる. (ここで, $\deg_x$は$x$の多項式としての次数.) $f\neq cY^n$として矛盾を導く. このとき, $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}f(x,y)-f(x,y)=f(x+y,y)-f(x,y):=g\in U$. よって, $f(X,Y)=cX^mY^{n-1-m}+(\text{lower term})$とすると, $g(X,Y)=mcX^{m-1}Y^{n-m}+(\text{lower term})$. よって, $\deg_x g=m-1<\deg_x f$となり, $\deg_x f$の最小性に矛盾. (ここで, $m\neq 0$に$n\leq p$を用いた.)
よって, $f=cY^{n-1}$となり$Y^{n-1}\in U$がわかる. 相異なる$\alpha_1,\alpha_2,\ldots \alpha_{n}\in F$をとる.
任意の$i$に対し, $\begin{pmatrix} 1 & \alpha_i \\ 0 & 1 \end{pmatrix} Y^{n-1}=(Y+\alpha_i X)^n \in U$. ここで, $(Y+\alpha_i X)^{n-1}(i=1,\ldots,n)$は$K$上線形独立なので(Vandermondeの行列式), $U=V_n$がわかる.

$\psi_1(A)$の固有ベクトル$f,g\in V_1$を, $\psi_1(A)f=\alpha f,\psi_1(A)g=\alpha^{-1}A$ となるようにとる. このとき, $\psi_i(A)$の固有ベクトルとして, $f^{i-1},f^{i-2}g,\ldots,f^1g^{i-2},g^i$がとれ, $\psi_i(A)\sim\diag(\alpha^{i-1},\alpha^{i-3},\ldots,\alpha^{3-i},\alpha^{1-i})$となる. よって, $\phi_i(A)=\sum_j \zeta^{i-1-2j}$.
$\bar{f_i(\zeta)}=f_i(\bar{\zeta})=f_i(\zeta^{-1})=f_i(\zeta)$となるので, $f_i(\zeta)\in \R$.

以下$\pmod 2$を省略する.
$a,b$を$p$以下の正整数とする. $\phi_a(-A)=(-1)^a\phi_a(A)$なので, $a\not\equiv b$なら$\inpr{\phi_a}{\phi_b}=0$がわかる.
$a\equiv b$とする. 以下計算を行う. conj(とくに共役類の個数),　char(とくに, $\phi_i(A)\in\R$なので内積で複素共役をとらなくてよい), および上の注意に注意すると, (与式)$=$

\begin{align} &=(p^3-p)^{-1} \Bigl(\phi_a(I_2)\phi_b(I_2)+\phi_a(-I_2)\phi_b(-I_2) +(p^2+p)\sum_{\zeta\in \C_{p-1};\Im(\zeta)>0}(\phi_a(A_{\zeta})\phi_b(A_{\zeta})) +(p^2-p)\sum_{\zeta\in \C_{p+1};\Im(\zeta)>0}(\phi_a(A_{\zeta})\phi_b(A_{\zeta}))\Bigr)\\ &=(p^3-p)^{-1} \Bigl(f_a(1)f_b(1)+f_a(-1)f_b(-1) +\frac{p^2+p}{2}\sum_{\zeta\in \C_{p-1};\zeta\neq\pm 1}(f_a(\zeta)f_b(\zeta)) +\frac{p^2-p}{2}\sum_{\zeta\in \C_{p+1};\zeta\neq\pm 1}(f_a(\zeta)f_b(\zeta))\Bigr)\\ &=(p^3-p)^{-1} \Bigl((1-\frac{p^2+p}{2}-\frac{p^2-p}{2})(f_a(1)f_b(1)+f_a(-1)f_b(-1)) +\frac{p^2+p}{2}\sum_{\zeta\in \C_{p-1}}(f_a(\zeta)f_b(\zeta)) +\frac{p^2-p}{2}\sum_{\zeta\in \C_{p+1}}(f_a(\zeta)f_b(\zeta))\Bigr)\\ &=-\frac{2ab}{p} +\frac{1}{2(p-1)}\sum_{\zeta\in \C_{p-1}}(f_a(\zeta)f_b(\zeta)) +\frac{1}{2(p+1)}\sum_{\zeta\in \C_{p+1}}(f_a(\zeta)f_b(\zeta)) \end{align}
となる.
また, $$\frac{1}{n}\sum_{\zeta\in\C_n} {\zeta^i}= \begin{cases} 1 && i\equiv 0\pmod{n}\\ 0 && i\not\equiv 0\pmod{n} \end{cases} $$である.
$a,b$が$p$かどうかで場合分けを行う. 以下, 多項式$f\in \C[X]$の$X^n$の係数を$f[X^n]$とかく.

$a=b=p$のとき

$\pm 1\not=\zeta\in \C_{p+1}$なら$f_p(\zeta)=-1$であり,
$\pm 1\not=\zeta\in \C_{p-1}$なら$f_p(\zeta)=1$であり,
$f_p(\pm 1)=p$である. よって, もとの$\inpr{-}{-}$の定義にもどると,
$$ \begin{align} &\inpr{\phi_a}{\phi_b}\\ &=(p^3-p)^{-1}\bigl(1\cdot p^2+1\cdot p^2+(\frac{p^2+p}{2}(p-3))\cdot 1^2+(\frac{p^2-p}{2}(p-1))\cdot (-1)^2\bigr) &=\frac{2p}{p^2-1}+(\frac{1}{2}-\frac{1}{p-1})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{p+1})=0 \end{align} $$
となるのでよい.

$(a,b)\neq (p,p)$のとき

このとき, $(f_af_b)(X)$は$X$のローラン多項式として, $a+b-2$次から$-a-b+2$次の項しかでない. 特に, $2p-2$次以上, および$-2p+2$次以下の係数はすべて$0$. よって, $f_af_b$が$X$と$X^{-1}$の入れ替えで対称なことに注意して,
\begin{align} &-\frac{2ab}{p} +\frac{1}{2(p-1)}\sum_{\zeta\in \C_{p-1}}(f_a(\zeta)f_b(\zeta)) +\frac{1}{2(p+1)}\sum_{\zeta\in \C_{p+1}}(f_a(\zeta)f_b(\zeta))\\ &=-\frac{2ab}{p} +2^{-1}((f_af_b)[X^{-p+1}]+(f_af_b)[X^0])+(f_af_b)[X^{p-1}]) +2^{-1}((f_af_b)[X^{-p-1}]+(f_af_b)[X^0])+(f_af_b)[X^{p+1}])\\ &=-\frac{2ab}{p}+(f_af_b)[X^0]+(f_af_b)[X^{p-1}]+(f_af_b)[X^{p+1}]\\ &=-\frac{2ab}{p}+\min(a,b)+\max(\frac{a+b-p-1}{2},0)+\max(\frac{a+b-p+1}{2},0)\\ &=-\frac{2ab}{p}+\min(a,b)+\max(a+b-p,0). \end{align}
ここで, $a\equiv b\pmod{2}$より, $p-1< a+b< p+1$とならないことを最後の等式に用いた.

まず, 前半を示す. $a\not\equiv b$なら自明. 以下$a\equiv b$とする. $h(x,y)=-\frac{2xy}{p}+\min(x,y)+\max(x+y-p,0)$と置く. このとき,
$ \begin{align} & h(x,p-y)\\ &=-\frac{2x(p-y)}{p}+\min(x,p-y)+\max(x-y,0)\\ &=(-2x+\frac{2xy}{p})+(x+\min(0,p-x-y))+(x+\max(-y,-x))\\ &=-\frac{2xy}{p}-\max(0,x+y-p)-\min(y,x)=-h(x,y) \end{align} $.
よって, innerprodより, $2c'_{a,b}+c'_{a,p-1-b}+c'_{p+1+b}=2h(a,b)-h(a,b+1)-h(a,b-1)$. これが$\delta_{a,b}$と等しいことを示したい.
また, $a=b$と$b-1< a< b+1$は同値. よって,
$\max(a,b-1)+\max(a,b+1)=2\max(a,b)+\delta_{a,b}$.
$a\equiv b\pmod{2}$より, $p-1< a+b< p+1$とならない. ゆえに,
$\min(a+b-1-p,0)+\min(a+b+1-p,0)=2\min(a+b-p,0)$.
この等式をあわせ,$h(x,y)=-\frac{2xy}{p}+\min(x,y)+\max(x+y-p,0)$を思い出すと $h(a,b)+h(a,b-1)-2h(a,b+1)=\delta_{a,b}$がわかる. これで前半がわかる.

後半を示す. $C':=(\inpr{\phi_a}{\phi_b})_{a,b}\in M_n(\Z)$とすると, $C=C'^{-1}$となることを示せばよい. これは, 上の等式と, innerprodより$\inpr{\phi_p}{\phi_a}=\delta_{a,p}$となることからわかる.

まず, 前半部分を示す.
(要するに$DD^{t}=C$から$D$を復元しているだけなので, 証明読むよりも下の$p=11$のときの$C$と$D$をみて自分で手を動かしたほうがよいと思います)
$ C= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $.

$D= \begin{pmatrix} 0 &1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 &0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} $

$DD^t=C$および$D\in M_2(\Z_{\geq 0})$から$D$が列の入れ替えを除いて一意に定まることを見る. $D$の$i$行目を$v_i$とする.
$DD^t=C$より, $\inpr{v_i}{v_j}=c_{ij}$. $\inpr{v_i}{v_i}<4$より, $v_i$の各成分は$0$か$1$. $i,j<\frac{p}{2},i\neq j$に対して, $\inpr{v_i}{v_j}=0$となる. よって, 適宜$D$の列を入れ替えて, $v_i=e_{2i}+e_{2i+1}(i<\frac{p-1}{2}), v_{\frac{p-1}{2}}=e_{p-1}+e_{p}+e_{p+1}$とできる.
$\inpr{v_{\frac{p+1}{2}}}{v_i}=c_{\frac{p+1}{2},i} =3\delta_{\frac{p+1}{2},i}+\delta_{\frac{p-3}{2},i}$となる. よって, $v_{\frac{p+1}{2}}=e_a+e_b+e_c$と書け, かつ$a,b,c$のうちちょうど一つが$\{p-2,p-3\}$に入り, のこりの二つは$\{1,p+2,p+3,p+4\}$に入る. ゆえに, 適宜列を入れ替え, $v_{\frac{p+1}{2}}=e_{p-3}+e_{p+1}+e_{p+2}$とできる.
同様の議論を繰り返し, $\frac{p+1}{2}< i< p$に対し,$v_i=e_{2p-1-2i}+e_{2p+2-2i}$とでき,すると$v_p=e_{p+4}$. ($i=p-1$は若干別処理がいるので注意. )

さて, $D$の$i$列目を$w_i$と置くと, この$w_i$が(通常)既約表現をモジュラー表現に落としたときの重複度となる.

$i=1$のとき

$w_1=e_{p-1}$で, これは$\chi_{p-1}^{0,p-1}$に対応.

$i=2$のとき

$w_2=e_{1}$で, これは$\mathbb{1}$に対応.

$2< i=2k+1 < p-1$ のとき

$w_{2k}=v_k+v_{p-1-k}$となり, $\chi_{p-1}^{k,p-1-k}$に対応.

$2< i=2k < p-1$のとき

$w_{2k-1}=v_k+v_{p+1-k}$となり,$\chi_{p+1}^{k,p-1-k}$に対応.

$i=p,p+1$のとき

$w_i=e_{\frac{p-1}{2}}$となり, $\chi^{\pm}_{\frac{p-1}{2}}$に対応.

$i=p+2,p+3$のとき

$w_i=e_{\frac{p+1}{2}}$となり, $\chi^{\pm}_{\frac{p+1}{2}}$に対応.

$i=p+4$のとき

$w_i=e_p$で$\chi_p$に対応.

のこりは指標を求めるのみ.

$\mathbb{1}$の指標

1.

$\chi_p$の指標

$\chi_p(A_{\zeta})=f_p(\zeta)$.
$\zeta=\pm 1$なら, $f_p(\zeta)=p$.
$\zeta\in\C_{p-1}\setminus\{\pm 1\} $なら, $f_p(\zeta)=\frac{\zeta^p-\zeta^{-p}}{\zeta-\zeta^{-1}}=\frac{\zeta^1-\zeta^{-1}}{\zeta-\zeta^{-1}}=1$.
$\zeta\in\C_{p+1}\setminus\{\pm 1\} $なら, $f_p(\zeta)=\frac{\zeta^p-\zeta^{-p}}{\zeta-\zeta^{-1}}=\frac{\zeta^{-1}-\zeta^{1}}{\zeta-\zeta^{-1}}=-1$.
さて, $\inpr{\chi_p}{\chi_p}=1=\inpr{\phi_p}{\phi_p}$であり, $\chi_p|_{G_p'}=\phi_p$. よって, $\inpr{-}{-},\inpr{-}{-}$の定義を思い出すと, $\chi_p$は$G_p'$の外では$0$の必要がある.

$\chi^{i,j}_{p-1}$の指標

$\chi^{i,j}_{p-1}(A_{\zeta})=f_i(\zeta)+f_{p-1-i}(\zeta)$.
$\zeta=\pm 1$なら, $=(\pm 1)^i (p-1)$.
$\zeta\in\C_{p-1}\setminus\{\pm 1\} $なら, $=(\zeta-\zeta^{-1})^{-1}(\zeta^i-\zeta^{-i}+\zeta^{p-1-i}-\zeta^{-p+1+i})=(\zeta-\zeta^{-1})^{-1}(\zeta^i-\zeta^{-i}+\zeta^{-i}-\zeta^{i})=0$.
$\zeta\in\C_{p+1}\setminus\{\pm 1\} $なら, $=(\zeta-\zeta^{-1})^{-1}(\zeta^i-\zeta^{-i}+\zeta^{p-1-i}-\zeta^{-p+1+i})=(\zeta-\zeta^{-1})^{-1}(\zeta^i-\zeta^{-i}+\zeta^{-i-2}-\zeta^{i+2})=-\zeta^{i+1}+\zeta^{-i-1}$
のこりは$\varepsilon(1+dE_{1,2})$での値である. 表現の偶奇を考えて, $1+dE_{1,2}$についてのみ考えればよい.

さて, $d\in\field p$に対して, $\SL_2(\field p)$の自己同型$\sigma_d$が$A\mapsto \diag(d,1)\cdot A\cdot \diag(d^{-1},1)$と定まる.
よって, 指標とその表現を同じ文字で表すと, $\chi^{i,j}_{p-1}\circ \sigma_d$も既約表現となる. さて, 指標$\chi^{i,j}_{p-1}\circ \sigma_d$を$G_p'$に制限すると, $\phi_i+\phi_j$に一致する. この定理の前半より, そのような既約表現の指標は$\chi_{i,j}^{p-1}$に限られる.
よって, 表現として, $\chi^{i,j}_{p-1}$と$\chi^{i,j}_{p-1}\circ \sigma_d$は同型.

$\chi^{i,j}_{p-1}(1+E_{1,2})\sim\diag(\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_{p-1})$(ただし$\zeta_i\in\C_p$)と置く. すると, 上で述べたことから, 任意の自然数$d\not\equiv 0\pmod{p}$に対し,
$\diag(\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_{p-1})\sim \diag(\zeta_1^d,\zeta_2^d,\ldots,\zeta_{p-1}^d)$となる.
このようなことが起こるのは, $\{\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_{p-1}\}$が多重集合として$\{1,1,\ldots,1\}$,もしくは$\{\exp(\frac{2\pi\sqrt{-1}}{p}),\exp(\frac{4\pi\sqrt{-1}}{p}),\ldots \exp(\frac{2(p-1)\pi\sqrt{-1}}{p}) \}$)と等しいときのみ.
ゆえに,$\chi^{i,j}_{p-1}$は$p-1$か$-1$のいずれか.
さて,$\inpr{\phi_i+\phi_j}{\phi_i+\phi_j}=c'_{ii}+c'_{ij}+c'_{ji}+c'_{jj}=\frac{p-2}{p}$である. $p'$元でない$\SL_2(\field p)$の元が$2(p^2-1)$個あることと合わせて,$\frac{p-2}{p}+\frac{2(p^2-1)}{p^3-p}\lvert \chi^{i,j}_{p-1} (1+E_{1,2}) \rvert^2=1$. よって,$\chi^{i,j}_{p-1}$は$-1$となる.

$\chi^{i,j}_{p+1}$の指標

上とほぼ同様.

$\chi^{\pm}_{\frac{p-1}{2}}$の指標

$\chi^{\pm}_{\frac{p-1}{2}}(A_{\zeta})=f_{\frac{p-1}{2}}(\zeta)$.
$\zeta=\pm 1$なら, $f_{\frac{p-1}{2}}(\zeta)=(\pm 1)^{{\frac{p-1}{2}}}{\frac{p-1}{2}}$.
$\zeta\in\C_{p-1}\setminus\{\pm 1\} $なら, $f_{\frac{p-1}{2}}(\zeta)=\frac{\zeta^{{\frac{p-1}{2}}}-\zeta^{-{\frac{p-1}{2}}}}{\zeta-\zeta^{-1}}=0$.
$\zeta\in\C_{p+1}\setminus\{\pm 1\} $なら, $ f_{\frac{p-1}{2}}(\zeta)= \frac{\zeta^{{\frac{p-1}{2}}}-\zeta^{-{\frac{p-1}{2}}}}{\zeta-\zeta^{-1}}= \frac{\zeta^{{\frac{p-1}{2}}}-\zeta^{{\frac{p+3}{2}}}}{\zeta-\zeta^{-1}}=-\zeta^{\frac{p+1}{2}}. $.

$r$を$\pmod p$での平方非剰余とし, 以下固定する.
$\chi^{\pm}_{\frac{p-1}{2}}(1+E_{1,2})\sim\diag(\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_{\frac{p-1}{2}})$と置く.
任意の$d\not\equiv 0\pmod p$に対し, $\diag(\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_{\frac{p-1}{2}})\sim\chi^{\pm}_{\frac{p-1}{2}}(1+E_{1,2})\sim\chi^{\pm}_{\frac{p-1}{2}}(1+d^2E_{1,2})\sim\diag(\zeta_1^{d^2},\zeta_2^{d^2},\ldots,\zeta_{\frac{p-1}{2}}^{d^2}) .$
このようなことがおきるのは, $\{\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_{\frac{p-1}{2}}\}$が多重集合として$\{1,1,\ldots,1\}$,もしくは$\{\exp(1^2\cdot\frac{2\pi\sqrt{-1}}{p}),\exp(2^2\cdot\frac{2\pi\sqrt{-1}}{p}),\ldots \exp((\frac{p-1}{2})^2\cdot\frac{2\pi\sqrt{-1}}{p}) \}$, もしくは$\{\exp(1^2\cdot\frac{2r\pi\sqrt{-1}}{p}),\exp(2^2\cdot\frac{2r\pi\sqrt{-1}}{p}),\ldots \exp((\frac{p-1}{2})^2\cdot\frac{2r\pi\sqrt{-1}}{p}) \}$と等しいときのみ.
よって, ガウス和の理論から, $\chi^{\pm}_{\frac{p-1}{2}}(1+E_{1,2})$は$\frac{p-1}{2}$か$\frac{1}{2}(-1\pm \sqrt{p^*})$. $\chi^{\pm}_{\frac{p-1}{2}}(1+rE_{1,2})$についても同様.
ここで, $\chi^{\pm}(1+E_{1,2})+\chi^{\pm}(1+rE_{1,2})=-1$が成立する(複合同順). これを示す:

$p\equiv 1\pmod{4}$のとき

$0=\inpr{\mathbb{1}}{\chi^{\pm}_{\frac{p-1}{2}}}=\inpr{\phi_1}{\phi_{\frac{p-1}{2}}}+\frac{p^2-1}{p^3-p}\chi^{\pm}(1+E_{1,2})+\frac{p^2-1}{p^3-p}\chi^{\pm}(1+rE_{1,2})$.
よって, $c'_{1,\frac{p-1}{2}}=\frac{1}{p}$から従う.

$p\equiv 3\pmod{4}$のとき

$0=\inpr{\chi^{1,p-2}_{p-1}}{\chi^{\pm}_{\frac{p-1}{2}}}=\inpr{\phi_1+\phi_{p-2}}{\phi_{\frac{p-1}{2}}}-\frac{p^2-1}{p^3-p}\chi^{\pm}(1+E_{1,2})-\frac{p^2-1}{p^3-p}\chi^{\pm}(1+rE_{1,2})$.
よって,$c'_{1,\frac{p-1}{2}}+c'_{p-2\frac{p-1}{2}}=\frac{1}{p}-\frac{2}{p}=-\frac{1}{p}$より従う.

ゆえに, $\chi^{\pm}(1+E_{1,2})+\chi^{\pm}(1+rE_{1,2})=-1$がわかった. $\chi^+\neq\chi^-$となるためには, (必要なら$\chi^{+}$と$\chi^{-}$を入れ替え), $\chi^{+}_{\frac{p-1}{2}}(1+dE_{1,2})=\frac{1}{2}(-1+\jac{d}{p}\sqrt{p^*})$, $\chi^{-}_{\frac{p-1}{2}}(1+dE_{1,2})=\frac{1}{2}(-1-\jac{d}{p}\sqrt{p^*})$となるしかない.

$\chi^{\pm}_{\frac{p+1}{2}}$の計算

上とほぼ同様.