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Gegenbauer多項式の積の公式

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Gegenbauer多項式は
\begin{align*} C_n^{(a)}(x)&:=\frac{(2a)_n}{n!}\sum_{0\leq k}\frac{(-n,2a+n)_k}{k!\left(a+\frac 12\right)_k}\left(\frac{1-x}2\right)^k \end{align*}
によって定義される直交多項式である. 今回の記事ではGegenbauer多項式の2つの積$C_m^{(a)}(x)C_n^{(a)}(x)$をGegenbauer多項式$\{C_k^{(a)}(x)\}_{0\leq k}$に関して展開したとき, その係数が超幾何的になることを示す.

$x=\frac{t+t^{-1}}2$とするとき,
\begin{align*} C_n^{(a)}(x)&=\sum_{k=0}^n\frac{(a)_k}{k!}\frac{(a)_{n-k}}{k!}t^{2k-n}\\ \end{align*}
が成り立つ.

母関数
\begin{align} \sum_{0\leq n}C_n^{(a)}(x)s^n&=\frac 1{(1-2xs+s^2)^a}\\ &=\frac 1{(1-st)^a(1-st^{-1})^a} \end{align}
の両辺の係数を比較すればよい.

\begin{align} C_m^{(a)}(x)C_n^{(a)}(x)&=\sum_{k=0}^n(m+n+a-2k)\frac{(a)_k}{k!}\frac{(a)_{m-k}}{(m-k)!}\frac{(a)_{n-k}}{(n-k)!}\frac{(2a)_{m+n-k}}{(a)_{m+n-k+1}}\frac{(m+n-2k)!}{(2a)_{m+n-2k}}C_{m+n-2k}^{(a)}(x) \end{align}

$x=\frac{t+t^{-1}}2$とすると,
\begin{align} C_n^{(a)}(x)&=\sum_{k=0}^n\frac{(a)_k}{k!}\frac{(a)_{n-k}}{k!}t^{2k-n}\\ &=\frac{(a)_n}{n!}t^{-n}\sum_{0\le k}\frac{(-n,a)_k}{k!(1-n-a)_k}t^{2k}\\ &=\frac{(a)_n}{n!}t^{-n}(1-t^2)^{1-2a}\sum_{0\leq k}\frac{(1-a,1-n-2a)_k}{k!(1-n-a)_k}t^{2k} \end{align}
より, 左辺は
\begin{align*} C_m^{(a)}(x)C_n^{(a)}(x)&=\frac{(a)_m(a)_n}{m!n!}t^{-m-n}(1-t^2)^{1-2a}\sum_{0\leq k}\frac{(-n,a)_k}{k!(1-n-a)_k}t^{2k}\sum_{0\leq j}\frac{(1-a,1-m-2a)_j}{j!(1-m-a)_j}t^{2j}\\ &=\frac{(a)_m(a)_n}{m!n!}t^{-m-n}(1-t^2)^{1-2a}\sum_{0\leq N}\frac{(1-a,1-m-2a)_N}{N!(1-m-a)_N}t^{2N}\F43{-n,a,-N,m+a-N}{1-n-a,a-N,2a+m-N}1 \end{align*}
となる. 一方, 右辺は
\begin{align*} &\sum_{k=0}^n(m+n+a-2k)\frac{(a)_k}{k!}\frac{(a)_{m-k}}{(m-k)!}\frac{(a)_{n-k}}{(n-k)!}\frac{(2a)_{m+n-k}}{(a)_{m+n-k+1}}\frac{(m+n-2k)!}{(2a)_{m+n-2k}}C_{m+n-2k}^{(a)}(x)\\ &=\sum_{k=0}^n(m+n+a-2k)\frac{(a)_k}{k!}\frac{(a)_{m-k}}{(m-k)!}\frac{(a)_{n-k}}{(n-k)!}\frac{(2a)_{m+n-k}}{(a)_{m+n-k+1}}\frac{(a)_{m+n-2k}}{(2a)_{m+n-2k}}t^{-m-n+2k}(1-t^2)^{1-2a}\sum_{0\leq j}\frac{(1-a,1-m-n+2k-2a)_j}{j!(1-n-m+2k-a)_j}t^{2j}\\ &=\frac{(a)_m(a)_n}{m!n!}t^{-m-n}(1-t^2)^{1-2a}\sum_{0\leq k,j}\frac{m+n+a-2k}{m+n+a}\frac{(a,-m,-n,-a-m-n)_k}{k!(1-m-a,1-n-a,1-2a-m-n)_k}\frac{(1-a,1-m-n-2a)_{2k+j}}{j!(1-n-m-a)_{2k+j}}t^{2k+2j}\\ &=\frac{(a)_m(a)_n}{m!n!}t^{-m-n}(1-t^2)^{1-2a}\sum_{0\leq N}t^{2N}\sum_{0\leq k}\frac{m+n+a-2k}{m+n+a}\frac{(a,-m,-n,-a-m-n)_k}{k!(1-m-a,1-n-a,1-2a-m-n)_k}\frac{(1-a)_{N-k}(1-m-n+2k-2a)_{N+k}}{(N-k)!(1-m-n+2k-a)_{N+k}}\\ &=\frac{(a)_m(a)_n}{m!n!}t^{-m-n}(1-t^2)^{1-2a}\sum_{0\leq N}\frac{(1-a,1-m-n-2a)_N}{N!(1-m-n-a)_N}t^{2N}\sum_{0\leq k}\frac{m+n+a-2k}{m+n+a}\frac{(a,-m,-n,-a-m-n,-N,1-m-n-2a+N)_k}{k!(1-m-a,1-n-a,1-2a-m-n,a-N,1-m-n-a+N)_k}\\ &=\frac{(a)_m(a)_n}{m!n!}t^{-m-n}(1-t^2)^{1-2a}\sum_{0\leq N}\frac{(1-a,1-m-n-2a)_N}{N!(1-m-n-a)_N}t^{2N}\F76{-a-m-n,1-\frac{a+m+n}2,a,-m,-n,-N,1-m-n-2a+N}{-\frac{a+m+n}2,1-2a-m-n,1-a-n,1-a-m,1-a-m-n+N,a-N}{1} \end{align*}
であるから, ${}_7F_6$に関するWhippleの変換公式
\begin{align*} \F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,-n}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-e,1+a+n}{1}&=\frac{(1+a,1+a-d-e)_n}{(1+a-d,1+a-e)_n}\F43{1+a-b-c,d,e,-n}{1+a-b,1+a-c,d+e-n-a}1 \end{align*}
を用いると,
\begin{align*} \F76{-a-m-n,1-\frac{a+m+n}2,a,-m,-n,-N,1-m-n-2a+N}{-\frac{a+m+n}2,1-2a-m-n,1-a-n,1-a-m,1-a-m-n+N,a-N}{1}&=\frac{(1-m-2a,1-m-n-a)_N}{(1-m-a,1-m-n-2a)_N}\F43{-n,a,-N,m+a-N}{1-n-a,a-N,2a+m-N}1 \end{align*}
となるので, 定理が示される.

積分公式

Gegenbauer多項式の直交性より定理2を用いると3つのGegenbauer多項式の積の積分表示を求めることができる.

$2N=l+m+n$が偶数のとき,
\begin{align*} \int_{-1}^1C_l^{(a)}(x)C_m^{(a)}(x)C_n^{(a)}(x)(1-x^2)^{a-\frac 12}\,dx&=\frac{(a)_{N-l}(a)_{N-m}(a)_{N-n}}{(N-l)!(N-m)!(N-n)!(a)_{N+1}}\frac{2^{1-2a}\pi\Gamma(N+2a)}{\Gamma(a)^2} \end{align*}

$l+m+n$が奇数のときは積分の値は0になる.

Legendre多項式

$a=\frac 12$とするとLegendre多項式の場合が得られる.

\begin{align*} P_m(x)P_n(x)&=\sum_{0\leq k}\left(m+n-2k+\frac 12\right)\frac{\left(\frac 12\right)_k}{k!}\frac{\left(\frac 12\right)_{m-k}}{(m-k)!}\frac{\left(\frac 12\right)_{n-k}}{(n-k)!}\frac{(m+n-k)!}{\left(\frac 12\right)_{m+n-k+1}}P_{m+n-2k}(x) \end{align*}

この場合の積分公式は$2N=l+m+n$を偶数として,
\begin{align} \int_{-1}^1P_l(x)P_m(x)P_n(x)\,dx&=\frac{\left(\frac 12\right)_{N-l}\left(\frac 12\right)_{N-m}\left(\frac 12\right)_{N-n}N!}{(N-l)!(N-m)!(N-n)!\left(\frac 12\right)_{N+\frac 12}} \end{align}
と表すことができる.

Hermite多項式

Gegenbauer多項式から
\begin{align} \lim_{a\to \infty}\frac 1{a^{\frac n2}}C_n^{(a)}\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)&=\frac{H_n(x)}{2^nn!} \end{align}
によってHermite多項式を得ることができる. よって, 定理2から以下が得られる.

\begin{align} H_m(x)H_n(x)&=m!n!\sum_{0\leq k}\frac{2^k}{k!(m-k)!(n-k)!}H_{m+n-2k}(x) \end{align}

この場合の積分公式は$2N=l+m+n$を偶数として,

\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}H_l(x)H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}\,dx&=\frac{2^{\frac N2}l!m!n!\sqrt{\pi}}{(N-l)!(N-m)!(N-n)!} \end{align}
となる.