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Gegenbauer多項式の積の公式

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Gegenbauer多項式は
$\begin{aligned} C_{n}^{(a)} (x) & := \frac{(2 a)_{n}}{n!} \sum_{0 \leq k} \frac{(- n, 2 a + n)_{k}}{k! {(a + \frac{1}{2})}_{k}} {(\frac{1 - x}{2})}^{k} \end{aligned}$
によって定義される直交多項式である. 今回の記事ではGegenbauer多項式の2つの積 $C_{m}^{(a)} (x) C_{n}^{(a)} (x)$ をGegenbauer多項式 ${C_{k}^{(a)} (x)}_{0 \leq k}$ に関して展開したとき, その係数が超幾何的になることを示す.

$x = \frac{t + t^{- 1}}{2}$ とするとき,
$\begin{aligned} C_{n}^{(a)} (x) & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a)_{k}}{k!} \frac{(a)_{n - k}}{k!} t^{2 k - n} \end{aligned}$
が成り立つ.

母関数
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} C_{n}^{(a)} (x) s^{n} & = \frac{1}{(1 - 2 x s + s^{2})^{a}} \\ = \frac{1}{(1 - s t)^{a} (1 - s t^{- 1})^{a}} \end{aligned}$
の両辺の係数を比較すればよい.

$\begin{aligned} C_{m}^{(a)} (x) C_{n}^{(a)} (x) \\ = \sum_{k = 0}^{n} (m + n + a - 2 k) \frac{(a)_{k}}{k!} \frac{(a)_{m - k}}{(m - k)!} \frac{(a)_{n - k}}{(n - k)!} \frac{(2 a)_{m + n - k}}{(a)_{m + n - k + 1}} \frac{(m + n - 2 k)!}{(2 a)_{m + n - 2 k}} C_{m + n - 2 k}^{(a)} (x) \end{aligned}$

$x = \frac{t + t^{- 1}}{2}$ とすると,
$\begin{aligned} C_{n}^{(a)} (x) & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a)_{k}}{k!} \frac{(a)_{n - k}}{k!} t^{2 k - n} \\ = \frac{(a)_{n}}{n!} t^{- n} \sum_{0 \leq k} \frac{(- n, a)_{k}}{k! (1 - n - a)_{k}} t^{2 k} \\ = \frac{(a)_{n}}{n!} t^{- n} (1 - t^{2})^{1 - 2 a} \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - a, 1 - n - 2 a)_{k}}{k! (1 - n - a)_{k}} t^{2 k} \end{aligned}$
より, 左辺は
$\begin{aligned} C_{m}^{(a)} (x) C_{n}^{(a)} (x) \\ = \frac{(a)_{m} (a)_{n}}{m! n!} t^{- m - n} (1 - t^{2})^{1 - 2 a} \sum_{0 \leq k} \frac{(- n, a)_{k}}{k! (1 - n - a)_{k}} t^{2 k} \sum_{0 \leq j} \frac{(1 - a, 1 - m - 2 a)_{j}}{j! (1 - m - a)_{j}} t^{2 j} \\ = \frac{(a)_{m} (a)_{n}}{m! n!} t^{- m - n} (1 - t^{2})^{1 - 2 a} \sum_{0 \leq N} \frac{(1 - a, 1 - m - 2 a)_{N}}{N! (1 - m - a)_{N}} t^{2 N}_{4} F_{3} [\begin{array}{c} - n, a, - N, m + a - N \\ 1 - n - a, a - N, 2 a + m - N \end{array}; 1] \end{aligned}$
となる. 一方, 右辺は
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} (m + n + a - 2 k) \frac{(a)_{k}}{k!} \frac{(a)_{m - k}}{(m - k)!} \frac{(a)_{n - k}}{(n - k)!} \frac{(2 a)_{m + n - k}}{(a)_{m + n - k + 1}} \frac{(m + n - 2 k)!}{(2 a)_{m + n - 2 k}} C_{m + n - 2 k}^{(a)} (x) \\ = \sum_{k = 0}^{n} (m + n + a - 2 k) \frac{(a)_{k}}{k!} \frac{(a)_{m - k}}{(m - k)!} \frac{(a)_{n - k}}{(n - k)!} \frac{(2 a)_{m + n - k}}{(a)_{m + n - k + 1}} \frac{(a)_{m + n - 2 k}}{(2 a)_{m + n - 2 k}} t^{- m - n + 2 k} \\ \cdot (1 - t^{2})^{1 - 2 a} \sum_{0 \leq j} \frac{(1 - a, 1 - m - n + 2 k - 2 a)_{j}}{j! (1 - n - m + 2 k - a)_{j}} t^{2 j} \\ = \frac{(a)_{m} (a)_{n}}{m! n!} t^{- m - n} (1 - t^{2})^{1 - 2 a} \sum_{0 \leq k, j} \frac{m + n + a - 2 k}{m + n + a} \\ \cdot \frac{(a, - m, - n, - a - m - n)_{k}}{k! (1 - m - a, 1 - n - a, 1 - 2 a - m - n)_{k}} \frac{(1 - a, 1 - m - n - 2 a)_{2 k + j}}{j! (1 - n - m - a)_{2 k + j}} t^{2 k + 2 j} \\ = \frac{(a)_{m} (a)_{n}}{m! n!} t^{- m - n} (1 - t^{2})^{1 - 2 a} \sum_{0 \leq N} t^{2 N} \sum_{0 \leq k} \frac{m + n + a - 2 k}{m + n + a} \\ \cdot \frac{(a, - m, - n, - a - m - n)_{k}}{k! (1 - m - a, 1 - n - a, 1 - 2 a - m - n)_{k}} \frac{(1 - a)_{N - k} (1 - m - n + 2 k - 2 a)_{N + k}}{(N - k)! (1 - m - n + 2 k - a)_{N + k}} \\ = \frac{(a)_{m} (a)_{n}}{m! n!} t^{- m - n} (1 - t^{2})^{1 - 2 a} \sum_{0 \leq N} \frac{(1 - a, 1 - m - n - 2 a)_{N}}{N! (1 - m - n - a)_{N}} t^{2 N} \\ \cdot \sum_{0 \leq k} \frac{m + n + a - 2 k}{m + n + a} \frac{(a, - m, - n, - a - m - n, - N, 1 - m - n - 2 a + N)_{k}}{k! (1 - m - a, 1 - n - a, 1 - 2 a - m - n, a - N, 1 - m - n - a + N)_{k}} \\ = \frac{(a)_{m} (a)_{n}}{m! n!} t^{- m - n} (1 - t^{2})^{1 - 2 a} \sum_{0 \leq N} \frac{(1 - a, 1 - m - n - 2 a)_{N}}{N! (1 - m - n - a)_{N}} t^{2 N} \\ \cdot_{7} F_{6} [\begin{array}{c} - a - m - n, 1 - \frac{a + m + n}{2}, a, - m, - n, - N, 1 - m - n - 2 a + N \\ - \frac{a + m + n}{2}, 1 - 2 a - m - n, 1 - a - n, 1 - a - m, 1 - a - m - n + N, a - N \end{array}; 1] \end{aligned}$
であるから, $_{7} F_{6}$ に関するWhippleの変換公式
$\begin{aligned} _{7} F_{6} [\begin{array}{c} a, 1 + \frac{a}{2}, b, c, d, e, - n \\ \frac{a}{2}, 1 + a - b, 1 + a - c, 1 + a - e, 1 + a + n \end{array}; 1] \\ = \frac{(1 + a, 1 + a - d - e)_{n}}{(1 + a - d, 1 + a - e)_{n}}_{4} F_{3} [\begin{array}{c} 1 + a - b - c, d, e, - n \\ 1 + a - b, 1 + a - c, d + e - n - a \end{array}; 1] \end{aligned}$
を用いると,
$\begin{aligned} _{7} F_{6} [\begin{array}{c} - a - m - n, 1 - \frac{a + m + n}{2}, a, - m, - n, - N, 1 - m - n - 2 a + N \\ - \frac{a + m + n}{2}, 1 - 2 a - m - n, 1 - a - n, 1 - a - m, 1 - a - m - n + N, a - N \end{array}; 1] \\ = \frac{(1 - m - 2 a, 1 - m - n - a)_{N}}{(1 - m - a, 1 - m - n - 2 a)_{N}}_{4} F_{3} [\begin{array}{c} - n, a, - N, m + a - N \\ 1 - n - a, a - N, 2 a + m - N \end{array}; 1] \end{aligned}$
となるので, 定理が示される.

積分公式

Gegenbauer多項式の直交性より定理2を用いると3つのGegenbauer多項式の積の積分表示を求めることができる.

$2 N = l + m + n$ が偶数のとき,
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} C_{l}^{(a)} (x) C_{m}^{(a)} (x) C_{n}^{(a)} (x) (1 - x^{2})^{a - \frac{1}{2}} d x & = \frac{(a)_{N - l} (a)_{N - m} (a)_{N - n}}{(N - l)! (N - m)! (N - n)! (a)_{N + 1}} \frac{2^{1 - 2 a} π Γ (N + 2 a)}{Γ (a)^{2}} \end{aligned}$

$l + m + n$ が奇数のときは積分の値は0になる.

Legendre多項式

$a = \frac{1}{2}$ とするとLegendre多項式の場合が得られる.

$\begin{aligned} P_{m} (x) P_{n} (x) & = \sum_{0 \leq k} (m + n - 2 k + \frac{1}{2}) \frac{{(\frac{1}{2})}_{k}}{k!} \frac{{(\frac{1}{2})}_{m - k}}{(m - k)!} \frac{{(\frac{1}{2})}_{n - k}}{(n - k)!} \frac{(m + n - k)!}{{(\frac{1}{2})}_{m + n - k + 1}} P_{m + n - 2 k} (x) \end{aligned}$

この場合の積分公式は $2 N = l + m + n$ を偶数として,
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} P_{l} (x) P_{m} (x) P_{n} (x) d x & = \frac{{(\frac{1}{2})}_{N - l} {(\frac{1}{2})}_{N - m} {(\frac{1}{2})}_{N - n} N!}{(N - l)! (N - m)! (N - n)! {(\frac{1}{2})}_{N + \frac{1}{2}}} \end{aligned}$
と表すことができる.

Hermite多項式

Gegenbauer多項式から
$\begin{aligned} lim_{a \to \infty} \frac{1}{a^{\frac{n}{2}}} C_{n}^{(a)} (\frac{x}{\sqrt{a}}) & = \frac{H_{n} (x)}{2^{n} n!} \end{aligned}$
によってHermite多項式を得ることができる. よって, 定理2から以下が得られる.

$\begin{aligned} H_{m} (x) H_{n} (x) & = m! n! \sum_{0 \leq k} \frac{2^{k}}{k! (m - k)! (n - k)!} H_{m + n - 2 k} (x) \end{aligned}$

この場合の積分公式は $2 N = l + m + n$ を偶数として,

$\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} H_{l} (x) H_{m} (x) H_{n} (x) e^{- x^{2}} d x & = \frac{2^{\frac{N}{2}} l! m! n! \sqrt{π}}{(N - l)! (N - m)! (N - n)!} \end{aligned}$
となる.