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京大理系数学2018-1

問題１

$0$ でない実数 $a, b, c$ が次の条件(i)と(ii)を満たしながら動くものとする．
(i) $1 + c^{2} \leq 2 a$
(ii) ２つの放物線 $C_{1} : y = a x^{2}$ と $C_{2} : y = b (x - 1)^{2} + c$ は接している．
ただし，2つの曲線が接するとは，ある共有点において共通の接線をもつことであり，その共有点を接点という．
(1) $C_{1}$ と $C_{2}$ の接点の座標を $a$ と $c$ を用いて示せ．
(2) $C_{1}$ と $C_{2}$ の接点が動く範囲を求め，その範囲を図示せよ．

知識確認

放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）が $x$ 軸と接する
$⟺$ $a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）の判別式 $D = b^{2} - 4 a c = 0$

（ $⟹$ ）微分すると， $y^{'} = 2 a x + b$ ． $x$ 軸の傾きは $0$ なので，接するならば， $2 a x + b = 0$ が成り立つ．よって，接点の $x$ 座標は $- \frac{b}{2 a}$ ．放物線の方程式に代入すると，接点は $(- \frac{b}{2 a}, \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})$ であることが分かる．当たり前だが， $x$ 軸上の点の $y$ 座標は $0$ なので， $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = 0$ ．よって $b^{2} - 4 a c = 0$ である．
（ $⟸$ ） $D = 0$ より，放物線と $x$ 軸のただ一つの共有点の座標は $(- \frac{b}{2 a}, 0)$ ．ここにおける放物線の傾きは， $y^{'} = 2 a x + b$ より0．よって接する．

解答

（１）
上の考察より， $y = (b - a) x^{2} - 2 b x + b + c$ （ $C_{1}$ と $C_{2}$ の差を表す放物線 $C_{3}$ ）が $x$ 軸と接すればよい． $a = b$ の時， $y = - 2 b x + b + c$ （ $b \neq 0$ ）なので， $x$ 軸と接しない．よって $a \neq b$ としてよい．すると上の考察より， $C_{3}$ と $x$ 軸の接点の $x$ 座標は $\frac{b}{b - a}$ ．
　また， $D / 4 = b^{2} - (b - a) (b + c) = 0$ もわかる．すると， $b (c - a) = a c$ ．問題文より， $a c \neq 0$ より， $c - a \neq 0$ も大丈夫．よって $b = \frac{a c}{c - a}$ とできる．
　 $C_{3}$ と $x$ 軸の接点の $x$ 座標は $\frac{b}{b - a}$ であることから， $C_{1}$ と $C_{2}$ の接点の $x$ 座標も $\frac{b}{b - a} = \frac{c}{a}$ （ $b = \frac{a c}{c - a}$ を代入した．）．よって $C_{1}$ の式から，接点は $(\frac{c}{a}, \frac{c^{2}}{a})$ である．

（２）
$X = \frac{c}{a}, Y = \frac{c^{2}}{a}$ とおく． $c \neq 0$ より， $X \neq 0, Y \neq 0$ である．すると $c = \frac{Y}{X}, a = \frac{Y}{X^{2}}$ なので， $1 + c^{2} \leq 2 a$ に代入して，計算すると，
$X^{2} + (Y - 1)^{2} \leq 1$ となる．図示は省略します．