京大理系数学2018-1
$0$でない実数$a,b,c$が次の条件(i)と(ii)を満たしながら動くものとする．
(i) $1+c^2\leq 2a$
(ii) ２つの放物線$C_1:y=ax^2$と$C_2:y=b(x-1)^2+c$は接している．
ただし，2つの曲線が接するとは，ある共有点において共通の接線をもつことであり，その共有点を接点という．
(1)$C_1$と$C_2$の接点の座標を$a$と$c$を用いて示せ．
(2)$C_1$と$C_2$の接点が動く範囲を求め，その範囲を図示せよ．
知識確認
放物線$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）が$x$軸と接する
$\Longleftrightarrow$$ax^2+bx+c$（$a\neq 0$）の判別式$D=b^2-4ac=0$
（$\Longrightarrow$）微分すると，$y'=2ax+b$．$x$軸の傾きは$0$なので，接するならば，$2ax+b=0$が成り立つ．よって，接点の$x$座標は$-\dfrac{b}{2a}$．放物線の方程式に代入すると，接点は$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$であることが分かる．当たり前だが，$x$軸上の点の$y$座標は$0$なので，$\dfrac{4ac-b^2}{4a}=0$．よって$b^2-4ac=0$である．
（$\Longleftarrow$）$D=0$より，放物線と$x$軸のただ一つの共有点の座標は$(-\dfrac{b}{2a},0)$．ここにおける放物線の傾きは，$y'=2ax+b$より0．よって接する．
解答
（１）
上の考察より，$y=(b-a)x^2-2bx+b+c$（$C_1$と$C_2$の差を表す放物線$C_3$）が$x$軸と接すればよい．$a=b$の時，$y=-2bx+b+c$（$b\neq 0$）なので，$x$軸と接しない．よって$a\neq b$としてよい．すると上の考察より，$C_3$と$x$軸の接点の$x$座標は$\dfrac{b}{b-a}$．
また，$D/4=b^2-(b-a)(b+c)=0$もわかる．すると，$b(c-a)=ac$．問題文より，$ac\neq0$より，$c-a\neq 0$も大丈夫．よって$b=\dfrac{ac}{c-a}$とできる．
$C_3$と$x$軸の接点の$x$座標は$\dfrac{b}{b-a}$であることから，$C_1$と$C_2$の接点の$x$座標も$\dfrac{b}{b-a}=\dfrac{c}{a}$（$b=\dfrac{ac}{c-a}$を代入した．）．よって$C_1$の式から，接点は$\left(\dfrac{c}{a},\dfrac{c^2}{a}\right)$である．
（２）
$X=\dfrac{c}{a},Y=\dfrac{c^2}{a}$とおく．$c\neq 0$より，$X\neq 0,Y\neq 0$である．すると$c=\dfrac{Y}{X},a=\dfrac{Y}{X^2}$なので，$1+c^2\leq 2a$に代入して，計算すると，
$X^2+(Y-1)^2\leq 1$となる．図示は省略します．
解いた感想
これミスを誘う問題な気がします．良くも悪くも”入試問題”って感じですね．こういうのを取れたら嬉しいような気がします（ミスる人が多そうなので）．
