Πの無理数性の証明/大阪大03年後期理系第４問

［解答］
（１）
$$\quad　1+ \frac{x}{1!}+ \frac{x^2}{2!}+\cdots+ \frac{x^n}{n!}< e^x\quad (x>0)\quad　[1]$$
これを「数学的帰納法」で示す．
$$\quad　F_n(x)=e^x-(1+ \frac{x}{1!}+ \frac{x^2}{2!}+\cdots+ \frac{x^n}{n!})$$
とおく．ここで，$F_n'(x)=F_{n-1}(x)，F_n(0)=0\quad (n=1,2, \cdots )$である．

［basis］$n=1$のときに成り立つことを示す．示すべきは，$x>0$のとき$F_1(x)>0$が成り立つこと．
$$\quad　F_1'(x)=e^x-1>0\quad(∵x>0)$$
$F_1(x)$は単調に増加する．$F_1(x)>F_1(0)=0$．
成り立つ．
［induction step］$n=k$のときに成り立つことを仮定する：
$$\quad　F_k(x)>0\quad (x>0)$$
ここで示すべきは，$x>0$のとき$F_{k+1}(x)>0$が成り立つこと．
$\quad　F_{k+1}'(x)=F_k(x)>0$　　(∵仮定)
$F_{k+1}(x)$は単調に増加する．$F_{k+1}(x)>F_{k+1}(0)=0$．
$n=k+1$のときも成り立つ．
［conclusion］以上から，すべての自然数$n$で不等式[1]は成り立つ．□□
$$\quad　I_0+ uI_1+u^2I_2+\cdots+ u^nI_n<\pi e^{\pi u}\quad (u>0)\quad　[2]$$
これを示す．
$$\quad　I_0+ uI_1+u^2I_2+\cdots+ u^nI_n=\sum_{k=0}^{n} u^kI_k$$
である．ここで，
$$\quad I_0=\pi[\frac{- \cos{\pi t}}{\pi} ]_0^1=2$$
$$\quad I_1= \pi ^2[\frac{-t(1-t) \cos{\pi t}}{\pi} ]_0^1+\pi ^2\int_{0}^{1} (1-2t)\frac{ \cos{\pi t}}{\pi}dt$$
$$\quad I_1= -2\pi \int_{0}^{1} t\cos{\pi t}dt=-2\pi \int_{0}^{1} t(\frac{ \sin{\pi t}}{\pi})'dt=-2\int_{0}^{1} t(\sin{\pi t})'dt$$
$$\quad I_1=-2[t\sin{\pi t}]_0^1+2\int_{0}^{1} \sin \pi tdt=2[\frac{- \cos{\pi t}}{\pi} ]_0^1= \frac{4}{\pi} $$
また，$k$を自然数とする．$0< t<1$の範囲で，$0< t^{k} (1-t)^k \sin{\pi t} <1$なので，$u>0$で，
$0< I_0=2<\pi, \quad 0< u^kI_k<\frac{\pi^{k+1}}{k!}u^k= \pi\frac{{(\pi u)}^{k}}{k!}$で，前半の不等式から，
$$\quad \sum_{k=0}^{n} u^kI_k< \pi\sum_{k=0}^{n} \frac{(\pi u)^{k}}{k!}<\pi e^{\pi u}$$
よって，不等式[2]も成り立つ．□□
（２）(1)で，
$$\quad I_0=2，I_1=\frac{4}{\pi}．$$
$1-2t=-t+(1-t)$から，
$ \lbrace t^{n+1}(1-t)^{n+1} \rbrace'=(n+1)t^{n}(1-t)^{n} (1-2t)=(n+1)\lbrace -t^{n+1}(1-t)^{n}+t^{n}(1-t)^{n+1} \rbrace $なので，

$$\quad I_n= \frac{\pi ^{n+1}}{n!} \int_{0}^{1} t^n(1-t)^n\sin \pi tdt \quad (n=1,2, \cdots )$$
$$\quad　D=I_{n+1}-\frac{4n+2}{\pi} I_n+I_{n-1} \quad (n=1,2, \cdots )$$
とおく．
以下，$[　 ]_0^1=0$になるので，省略して，
$$\quad I_{n+1}=\frac{\pi ^{n+2}}{(n+1)!} \int_{0}^{1} t^{n+1}(1-t)^{n+1}\sin \pi tdt $$
$$\quad I_{n+1}=\frac{\pi ^{n+2}}{(n+1)!} \int_{0}^{1} t^{n+1}(1-t)^{n+1}(\frac{ -\cos{\pi t}}{\pi})'dt $$
$$\quad I_{n+1}=\frac{\pi ^{n+1}}{n!} \int_{0}^{1} t^{n}(1-t)^{n}(1-2t)\cos{\pi t}dt $$
$$\quad I_{n+1}=\frac{\pi ^{n+1}}{n!} \int_{0}^{1} t^{n}(1-t)^{n}(1-2t)(\frac{ \sin{\pi t}}{\pi})'dt $$
$$\quad I_{n+1}=ｰ\frac{\pi ^{n}}{n!} \int_{0}^{1} \lbrace t^{n}(1-t)^{n}(1-2t)\rbrace'\sin{\pi t}dt $$
$$\quad \lbrace t^{n}(1-t)^{n}(1-2t)\rbrace'=nt^{n-1}(1-t)^{n-1}(1-2t)^2-2t^{n}(1-t)^{n}$$
$(1-2t)^2=-4t(1-t)+1$なので，
$$\quad \lbrace t^{n}(1-t)^{n}(1-2t)\rbrace'=-(4n+2)t^{n}(1-t)^{n}+nt^{n-1}(1-t)^{n-1}$$
となって，上の式を続けて，
$$\quad I_{n+1}=\frac{\pi ^{n}}{n!} \int_{0}^{1} \lbrace (4n+2)t^{n}(1-t)^{n}-nt^{n-1}(1-t)^{n-1}\rbrace\sin{\pi t}dt $$
$$\quad I_{n+1}={\int_{0}^{1} \lbrace \frac{4n+2}{\pi} \frac{\pi ^{n+1}}{n!}t^{n}(1-t)^{n}- \frac{n}{n}\frac{\pi ^{n}}{(n-1)!}t^{n-1}(1-t)^{n-1}\rbrace\sin{\pi t}dt}=\frac{4n+2}{\pi} I_n-I_{n-1} $$
よって，漸化式は成り立つ．□□
（３）
まず，$I_n>0$は確認されている．したがって，
与えられた設定で，$A_n>0$．「背理法」の仮定から，$\quad A_0=2,A_n=p^nI_n$で，
$$\quad　p^{-(n+1)}A_{n+1}= \frac{4n+2}{p/q} p^{-n}A_n-p^{-(n-1)}A_{n-1} \quad (n=1,2, \cdots )$$
$$\quad　A_{n+1}= (4n+2)qA_n-p^2A_{n-1} $$
これから，$A_n$は正の整数値をとる．
ここで，[2]の不等式で，$u=p$とすると，左辺は，
$$\quad　I_0+ pI_1+p^2I_2+\cdots+ p^nI_n=A_0+A_1+A_2+\cdots+ A_n$$
右辺は，
$$\quad　\pi e^{\pi u}=\frac{p}{q} e^{ \frac{p}{q}p}=\frac{p}{q} e^{ \frac{p^2}{q}}$$
ここで，右辺は，有限な確定値であるが，正の整数$n$を十分に大きくとると，左辺は，正の整数の和なので，右辺より大きくすることができる．これは不等式に矛盾する．
したがって，「仮定」は正しくない．
$\pi $は無理数である．□□