素数計数関数の恒等式の一般化
はじめに
前回 の続きで、得られた恒等式を逆数和に一般化します。この記事では自然数を$\mathbb{N}$、複素数を$\mathbb{C}$で表します。
この記事の目標は、次の恒等式を証明することです。大まかな証明の流れは
前回
と同じです。
任意の複素数$s$とし、与えられた2以上の実数$N$について
\begin{equation}
H_s(N)-1=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{\eta_{\ell m}}{m^s}q_{\ell s} \Bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \Bigr),\quad \eta_{\ell m}=\frac{1}{\Omega(m)+\ell},
\end{equation}
が成り立つ。
恒等式の証明
$N \geq 1$、$s \in \mathbb{C}$に対し、自然数の$s$乗の逆数和を次のように定義する。
\begin{equation}
H_s(N) \coloneqq \displaystyle \sum_{k=1}^{\lfloor N \rfloor} \frac{1}{k^s},
\end{equation}
特に$s=1$のとき、
\begin{equation}
H(N) \coloneqq \displaystyle \sum_{k=1}^{\lfloor N \rfloor} \frac{1}{k}.
\end{equation}
$N \geq 2$、$s \in \mathbb{C}$に対し、素数の$s$乗の逆数和を次のように定義する。
\begin{equation}
q_s(N) \coloneqq \displaystyle \sum_{p \leq N} \frac{1}{p^s},
\end{equation}
ここで、$p$は$N$を超えない素数である。特に$s=1$のとき、
\begin{equation}
q(N) \coloneqq \displaystyle \sum_{p \leq N} \frac{1}{p}.
\end{equation}
pridでは$N$以下の$k$-概素数の計数関数を$\pi^{(k)}(N)$と表記した。$N$までの$k$-概素数の$s$乗の逆数和についても$q_s^{(k)}(N)$と表記する。
s=1の場合
簡単のため、$s=1$について考える。
2以上の実数$N$に対し、次の恒等式が成り立つ。
\begin{equation}
H(N) = 1+ \displaystyle \sum_{k=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}q^{(k)}(N).
\end{equation}
$N$以下の自然数の逆数和は、1と全ての$k$-概素数の逆数和と等しい。式の成り立つ条件はpridの補題1と同じである。
$q^{(k)}(N)$を$q(N), \dots , q_k(N)$を使って表そうと試みる。$k=2,3$の場合は
\begin{align}
q^{(2)}(N) &= \Biggl(q_2 \bigl(\sqrt{N} \bigr) + \displaystyle \sum_{i=1}^{\pi(N/2)}\frac{q(N/p_i)}{p_i} \Biggr)/2, \\
q^{(3)}(N) &= \Biggl( q_3\bigl( \sqrt[3]{N} \bigr)+\displaystyle \sum_{i=1}^{\pi(N/4)}\frac{q_2 \bigl(\sqrt{N/p_i} \bigr)}{p_i}+\sum_{\substack{{i_1},{i_2}=1\\{i_1}={i_2}}}^{p_{i_1}p_{i_2} \leq \lfloor N/2 \rfloor }\frac{q(N/p_{i_1} p_{i_2})}{p_{i_1} p_{i_2} }\Biggr)/3.
\end{align}
ここで$\displaystyle \sum_{\substack{{i_1},{i_2}=1\\{i_1}={i_2}}}^{p_{i_1}p_{i_2} \leq \lfloor N/2 \rfloor}$は$\lfloor N/2 \rfloor$以下の重複を含む全ての$p_{i_1}p_{i_2}$について総和を取ることを意味する。
次に$q(N)$の性質からいくつか補題を導く。
与えられた実数$N$以下の$mp$で表される数の逆数和は$q(N/m)/m$と等しい。
ここで$m$はある自然数、$p$は任意の素数とする。
$m=1$のとき、定義より明らか。
$m=2$のとき、$\pi(N/2)=n$とする。$q(N/2)$は$1/p_1+\cdots + 1/p_n$を表し、ここで$p_k$は$k$番目の素数である。また、$N$を超えない$2p$で表される数の逆数和は$1/(2p_1)+\cdots +1/(2p_n)$で表される。よって、それは$q(N/2)/2$と等しい。
2を$m$に置き換えることで、任意の自然数$m$について成り立つ。
与えられた実数$N$以下の$p^\ell$で表される数の逆数和は$q_\ell\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr)$と等しい。
ここで$\ell$はある自然数、$p$は任意の素数とする。
$\ell=1$のとき、定義より明らか。
$\ell=2$のとき、$\pi\bigl(\sqrt{N}\bigr)=n$とする。$q_2\bigl(\sqrt{N}\bigr)$は$1/{p_1}^2+\cdots + 1/{p_n}^2$を表し、ここで$p_k$は$k$番目の素数である。また、$N$を超えない$p^2$で表される数の逆数和は$1/{p_1}^2+\cdots +1/{p_n}^2$で表される。よって、それは$q_2\bigl(\sqrt{N}\bigr)$に等しい。
2を$\ell$に置き換えることで、任意の自然数$\ell$について成り立つ。
与えられた実数$N$以下の$mp^\ell$で表される数の逆数和は$q_\ell \bigl( \sqrt[\ell]{N/m} \bigr)/m$と等しい。
補題3より$q_\ell \bigl( \sqrt[\ell]{N/m} \bigr)$は$N/m$以下の$p^\ell$の逆数和と等しい。補題2は$N/m$以下の素数の逆数和を$m$で割ったものは、$N$以下の$mp$の逆数和と等しいことを意味する。それゆえ、$N/m$以下の$p^\ell$の逆数和を$m$で割った物は、$N$以下の$mp^\ell$の逆数和と等しい。
これらの補題を使って次の命題を示す。
$k$を2以上の自然数とすると、
\begin{equation}
q^{(k)}(N) = \Biggl( q_k \bigl( \sqrt[k]{N} \bigr) + \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N/2^{(k-j)} \rfloor } \frac{q_{(k-j)} \Bigl( \sqrt[k-j]{N/p_{i_1} \dotsm p_{i_j} } \Bigr)}{p_{i_1}\dotsm p_{i_j}} \Biggr)/k,
\end{equation}
となり、ここで$\displaystyle \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N/2^{(k-j)} \rfloor }$は$\lfloor N/2^{(k-j)}\rfloor$以下の重複を含む全ての$p_{i_1}\cdots p_{i_j}$について総和を取ることを意味する。
補題4より$q_{(k-j)} \Bigl( \sqrt[k-j]{N/p_{i_1} \dotsm p_{i_j} } \Bigr)/p_{i_1}\cdots p_{i_j}$は、任意の素数$p$に対して、$N$以下の$p_{i_1}\cdots p_{i_j}p^{k-j}$の逆数和である。$p_{i_1}$から$p_{i_j}$は重複を含み、総和を取ることで$p_{i_1}\cdots p_{i_j}$は全ての$j$-概素数となる。そのため$N$が$k$-概素数のとき、$ \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}} q_{(k-j)} \Bigl( \sqrt[k-j]{N/p_{i_1} \dotsm p_{i_j} } \Bigr)/p_{i_1}\dotsm p_{i_j}$は$k$-概素数の内の$p^{k-j}$で表される素数の個数を$N$で割ったものと等しい。
$x \geq 2$に対し$q(x), \dots , q_k(x)$は正である。pridの命題7と同様に、$p_{i_1} \dotsm p_{i_j}$が整数であることを考慮して、上限$p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N/2^{(k-j)} \rfloor$を得る。
1から$k-1$までの$j$の総和$\displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N/2^{(k-j)} \rfloor } \frac{q_{(k-j)}\Bigl( \sqrt[k-j]{N/p_{i_1} \dotsm p_{i_j} } \Bigr)}{p_{i_1} \dotsm p_{i_j}}$は$k$-概素数の内$p^1,p^2, \dots ,p^{k-1}$で表される素数の個数を$N$で割ったものと等しい。同様に、$q_k \bigl( \sqrt[k]{N} \bigr)$は$p^k$で表される素数の個数を$N$で割ったものと等しい。これらの総和は$N$が$k$-概素数のとき、$k/N$増加する。したがって、これらの総和を$k$で割ったものは$q^{(k)}(N)$と同等である。
与えられた2以上の実数$N$について、次の恒等式が成り立つ。
\begin{equation}
H(N)=1+\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{q_\ell \bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \bigr)}{(\Omega(m)+\ell)\cdot m},
\end{equation}
ここで$\Omega(n)$は、与えられた自然数$n$の重複を含めた素因数の個数を返す。
命題5で得られた$q^{(k)}(N)$の公式を補題1の恒等式に代入して
\begin{equation}
\begin{split}
H(N) &= 1 + q(N) \\
&+\displaystyle \sum_{k=2}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}\Biggl( q_k \bigl(\sqrt[k]{N} \bigr) + \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N/2^{(k-j)} \rfloor } \frac{q_{(k-j)} \Bigl( \sqrt[k-j]{N/p_{i_1} \dotsm p_{i_j} } \Bigr)}{p_{i_1} \dotsm p_{i_j}} \Biggr)/k
\end{split}
\end{equation}
を得る。計算しやすくするため、任意の自然数$m,\ell$として$q_\ell \bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \bigr)$に分け、$m,\ell$の昇順に並び替えた。
\begin{equation} \label{eq:primereciprocalssum2}
\begin{split}
H(N) &= 1 + q(N) + \frac{q(N/2)}{2\cdot 2}+\cdots +\frac{q(N/\lfloor N/2 \rfloor)}{(\Omega(\lfloor N/2 \rfloor) +1)\cdot \lfloor N/2 \rfloor} \\
&+ \frac{q_2 \bigl( \sqrt{N} \bigr)}{2\cdot1} + \frac{q_2 \bigl( \sqrt{N/2} \bigr)}{3\cdot2}+\cdots +\frac{q_2 \bigl( \sqrt{N/\lfloor N/2^2 \rfloor} \bigr)}{(\Omega(\lfloor N/2^2 \rfloor)+2)\cdot\lfloor N/2^2 \rfloor}+\cdots \\
&+\frac{q_\ell \bigl( \sqrt[\ell]{N} \bigr)}{(\Omega(1)+\ell)\cdot1}+\cdots +\frac{q_\ell \bigl( \sqrt[\ell]{N/m} \bigr)}{(\Omega(m)+\ell)\cdot m}+\cdots + \frac{q_\ell \bigl( \sqrt[\ell]{N/\lfloor N/2^\ell \rfloor} \bigr)}{(\Omega(\lfloor N/2^\ell \rfloor)+\ell)\cdot \lfloor N/2^\ell \rfloor} +\cdots \\
&+\frac{q_{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \bigl( \sqrt[\lfloor \log_2{N} \rfloor]{N} \bigr) }{(\Omega(1)+\lfloor \log_2{N} \rfloor)\cdot1}.
\end{split}
\end{equation}
この式より$q_\ell \bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \bigr)$の係数は$1/((\Omega(m)+\ell)\cdot m)$で表せられる。$x\geq2$のとき、$\pi(x)$と同じく、$q(x), \dots , q_k(x)$は正である。よって、$\ell,m$の条件はpridの定理8と同じである。
任意の複素数$s$の場合
$s=1$の場合の結果を任意の複素数$s$の場合に拡張する。
$s \in \mathbb{C}$,2以上の実数$N$に対し、次の恒等式が成り立つ。
\begin{equation}
H_s(N) = 1+ \displaystyle \sum_{k=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}q_s^{(k)}(N).
\end{equation}
補題1を$s$乗に拡張した。
与えられた実数$N$以下の$mp$で表される数の$s$乗の逆数和は$q_s(N/m)/m^s$と等しい。
ここで$m$はある自然数、$p$は任意の素数とする。
$m=1$のとき、定義より明らか。
$m=2$のとき、$\pi(N/2)=n$とする。$q_s(N/2)$は$1/{p_1}^s+\cdots + 1/{p_n}^s$を表し、ここで$p_k$は$k$番目の素数である。また、$N$を超えない$2p$で表される数の$s$乗の逆数和は$1/(2p_1)^s+\cdots +1/(2p_n)^s$で表される。よって、それは$q_s(N/2)/2^s$と等しい。
2を$m$に置き換えることで、任意の自然数$m$について成り立つ。
$a,b \in \mathbb{N}, s \in \mathbb{C}$に対し、指数法則$(ab)^s=a^sb^s$が成り立つため拡張出来る。
$\because$ 正の実数$x$について、複素べき乗を
\begin{equation}
x^s = e^{s \ln x}=\exp(s \ln x),
\end{equation}
で定義する。ここで$\ln x$は実数の自然対数である。すると
\begin{equation}
(ab)^s=\exp(s \ln (ab))=\exp(s(\ln a + \ln b))=\exp(s\ln a )\exp(s \ln b)=a^sb^s.
\end{equation}
$a,b>0$より$\ln (ab)=\ln a+\ln b$が成り立つことが重要である。
与えられた実数$N$以下の$p^\ell$で表される数の$s$乗の逆数和は$q_{\ell s}\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr)$と等しい。
ここで$\ell$はある自然数、$p$は任意の素数とする。
$\ell=1$のとき、定義より明らか。
$\ell=2$のとき、$\pi\bigl(\sqrt{N}\bigr)=n$とする。$q_{2s}\bigl(\sqrt{N}\bigr)$は$1/{p_1}^{2s}+\cdots + 1/{p_n}^{2s}$を表し、ここで$p_k$は$k$番目の素数である。また、$N$を超えない$p^2$で表される数の$s$乗の逆数和は$1/({p_1}^2)^{s}+\cdots +1/({p_n}^2)^s$で表される。よって、それは$q_{2s}\bigl(\sqrt{N}\bigr)$に等しい。
2を$\ell$に置き換えることで、任意の自然数$\ell$について成り立つ。
$a,b \in \mathbb{N}, s \in \mathbb{C}$に対し、指数法則$(a^b)^s=a^{bs}$が成り立つため拡張出来る。
$\because$ 先ほどの複素べき乗の定義より、
\begin{equation}
(a^b)^s=\exp(s \ln (a^b))=\exp(bs \ln a)=a^{bs}.
\end{equation}
$a,b>0$より$\ln (a^b)=b\ln a$が成り立つことが重要である。
与えられた実数$N$以下の$mp^\ell$で表される数の$s$乗の逆数和は$q_{\ell s} \bigl( \sqrt[\ell]{N/m} \bigr)/m^s$と等しい。
補題9より$q_{\ell s} \bigl( \sqrt[\ell]{N/m} \bigr)$は$N/m$以下の$p^\ell$の$s$乗の逆数和と等しい。補題8は$N/m$以下の素数の$s$乗の逆数和を$m^s$で割ったものは、$N$以下の$mp$の$s$乗の逆数和と等しいことを意味する。それゆえ、$N/m$以下の$p^\ell$の$s$乗の逆数和を$m^s$で割ったものは、$N$以下の$mp^\ell$の$s$乗の逆数和と等しい。
これらの補題を使って次の命題を示す。
$k$を2以上の自然数とすると、
\begin{equation}
q_s^{(k)}(N) = \Biggl( q_{ks} \bigl( \sqrt[k]{N} \bigr) + \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N/2^{(k-j)} \rfloor } \frac{q_{(k-j)s} \Bigl( \sqrt[k-j]{N/p_{i_1} \dotsm p_{i_j} } \Bigr)}{(p_{i_1}\dotsm p_{i_j})^s} \Biggr)/k,
\end{equation}
となり、ここで$\displaystyle \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N/2^{(k-j)} \rfloor }$は$\lfloor N/2^{(k-j)}\rfloor$以下の重複を含む全ての$p_{i_1}\cdots p_{i_j}$について総和を取ることを意味する。
補題10を用いて、命題5で得られた式の各項を$s$乗に対応させる。
与えられた2以上の実数$N$について、次の恒等式が成り立つ。
\begin{equation}
H_s(N)=1+\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{q_{\ell s} \bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \bigr)}{(\Omega(m)+\ell)\cdot m^s},
\end{equation}
ここで$\Omega(n)$は、与えられた自然数$n$の重複を含めた素因数の個数を返す。
命題11で得られた$q_s^{(k)}(N)$の公式を補題7の恒等式に代入して
\begin{equation}
\begin{split}
H_s(N) &= 1 + q_s(N) \\
&+\displaystyle \sum_{k=2}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}\Biggl( q_{ks} \bigl(\sqrt[k]{N} \bigr) + \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N/2^{(k-j)} \rfloor } \frac{q_{(k-j)s} \Bigl( \sqrt[k-j]{N/p_{i_1} \dotsm p_{i_j} } \Bigr)}{(p_{i_1} \dotsm p_{i_j})^s} \Biggr)/k
\end{split}
\end{equation}
を得る。計算しやすくするため、任意の自然数$m,\ell$として$q_{\ell s} \bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \bigr)$に分け、$m,\ell$の昇順に並び替えた。
\begin{equation} \label{eq:primersquarereciprocalssum2}
\begin{split}
H_s(N) &= 1 + q_s(N) + \frac{q_s(N/2)}{2\cdot 2^s}+\cdots +\frac{q_s(N/\lfloor N/2 \rfloor)}{(\Omega\lfloor N/2 \rfloor +1)\cdot {\lfloor N/2 \rfloor}^s} \\
&+ \frac{q_{2s} \bigl( \sqrt{N} \bigr)}{2\cdot1^s} + \frac{q_{2s} \bigl( \sqrt{N/2} \bigr)}{3\cdot2^s}+\cdots +\frac{q_{2s} \bigl( \sqrt{N/\lfloor N/2^2 \rfloor} \bigr)}{(\Omega\lfloor N/2^2 \rfloor+2)\cdot{\lfloor N/2^2 \rfloor}^s}+\cdots \\
&+\frac{q_{\ell s} \bigl( \sqrt[\ell]{N} \bigr)}{(\Omega(1)+\ell)\cdot1^s}+\cdots +\frac{q_{\ell s} \bigl( \sqrt[\ell]{N/m} \bigr)}{(\Omega(m)+\ell)\cdot m^s}+\cdots + \frac{q_{\ell s} \bigl( \sqrt[\ell]{N/\lfloor N/2^\ell \rfloor} \bigr)}{(\Omega\lfloor N/2^\ell \rfloor+\ell)\cdot {\lfloor N/2^\ell \rfloor}^s} +\cdots \\
&+\frac{q_{{\lfloor \log_2{N} \rfloor}s} \bigl( \sqrt[\lfloor \log_2{N} \rfloor]{N} \bigr) }{(\Omega(1)+\lfloor \log_2{N} \rfloor)\cdot1^s}.
\end{split}
\end{equation}
この式より$q_{\ell s} \bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \bigr)$の係数は$1/((\Omega(m)+\ell)\cdot m^s)$で表せられる。$\ell,m$の条件は定理6と同じである。
$s=0$の場合
最後に、定理12において$s=0$の場合を考える。
与えられた2以上の実数$N$について、次の恒等式が成り立つ。
\begin{equation}
\lfloor N \rfloor =1+\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{\pi \bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \bigr)}{\Omega(m)+\ell},
\end{equation}
これはpridの定理8の結果と等しい。
定理12の恒等式に、$s=0$を代入する。そして、$H_0(N)=\lfloor N \rfloor$、$q_0(N)=\pi(N)$であることを使用する。
おわりに
素数の逆数和$q(N)$の性質から恒等式を得た。任意の複素数$s$についても、指数法則が成立するため、$s$乗に拡張できた。特に$s=0$の場合は、 前回 得られた素数計数関数の恒等式と一致することが確かめられた。次は、素数計数関数の恒等式を反転させる。すなわち$\lfloor N \rfloor-1=\bigl(\pi\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)$の線形和$\bigr)$を$\pi(N)=\bigl(\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \bigr\rfloor -1)$の線形和$\bigr)$の形に変える。
