高校数学解説

コネクターを用いてLipnitz級数を何とかしたい

級数,コネクター,Lipnitz級数

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あいさつ

んちゃ！
今回はコネクターを用いてLipnitzの級数を何とか変形できないか考えます。

基本的公式の導出

コネクター

$a, b \in C ∖ {0}$ に対して以下の様なものを考える。
$C (n, m) = \frac{(a)_{n} (a)_{m} (b)_{n} (b)_{m}}{(a)_{n + m} (b)_{n + m}}$

差分計算

\begin{array}{rcl} C (n, m - 1) - C (n, m) & = & C (n, m) {\frac{(a + n + m) (b + n + m)}{(a + m) (b + m)} - 1} \\ = & C (n, m) \frac{(a + n + m) (b + n + m) - (a + m) (b + m)}{(a + m) (b + m)} \\ = & C (n, m) \frac{n (a + b) + 2 n m + n^{2}}{(a + m) (b + m)} \end{array}

級数列

$s, t, n \in N$ に対して以下の様な級数列を定義する。
$f_{s, t} (n) = \sum_{n < m} \frac{C (n, m)}{(a + m)^{s} (b + m)^{t}}$

$\begin{array}{r} {\begin{cases} f_{s, t} (n - 1) - f_{s, t} (n) = \frac{C (n - 1, n)}{(a + n)^{s} (b + n)^{t}} + f_{s - 1, t - 1} (n) + 2 n f_{s - 1, t} (n) - a (2 n - b) f_{s, t} (n) \\ f_{s, t} (n - 1) - f_{s, t} (n) = \frac{C (n - 1, n)}{(a + n)^{s} (b + n)^{t}} + f_{s - 1, t - 1} (n) + 2 n f_{s, t - 1} (n) - b (2 n - a) f_{s, t} (n) \\ f_{s, t} (n - 1) - f_{s, t} (n) = \frac{C (n - 1, n)}{(a + n)^{s} (b + n)^{t}} + f_{s - 1, t - 1} (n) + n {f_{s - 1, t} (n) + f_{s, t - 1} (n)} - {(a + b) n - a b} f_{s, t} (n) \\ f_{s - 1, t} (n) = (a - b) f_{s, t} (n) + f_{s, t - 1} (n) \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} f_{s, t} (n - 1) - f_{s, t} (n) & = & \sum_{n - 1 < m} \frac{C (n - 1, m)}{(a + m)^{s} (b + m)^{t}} - \sum_{n < m} \frac{C (n, m)}{(a + m)^{s} (b + m)^{t}} \\ = & \frac{C (n - 1, n)}{(a + n)^{s} (b + n)^{t}} + \sum_{n < m} \frac{C (n - 1, m) - C (n, m)}{(a + m)^{s} (b + m)^{t}} \\ = & \frac{C (n - 1, n)}{(a + n)^{s} (b + n)^{t}} + \sum_{n < m} C (n, m) \frac{m (a + b) + 2 n m + m^{2}}{(a + m)^{s} (b + m)^{t}} \\ = & \frac{C (n - 1, n)}{(a + n)^{s} (b + n)^{t}} + \sum_{n < m} C (n, m) \frac{(a + m) (b + m) + 2 n (a + m) - 2 a n - a b}{(a + m)^{s} (b + m)^{t}} \\ = & \frac{C (n - 1, n)}{(a + n)^{s} (b + n)^{t}} + f_{s - 1, t - 1} (n) + 2 n f_{s - 1, t} (n) - a (2 n + b) f_{s, t} (n) \\ = & \frac{C (n - 1, n)}{(a + n)^{s} (b + n)^{t}} + f_{s - 1, t - 1} (n) + 2 n f_{s, t - 1} (n) - b (2 n + a) f_{s, t} (n) \end{array}$

基本公式

$\forall s, t \in N (s + t \geq 3)$ に対して以下の式が成り立つ。
$\sum_{0 < m} \frac{1}{(a + m)^{s - 1} (b + m)^{t}} = (a - b) \sum_{k = 1}^{t} \sum_{0 < m} \frac{1}{(a + m)^{s + k - 1} (b + m)^{k}} + ζ (s + t - 1, a)$

[1]以下の様に計算する。
$\begin{array}{rcl} f_{s - 1, t} (n) & = & (a - b) f_{s, t} (n) + f_{s, t - 1} (n) \\ = & (a - b) f_{s, t} (n) + (a - b) f_{s + 1, t - 1} (n) + f_{s + 1, t - 2} (n) \\ = & \dots \\ = & (a - b) {f_{s, t} (n) + f_{s + 1, t - 1} + \dots + f_{s + t - 1, 1} (n)} + f_{s + t - 1, 0} (n) \\ = & (a - b) \sum_{k = 1}^{t} f_{s + k - 1, k} (n) + f_{s + t - 1, 0} (n) \\ = & (a - b) \sum_{k = 1}^{t} \sum_{n < m} \frac{C (n, m)}{(a + m)^{s + k - 1} (b + m)^{k}} + \sum_{n < m} \frac{C (n, m)}{(m + a)^{s + t - 1}} \end{array}$
[2] $n = 0$ を代入して
$\sum_{0 < m} \frac{1}{(a + m)^{s - 1} (b + m)^{t}} = (a - b) \sum_{k = 1}^{t} \sum_{0 < m} \frac{1}{(a + m)^{s + k - 1} (b + m)^{k}} + ζ (s + t - 1, a)$

Lipnitz級数を加速する。

$\frac{π}{4} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{2 n - 1}$

先に断っておく厳密な証明はしない
$\begin{array}{rcl} \frac{π}{4} & = & \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}} \\ = & \int_{0}^{1} \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} x^{2 n - 2} d x \\ = & \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \int_{0}^{1} x^{2 n - 2} d x \\ = & \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{2 n - 1} \end{array}$

$π = 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(4 n - 3) (4 n - 1)}$

$\frac{1}{4 n - 3} - \frac{1}{4 n - 1} = \frac{2}{(4 n - 3) (4 n - 1)}$

$π = \frac{8}{3} + 16 \sum_{0 < m} \frac{1}{(4 m + 1) (4 m + 3)^{2}} + \frac{1}{2} ζ (2, \frac{3}{4})$

[1]まず次の様に計算する。
$\begin{array}{rcl} π & = & \frac{8}{3} + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(4 n + 1) (4 n + 3)} \\ = & \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \sum_{0 < m} \frac{1}{(m + \frac{1}{4}) (m + \frac{3}{4})} \end{array}$
[2]右辺の級数は $a = \frac{3}{4}, b = \frac{1}{4}$ に対応しており
$\begin{array}{rcl} \sum_{0 < m} \frac{1}{(m + \frac{1}{4}) (m + \frac{3}{4})} & = & \frac{1}{2} \sum_{0 < m} \frac{1}{(\frac{1}{4} + m) (\frac{3}{4} + m)^{2}} + ζ (2, \frac{3}{4}) \\ = & 32 \sum_{0 < m} \frac{1}{(4 m + 1) (4 m + 3)^{2}} + ζ (2, \frac{3}{4}) \end{array}$