問題

第一問

$ \lbrack a \rbrack $ で $a$ を超えない最大の整数を表すものとする。例えば、$ \lbrack 3.4 \rbrack = 3 $ , $ \lbrack -4.5 \rbrack = -5 $ である。

1. $x$ は整数を除く実数とする。　
   $x<0$ のとき、　$\lbrack x \rbrack ^ 2 = \lbrack x ^ 2 \rbrack$ を満たす $x$ は存在するか。
2. 任意の実数$x$について、$ f( \lbrack x \rbrack ) \neq \lbrack f(x) \rbrack $ を常に満たす二次関数$f(x)$ は存在するか。

第二問

1. 平行四辺形$ABCD$の辺$CD$上(端点を除く)に点$E$がある。線分$AE$の中点を$M$とし、直線$BM$と辺$AD$の交点を$F$とすると、$CE=DF=3$が成り立っている。$MB=5$、$MC=4$のとき、線分$AB$の長さを求めよ。

2. 線分$AB$は、$AB=12$を満たす。線分$AB$上に$AC=3$ $BD=4$となるように点$C,D$をとる。$AC$を半径とする円と$BD$を半径とする円の交点の一つを$E$とするとき、$\triangle ABE$の面積を求めよ。

第三問

$f(x)=ax^2+bx+c$ とする。また、$1$から$10$までの整数が書かれたカードが$1$枚ずつ入った箱がある。箱から$3$回カードを引いていき、最初に引いた数を$a$，次に引いた数を$b$，最後に引いた数を$c$とする。

(1)引いたカードは箱に戻さないものとする。方程式$f(x)=0$が重解を持つ確率を求めよ。

(2)カードを引くごとに箱に引いたカードを戻すものとする。方程式$f(x)=0$が重解を持つ確率を求めよ。

第四問

(1)任意の正の整数m,nに対して、$n-1 \leq n- \frac{1}{m} \lt n $ を示せ。
(2)$\frac{(ab-1)(ac-1)}{bc} = 2023$ を満たす$c$としてあり得るものをすべて求めよ。ただし、$b \leq c$ とする。

第五問

(1)$a,b,c,d$を実数とする。3次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$が3つの実数解を持つ条件を$a,b,c,d$を用いて答えよ。

(2)$a,b,c,d$を実数とする。3次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$の　$3$ つの解を　$ \alpha , \beta , \gamma $ とする。$ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} $ と　$ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} $ と　$ \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} $ を示せ。

(3)数に関する次のア〜エの記述のうち誤っているものを1つ選べ。
ア：任意の正の整数$n$は素数の積で順序を変えたものを同一視するとただ$1$通りにかける。
イ：$a,b,c \in \mathbb{C} $ において、$a(b+c) = ab + ac$。
ウ：実数は連続でない。
エ：$a$が整数のとき、$\sqrt{a}$ は整数でなければ無理数である。

第六問

1. $N=26!$ とする。
   $N$ の末尾に $0$ は何個並ぶか。

2. 次の式を因数分解せよ。
   $x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4$

3. $3$ 点 $(1,15)$ $(-2,9)$ $(0,7)$ を通る放物線の式を求めよ。

4. $x>0$ のとき、$x+8+ \frac{9}{x+2} $ の最小値とその時の $x$ の値を求めよ。

5. $m,n$ は整数とする。$A= \lbrace 2m-1 \rbrace , B=\lbrace 3n \rbrace $ としたとき、$A \cap B $ を整数$k$ を用いて表せ。

6. $\triangle ABC$ は $\angle B=45^{\circ}$ , $\angle C=30^{\circ}$ , $BC=5+2 \sqrt{3}$ を満たす。$\triangle ABC$ の面積を求めよ。

7. $\triangle ABC$ は　$\angle A = 60^{\circ}$ , $AB=6$ , $AC=8$ を満たす。また　$\angle A$ の二等分線と　$BC$ との交点を $D$ とする。以下の問いに答えよ。

1. $DC$ の長さを求めよ。

2. $\triangle ADC$ の外接円の半径を求めよ。

(8)$0,1,2,3$ が書かれたカードが $1$ 枚づつある。これら $4$ 枚のカードを用いて $4$ 桁の整数は何通り作ることができるか。

(9)$y=x^2+2x+3$ と　$y=6x+b$ が接するとき、$b$ の値を求めよ。