日本数学オリンピックの問題5

日本数学オリンピックの問題5

問題

必ず1になる。
$b_n=a_n-n$とする。
任意の30以上の整数m,nに対して、
$|m-n|\geqq 2018$ならば、
$b_{m+n}$は$b_m$または$b_n$に等しい。
$m-n=2018$の時、
$(m,n)=(2048,30),(2049,31)\cdots(4066,2048),(4067,2049)\cdots(6084,4066),(6085,4067)\cdots$

つまり、2048以上の整数は二回登場する。その値は常に等しい。
その値は、30以上のどんな全ての自然数を引いても等しいことになる。
このようなm,nは存在しない。

$b_{2047}$は
$(m,n)=(2077,30),(2078,31)\cdots$
ゆえに存在しない。
$b_{30}$は
$(m,n)=(60,30),(61,31)\cdots $
よって、60以上の全てのm,nで、複数の異なるnを引いても等しいm,nがないと値が定まらない。
そのような自然数は存在しない。
従って、最大の値は存在しない。それ以外の値も存在しない。
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