日本数学オリンピックの問題5

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日本数学オリンピックの問題5

問題

整数からなる数列 $a_{1}, a_{2}, \dots$ は任意の整数m, nに対して次を満たす。
$m, n ≧ 30$ かつ
$| m - n | ≧ 2018$ ならば、 $a_{m + n}$ は $a_{m} + n$ か $a_{n} + m$ に等しい。
この時 $a_{N + 1} - a_{N}$ は必ず1となるか。
また、 $a m + n = a_{m} - m$ または $a_{n} - n$ の時はどうか。

必ず1になる。
$b_{n} = a_{n} - n$ とする。
任意の30以上の整数m,nに対して、
$| m - n | ≧ 2018$ ならば、
$b_{m + n}$ は $b_{m}$ または $b_{n}$ に等しい。
$m - n = 2018$ の時、
$(m, n) = (2048, 30), (2049, 31) \dots (4066, 2048), (4067, 2049) \dots (6084, 4066), (6085, 4067) \dots$

つまり、2048以上の整数は二回登場する。その値は常に等しい。
その値は、30以上のどんな全ての自然数を引いても等しいことになる。
このようなm,nは存在しない。

$b_{2047}$ は
$(m, n) = (2077, 30), (2078, 31) \dots$
ゆえに存在しない。
$b_{30}$ は
$(m, n) = (60, 30), (61, 31) \dots$
よって、60以上の全てのm,nで、複数の異なるnを引いても等しいm,nがないと値が定まらない。
そのような自然数は存在しない。
従って、最大の値は存在しない。それ以外の値も存在しない。
■

投稿日：2023年5月31日

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