ある２項係数の数列の和の問題

［実験］
$$ F_{n}= \sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\frac{(-1)^k_{n-k} \mathrm{ C }_k}{n-k}$$
とおく．
$$ F_{1}=\frac{1}{1},F_{2}=-\frac{1}{2},F_{3}=-\frac{2}{3} F_{4}=- \frac{1}{4},F_{5}=\frac{1}{5},F_{6}=\frac{2}{6},$$
$$ F_{7}=\frac{1}{7},F_{8}=-\frac{1}{8}, \cdots$$
［予想］
$$\lbrace nF_{n} \rbrace:1,-1,-2,-1,1,2,1,-1,\cdots$$
$ G_{n}=nF_{n}$とおくと，
$$G_{n+6}=G_{n}$$
［証明］
$$ F_{n}= \sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\frac{(-1)^k_{n-k} \mathrm{ C }_k}{n-k}$$について，$$\frac{(-1)^k_{n-k} \mathrm{ C }_k}{n-k}$$
は，
$$P_{n}= \sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\frac{(-x^2)^k(1+x)^{n-k}}{n-k}$$とおくと，
$$P_{n}= \frac{(1+x)^n}{n}+ \sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]}\frac{(-x^2)^k(1+x)^{n-k}}{n-k}$$
で，この多項式の$x^n$の係数が$ F_{n}$となる．
$x$で微分して，
$$P_{n}'=(1+x)^{n-1}+\sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]}\frac{(-2kx)(-x^2)^{k-1}(1+x)^{n-k}}{n-k}+\sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]}{(-x^2)^k(1+x)^{n-k-1}}$$
２つ目の項について，
$$x\sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]}\frac{(-2kx)(-x^2)^{k-1}(1+x)^{n-k}}{n-k}=\sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]}\frac{2k(-x^2)^{k}(1+x)^{n-k}}{n-k}$$
$$=\sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]}\frac{2k(-x^2)^{k}(1+x)^{n-k-1}}{k}=2\sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]}{(-x^2)^k(1+x)^{n-k-1}}$$
この式の$x^n$の係数の$ \frac{1}{n} $倍を考える．
したがって，
$$ \frac{2}{n} \sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]}{(-1)^k_{n-k-1} \mathrm{ C }_{k-1}}$$
３つ目の項について，同様にして，$x^n$の係数の$ \frac{1}{n} $倍を考える．
$$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]}{(-1)^k_{n-k-1} \mathrm{ C }_{k}}$$
以上から，
$$G_{n}= 1+\sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]} (-1)^k\left( 2_{n-k-1} \mathrm{ C }_{k-1}+_{n-k-1} \mathrm{ C }_{k} \right) $$
$$G_{n}= 1+\sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]} (-1)^k\left( _{n-k} \mathrm{ C }_{k}+_{n-k-1} \mathrm{ C }_{k-1} \right) $$
$$A_n=\sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]} (-1)^k _{n-k} \mathrm{ C }_{k}　，B_n=\sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]} (-1)^k _{n-k} \mathrm{ C }_{k-1}$$
として，
$$A_{2m+3}=\sum_{k=1}^{m+1} (-1)^k _{2m+3-k} \mathrm{ C }_{k} =\sum_{k=1}^{m+1} (-1)^k _{2m+2-k} \mathrm{ C }_{k} +\sum_{k=1}^{m+1} (-1)^k _{2m+2-k} \mathrm{ C }_{k-1} $$
$$A_{2m+3}=A_{2m+2} +\sum_{k=2}^{m+1} (-1)^k _{2m+2-k} \mathrm{ C }_{k-1}-1=A_{2m+2}-A_{2m+1}-1 $$
$$A_{2m+3}-A_{2m+2}+A_{2m+1}=-1 $$
$$A_{2m+2}=\sum_{k=1}^{m+1} (-1)^k _{2m+2-k} \mathrm{ C }_{k} =\sum_{k=1}^{m} (-1)^k _{2m+1-k} \mathrm{ C }_{k} +\sum_{k=1}^{m+1} (-1)^k _{2m+1-k} \mathrm{ C }_{k-1} $$
$$A_{2m+2}=A_{2m+1} +\sum_{k=2}^{m+1} (-1)^k _{2m+1-k} \mathrm{ C }_{k-1}-1=A_{2m+1}-A_{2m}-1 $$
$$A_{2m+2}-A_{2m+1}+A_{2m}=-1 $$
偶奇にこだわらずに，
$$A_{n+2}-A_{n+1}+A_{n}=-1 $$
$$B_{2m+3}=\sum_{k=1}^{m+1} (-1)^k _{2m+2-k} \mathrm{ C }_{k-1} =-1+\sum_{k=2}^{m+1} (-1)^k _{2m+2-k} \mathrm{ C }_{k-1} $$
$$B_{2m+3}=-1-\sum_{k=1}^{m} (-1)^k _{2m+1-k} \mathrm{ C }_{k} =-1-\sum_{k=1}^{m} (-1)^k _{2m-k} \mathrm{ C }_{k} -\sum_{k=1}^{m} (-1)^k _{2m-k} \mathrm{ C }_{k-1} $$
$$B_{2m+3}=-1-B_{2m+1} +\sum_{k=2}^{m} (-1)^k _{2m+1-k} \mathrm{ C }_{k-1}-1=B_{2m+1}-B_{2m+2} $$
$$B_{2m+3}-B_{2m+2}+B_{2m+1}=0 $$
$$B_{2m+2}=\sum_{k=1}^{m+1} (-1)^k _{2m+1-k} \mathrm{ C }_{k-1} =-1+\sum_{k=2}^{m+1} (-1)^k _{2m+1-k} \mathrm{ C }_{k-1} $$
$$B_{2m+2}=-1-\sum_{k=1}^{m} (-1)^k _{2m-k} \mathrm{ C }_{k} =-1-\sum_{k=1}^{m} (-1)^k _{2m-1-k} \mathrm{ C }_{k} -\sum_{k=1}^{m} (-1)^k _{2m-1-k} \mathrm{ C }_{k-1} $$
$$B_{2m+2}=-1-B_{2m} +\sum_{k=2}^{m} (-1)^k _{2m-1-k} \mathrm{ C }_{k-1}-1=B_{2m+1}-B_{2m+2} $$
$$B_{2m+2}-B_{2m+1} -B_{2m}=0 $$
偶奇にこだわらずに，
$$B_{n+2}-B_{n+1}+B_{n}=0 $$
これまでから，
$$(1+A_{n+2})-(1+A_{n+1})+(1+A_{n})=0 $$
$$B_{n+2}-B_{n+1}+B_{n}=0 $$
$$G_{n}= 1+A_{n}+B_{n} $$なので，
$$G_{n+2}-G_{n+1}+G_{n}=0 $$
これから，
$$G_{n+3}=G_{n+2}-G_{n+1}=-G_{n} $$
$$G_{n+6}=G_{n} $$
［予想］は証明された．□□
［結論］1,-1,-2,-1,1,2,1の繰り返しをsuffixで割ったものになる．