対称行列に関する逆行列の逐次的算出方法
対称行列に関する逆行列の逐次的算出方法
行列$A\in GL_{n}(\mathbb{C}),(\vb*{a},\lambda)\in\mathbb{C}^{n}\times\mathbb{C}$に対して以下の様な積"$\bigcirc:GL_{n}(\mathbb{C})\times(\mathbb{C}^{n}\times\mathbb{C})\rightarrow GL_{n+1}(\mathbb{C})$"を次の様に定める。
\begin{equation}
A\bigcirc(\vb*{a},\lambda)=\begin{pmatrix}A&\vb*{a}\\\vb*{a}^{T}&\lambda\end{pmatrix}
\end{equation}
これを接着演算子と呼ぶことにする。
対称行列$A\in GL_{n}(\mathbb{C})$の逆行列$B\in GL_{n}(\mathbb{C})$は対称行列。
\begin{eqnarray}
(AB)^{T}&=&B^{T}A^{T}\\
&=&B^{T}A\\
&=&E_{n}
\end{eqnarray}
ゆえに$B^{T}=A^{-1}=B$が得られるので$B$も対称行列。
対称行列$A\in GL_{n}(\mathbb{C}),(\vb*{a},\lambda)\in\mathbb{C}^{n}\times\mathbb{C}$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\{A\bigcirc(\vb*{a},\lambda)\}^{-1}=\frac{1}{\lambda-\vb*{a}^{T}A^{-1}\vb*{a}}\begin{pmatrix}\color{}\{(\lambda-\vb*{a}^{T}A^{-1}\vb*{a})E_{n}+A^{-1}\vb*{a}\vb*{a}^{T}\}A^{-1}&-A^{-1}\vb*{a}\\-\vb*{a}^{T}A^{-1}&1\end{pmatrix}
\end{equation}
[1]$A\bigcirc(\vb*{a},\lambda)$の逆行列を$\begin{pmatrix}B&\vb*{b}\\\vb*{b}^{T}&\mu\end{pmatrix}$とおく。
[2]逆行列の定義より以下の式がなりたつ。
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}A&\vb*{a}\\\vb*{a}^{T}&\lambda\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B&\vb*{b}\\\vb*{b}^{T}&\mu\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}AB+\vb*{a}\vb*{b}^{T}&A\vb*{b}+\mu\vb*{a}\\B\vb*{a}^{T}+\lambda\vb*{b}^{T}&\vb*{a}^{T}\vb*{b}+\lambda\mu\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}E_{n}&\vb*{0}_{n,1}\\\vb*{0}_{1,n}&1\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
ゆえに以下の連立方程式を得る。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
AB+\vb*{a}\vb*{b}^{T}=E_{n}\\
A\vb*{b}+\mu\vb*{a}=0\\
\vb*{a}^{T}\vb*{b}+\lambda\mu=1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
故に
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\vb*{b}=-\frac{A^{-1}\vb*{a}}{\lambda-\vb*{a}^{T}A^{-1}\vb*{a}}\\
\mu=\frac{1}{\lambda-\vb*{a}^{T}A^{-1}\vb*{a}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[3]また$\vb*{u}=A^{-1}\vb*{a}$とおく。
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}A&\vb*{a}\\\vb*{a}^{T}&\lambda\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A^{-1}&\vb*{0}_{n,1}\\\vb*{0}^{1,n}&0\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}E_{n}&\vb*{0}_{n,1}\\\vb*{a}^{T}A^{-1}&0\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}E_{n}&\vb*{0}_{n,1}\\\vb*{u}^{T}&0\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
[4]また$AB+\vb*{a}\vb*{b}^{T}=AA^{-1}=E_{n}$より以下の式を得る。
\begin{eqnarray}
B&=&A^{-1}(E_{n}-\vb*{a}\vb*{b}^{T})\\
&=&A^{-1}(E_{n}+\frac{\vb*{a}\vb*{a}^{T}A^{-1}}{\lambda-\vb*{a}^{T}A^{-1}\vb*{a}})\\
&=&\frac{(\lambda-\vb*{a}^{T}A^{-1}\vb*{a})E_{n}+A^{-1}\vb*{a}\vb*{a}^{T}}{\lambda-\vb*{a}^{T}A^{-1}\vb*{a}}A^{-1}
\end{eqnarray}
以下の式を証明せよ。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ac-b^{2}}\begin{pmatrix}c&-b\\-b&a\end{pmatrix}
\end{equation}
実際に計算するだけ。
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}\bigcirc(\begin{pmatrix}b\end{pmatrix},c)^{-1}&=&\frac{1}{\frac{ac-b^{2}}{a}}\begin{pmatrix}\frac{c}{a}&-\frac{b}{a}\\-\frac{b}{a}&1\end{pmatrix}\\
&=&\frac{1}{ac-b^{2}}\begin{pmatrix}c&-b\\-b&a\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
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