∠A=60°の三角形についての補題

外接円の半径を$R$とする．$\angle{A}=60^\circ$であることから，簡単な角度追跡によって次のことが分かる．
$$\left\{\begin{array}{l}OE=\dfrac{R}{2}\\MB=R\end{array}\right.$$
有名事実より，$AH=2OE,MI=MB$なので，
$$\left\{\begin{array}{l}AH=R\\MI=R\end{array}\right.$$
よって$AH\parallel OM,AH=OM=AO=R$となるので，四角形$AHMO$はひし形である．
ひし形の対角線は垂直に交わるので，$\angle{ODM}=90^\circ$．
$EF\perp OM$であることに注意して，$\angle{OMD}=\theta$とすると，
$$\left\{\begin{array}{l}OD=OM\sin\theta=R\sin\theta\\EF=MI\sin\theta=R\sin\theta\end{array}\right.$$
よって，$OD=EF$．　$\blacksquare$