自作整数問題の解答解説

与えられた式$\frac{(n+1)^{n^{2026}}-1}{n^{2026}}$がすべての自然数$n$に対して、$(n+1)^{n^{2026}}-1$が$n^{2026}$の倍数であることを示せばよい。
これを一般の自然数$k$に拡張し、任意の自然数$k$に対して以下の命題$(A)$が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明する。
命題$(A)$：$(n+1)^{n^{k}}-1$は$n^{k+1}$の倍数である。
$[Ⅰ]k=1$のとき
二項定理を用いて$(n+1)^{n}$を展開する。
$(n+1)^{n}= \sum_{j=0}^{n} { n \choose j } n^{j}=1+ { n \choose 1 } n+ \sum_{j=2}^{n} { n \choose j } n^{j}=1+n^{2}+n^{2} \sum_{j=2}^{n} { n \choose j } n^{j-2}$
ここで、$n=1$のときは第3項は現れず$(1+1)^{1}=1+1^{2}$となり成立する。
$n \geq 2$のとき、
$\sum_{j=2}^{n} { n \choose j } n^{j-2}$
は整数であるから、これを整数$C$とおくと、
$(n+1)^{n}=1+n^{2}+Cn^{2}=1+n^{2}(1+C)$
よって、$(n+1)^{n}-1=n^{2}(1+C)$となり、$n^{2}$の倍数である。
したがって、$k=1$のとき命題$(A)$は成り立つ。
$[Ⅱ]k=m$　($m$は自然数)のとき、命題$(A)$は成り立つと仮定する。
すなわち、ある整数$M$を用いて次のように表せる。
$(n+1)^{n^{m}}-1=Mn^{m+1} \Longleftrightarrow (n+1)^{n^{m}}=1+Mn^{m+1}$
ここで、$k=m+1$のときを考える。
$[Ⅲ]k=m+1$のとき
指数の法則より、次のように変形できる。
$(n+1)^{n^{m+1}}-1=(1+Mn^{m+1})^{n}$
これを二項定理を用いて展開する。
$(1+Mn^{m+1})^{n}= \sum_{j=0}^{n} { n \choose j } (Mn^{m+1})^{j}=1+ { n \choose j } Mn^{m+1}+ \sum_{j=2}^{n} { n \choose j } (Mn^{m+1})^{j}=1+n \cdot Mn^{m+1}+ \sum_{j=2}^{n} { n \choose j } M^{j}n^{j(m+1)}=1+Mn^{m+2}+n^{2(m+1)} \sum_{j=2}^{n} { n \choose j } M^{j}n^{(j-2)(m+1)}$
ここで、$m \geq 1$であるから$2(m+1)=2m+2 \geq m+2$となり、第3項の$n^{2(m+1)}$は$n^{m+2}$を因数に持つ。
したがって、カッコ内の和を整数$L$としておくと、次のように表せる。
$(n+1)^{n^{m+1}}=1+Mn^{m+2}+Ln^{m+2}=1+(M+L)n^{m+2}$
よって、$(n+1)^{n^{m+1}}-1=(M+L)n^{m+2}$となり、$n^{m+2}$の倍数である。
したがって、$k=m+1$のときも命題$(A)$は成り立つ。
$[Ⅰ],[Ⅱ],[Ⅲ]$より、すべての自然数$k$について命題$(A)$は成り立つ。
証明された命題$(A)$において、$k=2026$とすると、$(n+1)^{n^{2026}}-1$は$n^{2027}$の倍数であることが分かる。
$n$は自然数であるから、$n^{2027}$の倍数は$n^{2026}$の倍数でもある。
したがって、$(n+1)^{n^{2026}}-1$は$n^{2026}$で割り切れる。
以上より、すべての自然数$n$に対しても$\frac{(n+1)^{n^{2026}}-1}{n^{2026}}$は整数となる。　　　　　$Q.E.D.$