フィボナッチ数列の一般項については、数学ⅡBの知識でとけますが、今回は「差分」という考え方から導いてみます。
差分は、「離散的な微分」と言えます。
微分:
差分:
微分における微小量を
ここで、差分における
ここで重要な性質を紹介します。
つまり、累関数を差分しても「あまり性質は変わらない」ということです。後で使います。
次に、関数を
より成り立つ。
ここで、
だから、
成り立つ
この公式は、二項定理と非常によく似ていて、同じ構造を持っているとも言えます。
といった具合です。
先ほどの式を使って差分方程式について考えます。漸化式のことを差分方程式と呼ぶ方が一般的なようですが、ここでは、下のような差分した関数の和であらわされた方程式のことを「差分方程式」と呼び、「漸化式」とは区別します。
を展開すると、
という漸化式になります。
逆に漸化式から差分方程式に直してみます。
という例で考えます。「足して余分なものを引く」精神で行きます。
この直した形を応用していきます。
これらの技術を応用して漸化式を解いていきます。フィボナッチ数列を例にしましょう。
これを差分方程式に直すと、
この時の
この方程式は、「
ここで、差分しても性質が変わらないものとして冪関数が考えられます。
帰納的に
と分かります。
差分しても性質があまり変わっていませんね。これを代入してみましょう。
実際に代入すると、成り立っていることが分かります。しかし、これでは不十分です。いま求めたいのは、フィボナッチ数列の一般項ですから、
実際に代入すると、成り立っていることが分かります。
ここで
は、
先の例を一般化して多項間漸化式の一般項を求めることもできますが、力尽きたので止めます。解の一意性?知らんな
↓一応紹介
という漸化式について、
を特性方程式という。特性方程式の解
と表せる(
こんな証明方法 があります。
はじめてmathlogやってみたけどなれなくてクソ時間かかりました。
差分学という分野はすでに確立されていますが、この記事の中の差分理論は我流なので、表記法はオリジナルなものになってます。ごめんなさい。適当に書いて推敲もろくにしてないので間違ってたら教えてほしいです。多分めっちゃ間違えてます。
学校の数学の先生に見せたら面白がってくれたのでうれしかったです。