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約数関数についての個人的?未解決問題

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こんにちは.今回は僕が最近Apostolの『Intoduction to Analytic Number Theory』を読んでいて,2章にいろいろな数論的関数(自然数に対して定義されて実数値or複素数値をとるような関数)が紹介されていて,とりあえずたくさん計算してみたくなったので手計算で1000くらいまでは計算をしました(未来完了形).その中でも個人的に強く興味を持っている完全数(すぐ後に記号が定義されていると思いますがσ(n)=2nをみたすような数のことです)と関連して約数関数σ(n)についていろいろ計算しました.

以下nを自然数(正の整数)とし,σ(n)nの正の約数の総和とします.このσ(n)についてとりあえず手計算で30までやったものをのっけます.ミスがあったらごめんなさい.

n12345678910
σ(n)13476128151318
n11121314151617181920
σ(n)12281424243118392042
n21222324252627282930
σ(n)32362460313940563072

これをある程度やるとさすがにいろんなことが気になってくるわけで,その中でも自分で解決できず, ChatGPTとかに聞いてもわからなかったような問題をまとめます.まだ200くらいまでしか計算してないのでこれから計算を進めていくなかで気になることが出てきたら適宜追加します.何かみなさんがご存じのことがあれば教えていただきたいです.よろしくお願いします.

n=14は解のひとつ

σ(n)=σ(n+1)をみたすnはどれくらい存在する?

n=104は解のひとつ

σ(n)=2(n+1)を満たすnはどれくらい存在する?

σ(66)=144

σ(n)が平方数となるようなnはどれくらい存在する?また,どんな平方数がσ(n)で書ける?

σ(102)=216

σ(n)が立方数となるようなnはどれくらい存在する?また,どんな立方数がσ(n)で書ける?

σ(2)=3,

σ(n)がとる素数(σ(n)が素数となるn)は有限個?

完全数絡み

任意の自然数(奇数で十分)に対してσ(n)2mnとなるようなmは存在する?

これが示せたらどのふたつも互いに素な自然数n1,nsが奇数の完全数とするとσ(n1ns)=σ(n1)σ(ns)=2sn1nsなのでどのふたつも互いに素であるような奇数の完全数は高々m1コしかないことが言えると気付きましたが,本質的な難しさは代わってないのかもしれません...

k= 1, 2, 3はOK

任意の正の奇数kに対して,あるnNがあって,σ(n)σ(n+1)=kとなる?

投稿日:25日前
更新日:24日前
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