相加・相乗平均を使って円周率を求めよう。

初めまして。国立大学二次受験が迫っている高校3年生・半額と申します。
本日は、現実逃避も込めて記事を書きました。拙い内容ですが、どうぞ最後までご覧ください。

皆さんは相加・相乗平均の大小関係をよくご存知のことだと思います。今回は、それを使った漸化式のお話【クザーヌスが発見した円周率の求め方】をしていこうと思います。

まずはじめに、以下の漸化式を考えます。

それでは実際に代入して、実験してみましょう。
$a_1=\frac{cos\theta +1}{2}=co{s}^2\frac{\theta }{2}$

$b_1=\sqrt{co{s}^2\frac{\theta }{2}}=cos\frac{\theta }{2}$

まだ法則性がはっきりしません。
さらに計算していくと、

$a_2=\frac{co{s}^2\frac{\theta }{2}+cos\frac{\theta }{2}}{2}=cos\frac{\theta }{2}\frac{1+cos\frac{\theta }{2}}{2}$
$=cos\frac{\theta }{2}co{s}^2\frac{\theta }{4}$
$b_2=\sqrt{cos\frac{\theta }{2}co{s}^2\frac{\theta }{4}cos\frac{\theta }{2}}=cos\frac{\theta }{2}cos\frac{\theta }{4}$

であることがわかりました。

さて、この結果から予測できるのは

であるということですね。これは数学的帰納法を使えばすぐ証明できます(ここでは割愛します)。

次に、$b_n,a_n$の極限について考えていきます。
$\theta$を$0$でないと仮定しましょう。
$b_{n}sin\frac{\theta }{2^n}=\cos \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{4}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cos \frac{\theta }{2^n}\cdot \sin \frac{\theta }{2^n}$
$$=\cos \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{4}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cos \frac{\theta }{2^{n-1}}\cdot \frac{1}{2}\sin \frac{\theta }{2^{n-1}}$$
$$=\cos \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{4}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cos \frac{\theta }{2^{n-2}}\cdot \frac{1}{2^2}\sin \frac{\theta }{2^{n-2}}$$
$=cos\frac{\theta }{2}\cdot \frac{1}{2^{n-1}}\sin \frac{\theta }{2}$
$=\frac{sin\theta }{2^n}$
$\theta$は$0$でないので、
$b_n=\frac{sin\theta }{2^{n}sin\frac{\theta }{2^n}}$
としてもよく、さらに
$b_n=\frac{sin\theta }{\theta }\cdot \theta \cdot \frac{\frac{\theta }{2^n}}{sin\frac{\theta }{2^n}}\cdot \frac{1}{\theta }$
$=\frac{sin\theta }{\theta }\cdot \frac{\frac{\theta }{2^n}}{sin\frac{\theta }{2^n}}$
と変形できますね。
ここで、$n\to \infty$のとき$\frac{\theta }{2^n}\to 0$であるから、

さらに、

となり、$a_n,b_n$の収束値が求められました。
ここで試しに$\theta =\frac{\pi }{6}$を代入してみると、$a_n$の収束値は$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\pi }{6}}=\frac{3}{\pi }$となり、逆数にして3倍すると円周率が求められます。

ここまで聞いても「そ、そうか……」としか思いませんよね。今度は、この漸化式の図形的な意味を考えていきましょう。

古代ギリシャの数学者・アルキメデスは、円に内接・外接する正多角形に着目して円周率の近似計算をしました。時は流れ中世、クザーヌスは正多角形に内接・外接する円に着目することを試みたそう。そんなクザーヌスの考えを追っていきましょう。

周の長さが$2$の正$2^n$角形を考えます。この図形の内接円・外接円の半径をそれぞれ$a_n,b_n$とおくと、直感的に
内接円の円周<正多角形の周の長さ<外接円の円周
すなわち
$2a_n\pi <2<2b_n\pi$
よって
$\frac{1}{b_n}<\pi <\frac{1}{a_n}$
であることが納得できるはずです（厳密な証明は積分により円の周の長さを出し、それと正多角形の周の長さと比較すれば良いかと思います）。
次に正$2^{n+1}$角形の重心を先の正$2^n$角形の重心と一致するように置き、正$2^n$の全ての辺が正$2^{n+1}$角形のある辺と平行になるように回転させます。
正$2^{n+1}$角形は正$2^n$角形よりも円に近い形を取ります。すなわち$a_{n+1}$は$a_n$より大きく、また$b_{n+1}$は$b_n$より小さいことが分かります。これを無限に続けていくと、$\pi$の取りうる値が狭まっていき、やがて円周率が求められるんですね（はさみうちの原理みたいなものですかね）。
え？相加・相乗平均関係ないじゃん、って？いやいやそれがあるんですよ。余白が狭すぎるのでここでは示しませんが、$a_n$と$b_n$には文前半で示したような漸化式（係数は合いませんが）の関係があります。十分小さい$n$で考えると、図形的にわかるはずです。

しかし、このπの求め方にはある重大な欠点があります。それは、収束がかなり遅いことです。$n=5$でやっと$3.140<\pi <3.144$となるくらいの精度なので、今日ではこの計算方法はほとんど用いられていません。しかし極限の飛ばし方がユニークなため、数学的にある程度の価値があると私は思います。

本日は以上です。
大変読みづらく長い文章になってしまったにもかかわらず、ここまで読んで頂きありがとうございます。
それではまたいつか。人生に数学の視点を！