順序統計量 is 何
はじめに
統計を勉強していると順序統計量に出くわした.
$P$を確率分布, $X_1, \cdots, X_n, i.i.d. ~ P$とする. 小さい順に並び変えたものを$X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq \cdots \leq X_{(n)}$で表し順序統計量という.
...また, 標本の値を昇順に並び替えたものを$X_{(1)}, X_{(2)}, \cdots, X_{(n)}$としたとき, これらを順序統計量とよぶ.
関数を小さい順に並び変える？？統計量なのに標本の値？？となったので定義を確かめる.
順序統計量
$P$を確率分布, $X_1, \cdots, X_n:\Omega \rightarrow \mathbb{R}, i.i.d ~ P$とする.
任意の$\omega \in \Omega$に対し, $X_{\omega}=(X_1(\omega), \cdots, X_n(\omega))\in\mathbb{R}^n$が定まる. $X_{\omega}$の成分を昇順に並び変えたものを$X_{(\omega)}=(X_{(1)}(\omega), \cdots, X_{(n)}(\omega))$とおく. すなわち,
$$
X_{(1)}(\omega)\leq X_{(2)}(\omega)\leq\cdots\leq X_{(n)}(\omega) \in \mathbb{R}.
$$
このとき$j\in\{1, \cdots, n\}$について, $\omega$に対し$X_{(\omega)}$の第$j$成分を対応させる写像$X_{(j)}:\Omega\rightarrow\mathbb{R}, \omega\mapsto X_{(j)}(\omega)$を順序統計量と呼ぶ.
これで順序統計量の定義ができた. 次に久保川統計における
$$
X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq \cdots \leq X_{(n)}
$$
を考える. 関数の間の不等号とは何か, である. $\textrm{Map}(\Omega, \mathbb{R})$において
$$
f, g\in \textrm{Map}(\Omega, \mathbb{R}), \quad f \leq g \overset{\textrm{def}}{\Leftrightarrow} \forall \omega\in\Omega, f(\omega)\leq g(\omega)
$$
と定めると$\leq$は$\textrm{Map}(\Omega, \mathbb{R})$上の半順序となる. この意味で$X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq \cdots \leq X_{(n)}$が$X_{(j)}$の定め方から成り立つ.
より精密に
確率変数は可測集合の逆像が可測であることが求められるのでそれをチェックする.
$h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$を
$$
(x_1, \cdots, x_n) \mapsto x_{(i)} \; \textrm{where} \; x_{(1)}\leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)} \in \{x_1, \cdots, x_n\}
$$
で定める. このとき$h_i$はボレル可測である.
$\forall a\in \mathbb{R}$に対し, $h_{i}^{-1}((-\infty, a))$ は
$$
\prod_{k=1}^i (-\infty, a) \times \prod_{k=i+1}^n \mathbb{R} \tag{1} \label{prod}
$$
およびその順番を入れ替えた集合の和集合として書ける. (\ref{prod}) は$\mathbb{R}^n$の開集合であるから, $h_{i}^{-1}((-\infty, a))\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$. よって$h_i$はボレル可測.
$X_1, \cdots, X_n:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$: 確率変数, $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$をボレル可測関数とする. このとき, $f\circ (X_1, \cdots, X_n)$は確率変数である.
これで順序統計量の定義ができる.
$(\Omega, \mathcal{F}, P)$を確率空間とし, $X_1, \cdots, X_n:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$: 確率変数とする.
補題1, 2によって, 合成 $h_i\circ (X_1, \cdots, X_n): \Omega\rightarrow \mathbb{R}$は確率変数.
$X_{(i)}:=h_i\circ (X_1, \cdots, X_n)$と書き, 順序統計量と呼ぶ.
