Chebyshev関数の超幾何関数による表示とarcsinの冪のMaclaurin展開
非負整数$n$に対し, Chebyshev多項式は$x:=\cos\theta$として,
\begin{align}
T_n(x)&:=\cos n\theta\\
U_n(x)&:=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}
\end{align}
と定義される$n$次の多項式である. より一般の複素数$\nu$に対して, Chebyshev関数を
\begin{align}
T_{\nu}(x)&:=\cos\nu\theta\\
U_{\nu}(x)&:=\frac{\sin(\nu+1)\theta}{\sin\theta}
\end{align}
によって定義するとき, それは以下のような超幾何関数による表示をもつ.
\begin{align} T_{\nu}(x)&=\F21{-\nu,\nu}{\frac 12}{\frac{1-x}2}\\ U_{\nu}(x)&=(\nu+1)\F21{-\nu,\nu+2}{\frac 32}{\frac{1-x}2} \end{align}
1つ目の式から示す. 右辺は$x=\cos\theta$として, Pfaffの変換公式を用いると,
\begin{align}
\F21{-\nu,\nu}{\frac 12}{\frac{1-x}2}&=\F21{-\nu,\nu}{\frac 12}{\sin^2\frac{\theta}2}\\
&=\F21{\nu,\nu+\frac 12}{\frac 12}{-\tan^2\frac{\theta}2}\cos^{-2\nu}\frac{\theta}2
\end{align}
ここで,
\begin{align}
&\F21{\nu,\nu+\frac 12}{\frac 12}{-\tan^2\frac{\theta}2}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(2\nu)_{2n}}{(2n)!}\left(-\tan^2\frac{\theta}2\right)^n\\
&=\frac 12\sum_{0\leq n}\frac{(2\nu)_{n}}{n!}(i^n+i^{-n})\tan^n\frac{\theta}2\\
&=\frac 12\left(\left(1-i\tan\frac{\theta}2\right)^{-2\nu}+\left(1+i\tan\frac{\theta}2\right)^{-2\nu}\right)\\
&=\frac{\cos^{2\nu}\frac{\theta}2}2\left(e^{i\nu\theta}+e^{-i\nu\theta}\right)\\
&=\cos^{2\nu}\left(\frac{\theta}2\right)\cos\nu\theta
\end{align}
となるから,
\begin{align}
\F21{-\nu,\nu}{\frac 12}{\frac{1-x}2}&=\cos\nu\theta=T_{\nu}(x)
\end{align}
となって1つ目の等式を得る. 2つ目の等式は, 1つ目の式
\begin{align}
\cos(\nu\arccos x)&=\F21{-\nu,\nu}{\frac 12}{\frac{1-x}2}
\end{align}
を$x$に関して微分すると,
\begin{align}
\nu\frac{\sin(\nu\arccos x)}{\sqrt{1-x^2}}&=-\frac 12\sum_{0< n}\frac{(-\nu,\nu)_n}{(n-1)!\left(\frac 12\right)_n}\left(\frac{1-x}2\right)^{n-1}\\
&=\nu^2\F21{1-\nu,1+\nu}{\frac 32}{\frac{1-x}2}
\end{align}
であるから, 両辺を$\nu$で割って$\nu\mapsto \nu+1$とすると,
\begin{align}
T_{\nu}(x)&=(\nu+1)\F21{-\nu,\nu+2}{\frac 32}{\frac{1-x}2}
\end{align}
を得る.
$\arcsin$の冪のMaclaurin展開
定理1は
\begin{align}
\cos\nu\theta&=\F21{-\nu,\nu}{\frac 12}{\sin^2\frac{\theta}2}\\
\frac{\sin \nu\theta}{\sin\theta}&=\nu\F21{1-\nu,1+\nu}{\frac 32}{\sin^2\frac{\theta}2}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\cos(2\nu\arcsin x)&=\F21{-\nu,\nu}{\frac 12}{x^2}\\
\frac{\sin(2\nu\arcsin x)}{\nu}&=2x\sqrt{1-x^2}\F21{1-\nu,1+\nu}{\frac 32}{x^2}
\end{align}
と書き換えられ, 2つ目の式はEulerの変換公式より, さらに
\begin{align}
\frac{\sin(2\nu\arcsin x)}{\nu}&=2x\F21{\frac 12-\nu,\frac 12+\nu}{\frac 32}{x^2}
\end{align}
と表される. $|\nu|$を十分小さくとると, $\nu$に関して,
\begin{align}
\F21{-\nu,\nu}{\frac 12}{x^2}&=1+\sum_{0< n}\frac{(-\nu,\nu)_n}{n!\left(\frac 12\right)_n}x^{2n}\\
&=1-\nu^2\sum_{0< n}\frac{n!\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-\frac{\nu^2}{k^2}\right)}{n^2\left(\frac 12\right)_n}x^{2n}\\
&=1-\nu^2\sum_{0< n}\frac{n!\sum_{0\leq r}(-\nu^2)^r\sum_{0< k_1<\cdots< k_r< n}\frac 1{k_1^2\cdots k_r^2}}{n^2\left(\frac 12\right)_n}x^{2n}\\
&=1+\sum_{0< r}(-\nu^2)^r\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{n_r!}{n_1^2\cdots n_r^2\left(\frac 12\right)_{n_r}}x^{2n_r}
\end{align}
と展開できる. 一方,
\begin{align}
\cos(2\nu\arcsin x)&=\sum_{0\leq r}\frac{(2\arcsin x)^{2r}}{(2r)!}(-\nu^2)^r
\end{align}
であるから$(-\nu^2)^r$の係数を比較して,
\begin{align}
\frac{(2\arcsin x)^{2r}}{(2r)!}&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{n_r!}{n_1^2\cdots n_r^2\left(\frac 12\right)_{n_r}}x^{2n_r}
\end{align}
を得る. 同様に,
\begin{align}
2x\F21{\frac 12-\nu,\frac 12+\nu}{\frac 32}{x^2}&=\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12-\nu,\frac 12+\nu\right)_n}{n!\left(\frac 12\right)_{n+1}}x^{2n+1}\\
&=\sum_{0\leq r}(-\nu^2)^r\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_{r+1}}\frac{1}{\left(n_1+\frac 12\right)^2\cdots \left(n_r+\frac 12\right)^2\left(n_{r+1}+\frac 12\right)}\frac{\left(\frac 12\right)_{n_{r+1}}}{n_{r+1}!}x^{2n_{r+1}+1}\\
\frac{\sin(2\nu\arcsin x)}{\nu}&=\sum_{0\leq r}\frac{(2\arcsin x)^{2r+1}}{(2r+1)!}(-\nu^2)^r
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\frac{(2\arcsin x)^{2r+1}}{(2r+1)!}=\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_{r+1}}\frac{1}{\left(n_1+\frac 12\right)^2\cdots \left(n_r+\frac 12\right)^2\left(n_{r+1}+\frac 12\right)}\frac{\left(\frac 12\right)_{n_{r+1}}}{n_{r+1}!}x^{2n_{r+1}+1}
\end{align}
を得る. まとめると以下が得られる.
非負整数$r$に対し,
\begin{align}
\frac{(2\arcsin x)^{2r}}{(2r)!}&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{n_r!}{n_1^2\cdots n_r^2\left(\frac 12\right)_{n_r}}x^{2n_r}\\
\frac{(2\arcsin x)^{2r+1}}{(2r+1)!}&=\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_{r+1}}\frac{1}{\left(n_1+\frac 12\right)^2\cdots \left(n_r+\frac 12\right)^2\left(n_{r+1}+\frac 12\right)}\frac{\left(\frac 12\right)_{n_{r+1}}}{n_{r+1}!}x^{2n_{r+1}+1}
\end{align}
が成り立つ.
