有理数の冪乗の小数部分―On the fractional parts of the powers of a rational number (II)／K. Mahler(1957)を読む―
古くはウェアリング問題における$g(k)$式の反例が高々有限個しか存在しないことに用いられ、最近だと齋藤耕太先生の、ミルズの定数が無理数であることの論文2にも用いられた、「On the fractional parts of the powers of a rational number (II)／K. Mahler(1957)」1を紹介します。
原著は
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にてご参照ください。
主定理を先に紹介します。
$\|x\|$を実数$x$から最も近い整数までの距離とする。$u > v \geq 2$を満たす互いに素な整数$u$と$v$、および任意の正の数$\varepsilon > 0$に対して、不等式
\begin{align}
\left\| \left( \frac{u}{v} \right)^n \right\| < e^{-\varepsilon n}
\end{align}
を満たす正の整数解$n$は有限個しか存在しない。
ざっくり原著邦訳
1.
約20年前、私は同じタイトルのノート[2]で、次の結果を得た。
$u > v \geq 2$を満たす互いに素な整数$u$と$v$、および任意に小さい正の数$\epsilon$を考える。以下の不等式を仮定する。
\begin{align}
\left| \left( \frac{u}{v} \right)^n - \text{(一番近い整数)} \right| < e^{-\epsilon n} \qquad \cdots (1)
\end{align}
これが、正の整数の無限列$n_1, n_2, ...$によって満たされるとする。このとき、
\begin{align}
\limsup_{r \to \infty} \frac{n_{r+1}}{n_r} = \infty.
\end{align}
この定理の証明は、Th. Schneider [6] の方法を拡張した私自身 [3] の方法に基づいている。Schneider [7] の最近の論文も参照のこと。
代数的数の有理近似を研究するための K. F. Roth [5] の新しい方法により、定理1を、次のより強力な結果に置き換えることができることは興味深い。
$u,v,\epsilon$を定理1と同様とする。
このとき、不等式(1)を満たす正の整数$n$は、高々有限個である。
この結果は、ウェアリング問題における数$g(k)$の値に関連して、興味深い応用がある。
この数は現在、$k \leq 6$に対して知られており、これは数人の数学者の研究の結果である（Hardy and Wright [1],337を参照）。しかし、$g(k)$の公式は、$B$が$2k - A$より小さいか大きいかによって異なる。ここで、
\begin{align}
A = \left\lfloor \left( \frac{3}{2} \right)^k \right\rfloor, \quad B = 3^k - 2^k A.
\end{align}
前者の場合、$g(k) = 2k + A - 2$となり、後者の場合は異なる結果が得られる。定理2から、後者のケースは、$k$の有限個の値に対してのみ発生する可能性がある。なぜなら、$B > 2k - A$の場合、
\begin{align}
0 < (A+1) - \left(\frac{3}{2}\right)^k < \frac{A}{2^k} < \left(\frac{3}{4}\right)^k,
\end{align}
したがって、$u = 3, v = 2, \epsilon = \log \frac{4}{3}, n = k$とすると(1)が成り立つ。よって、$k$の有限個の値を除いて、
\begin{align}
g(k) = 2^k + \left\lfloor \left( \frac{3}{2} \right)^k \right\rfloor - 2
\end{align}
が言える。
2.
Rothの定理は、もし$\vartheta$が代数的無理数であり、かつ$\gamma > 2$ならば、不等式
\begin{align}
\left|\vartheta - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{\gamma}}.
\end{align}
を満たす有理数$p/q\ (q > 0)$は有限個しか存在しないと述べている。この証明は、$\vartheta$が有理数の場合でも、$\vartheta$と異なる有理数$p/q$のみを考慮すれば有効だが、その場合、結果は自明である。
以前にSchneiderの結果を一般化した私の論文[3]の方法は、Rothの結果の同様の拡張を証明するために使用でき、これはRidout [4]によってなされた。彼は以下を証明する。
$\vartheta$を0以外の任意の代数的数とする。$P_1, ..., P_s, Q_1, ..., Q_t$を相異なる素数の有限集合とする。また、$\alpha, \beta, \gamma, c$を、
\begin{align}
0 \le \alpha \le 1, \quad 0 \le \beta \le 1, \quad \gamma > \alpha + \beta, \quad c > 0 \qquad \cdots (2)
\end{align}
を満たす実数とする。$p, q$を
\begin{align}
p = p^* P_{1}^{h_1} \ldots P_{s}^{h_s}, \quad q = q^* Q_{1}^{k_1} \ldots Q_{t}^{k_t}
\end{align}
の形式の整数に限定する。ここで、$h_1, ..., h_s, k_1, ..., k_t$は非負の整数であり、$p^*, q^*$は
\begin{align}
0 < |p^*| \leq cp^{\alpha}, \quad 0 < q^* \leq cq^{\beta} \qquad \cdots (3)
\end{align}
を満たす整数である。
$\vartheta, \alpha, \beta, \gamma, c$および素数$P_1,...,Q_1,...$に依存する正の数$C$が存在し、上記の形式のすべての$p$および$q$に対して、
\begin{align}
\left|\vartheta - \frac{p}{q}\right| > \frac{C}{q^{\gamma}} \quad \text{ただし} \quad \vartheta - \frac{p}{q} \neq 0 \qquad \cdots (4)
\end{align}
が成り立つ。
3.
ここで、定理2を定理3から容易に導き出すことができ、さらにわずかに一般的な結果を得ることさえできる。
$\vartheta$を任意の正の代数的数とし、$u,v,\epsilon$を定理1と同様とする。
\begin{align}
\lambda = \frac{\log v}{\log u}
\end{align}
と置くと、$v = u^{\lambda}$であり、$0 < \lambda < 1$である。$P_1, ..., P_s$を$v$の相異なる素因数とし、$Q_1, ..., Q_t$を$u$の素因数とする。
\begin{align}
\alpha = 1 - \lambda, \quad \beta = 0, \quad c = (2\vartheta)^{\lambda} + 1,\\
\gamma = 1 - \lambda + \frac{1}{2}\epsilon (\log u)^{-1} > \alpha + \beta
\end{align}
とする。定理3を以下のように適用する。
\begin{align}
p = p^* v^n, \quad q = u^n \quad (q^* = 1)
\end{align}
ここで、$p^*$は$\vartheta(u/v)^n$に最も近い整数を表す。これは許容される。なぜなら、$v^n$は$P_1, ..., P_s$の冪の積であり、$u^n$は$Q_1, ..., Q_t$の冪の積だからである。十分大きな$n$に対して、
\begin{align}
0 < p^* < 2\vartheta (u/v)^n = 2\vartheta v^{n(1-\lambda)/\lambda}
\end{align}
が成り立つ。したがって、
\begin{align}
0 < p^* < cp^{1-\lambda}
\end{align}
となり、(3)が満たされる。さらに、$\vartheta(u/v)^n$は、$n$が十分に大きい場合、明らかに整数にはなり得ない。したがって、(4)は
\begin{align}
|\vartheta (u/v)^n - p^*| > (u/v)^n C u^{-\gamma n} = C \exp \left( -\frac{1}{2} \epsilon n \right)
\end{align}
を意味する。したがって、有限個の$n$の値を除いて、
\begin{align}
|\vartheta(u/v)^n - p^*| > e^{-\epsilon n}
\end{align}
が成り立つ。定理2は$\vartheta = 1$の場合である。
もし$u/v$が適切な代数的数、例えば$\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$で置き換えられ、$\vartheta$が再び1とされた場合、結論はもはや成り立たない。どの代数的数が、定理2において$u/v$と同じ性質を持つかを知ることは興味深い。
[1]. G. H. Hardy and E. M. Wright, Introduction to the Theory of Numbers (3rd ed., Oxford, 1954).
[2]. K. Mahler, Acta Arithmetica, 3 (1938), 89-93.
[3]. -, Proc. K. Akad. Wet. Amsterdam, 39 (1936), 633-640 and 729-737.
[4]. D. Ridout, Mathematika, 4 (1957), 125-131.
[5]. K. F. Roth, Mathematika, 2 (1955), 1-20.
[6]. Th. Schneider, J. für die reine und angew. Math., 175 (1936), 182-192.
[7]. -, J. für die reine und angew. Math., 188 (1950), 115-128.
