この記事では小数の単位を使用します。見慣れない単位が出てくるので 巨大数研究Wiki でご確認ください。
割り算の記号のつもりで\div
と書くとなぜか発散の記号
自然対数を
便宜上
私の記事では何回も出てきているので導出はほとんど省略します。
であることが分かる。
であるから、
よって、
が成り立つ。
が成り立つ。
を示せばよい。
より示された。
が成り立つ。
上からの評価は
下からの評価は
そのために、まず
突然だが、
が成り立つ。
直前の定理の証明から即座に従う。
定理4より、
であることより、
が従う。
また、
大幅にオーバーしてしまいました。そもそも、
また、
そこで、最低でも糸の位までは計算することにします。
簡単な方から、すなわち
(このあたりから数式を書き殴るだけになってきます)
台形公式が使えないので1/8ごとにサンプリングし、その範囲の最大値を取ります。
以上の結果を合わせると、以下のようになる。
分割 | 一 | 分 | 厘 | 毛 | 糸 | 忽 | 微 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | |||||||
1 | 7 | 5 | |||||
1 | 7 | 0 | 5 | ||||
1 | 6 | 9 | 8 | ||||
1 | 2 | 1 | 6 | ||||
5 | 8 | 5 | 6 | ||||
1 | 3 | 3 | 9 | 2 | |||
合計 | 2 | 0 | 6 | 5 | 2 | 9 | 0 |
どうやらもう少し削れるところがありそうです。
ここからは私も本気を出します。積分値の一部になる項は小数以下6桁まで計算します。
が成り立つ。
が成り立つ。
であるから両辺の
なので、
がわかる。したがって、
を得る。
なので、
がわかる。したがって、
を得る。
なので、
がわかる。したがって、
を得る。
なので、
がわかる。したがって、
を得る。
なので、
がわかる。したがって、
を得る。
ここまでの結果をまとめます。
また、次の結果が得られます。
マイナスのセントを計算するのに役に立つ補題です。
任意の
は絶対収束する。よって、以下のような不等式評価ができる。
分割 | 一 | 分 | 厘 | 毛 | 糸 | 忽 | 微 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | |||||||
1 | 7 | 5 | |||||
1 | 7 | 0 | 5 | ||||
1 | 6 | 9 | 8 | ||||
1 | 2 | 1 | 6 | ||||
5 | 7 | 3 | 3 | 5 | 5 | ||
1 | 3 | 3 | 9 | 2 | |||
合計 | 2 | 0 | 5 | 3 | 0 | 4 | 5 |
半整数乗の場合はセントの計算より開平法を行う方が高い精度で計算できます。
分割 | 一 | 分 | 厘 | 毛 | 糸 | 忽 | 微 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | |||||||
1 | 7 | 5 | |||||
1 | 6 | 3 | 2 | ||||
1 | 6 | 4 | 7 | ||||
1 | 1 | 7 | 0 | 3 | 8 | ||
5 | 7 | 3 | 3 | 5 | 5 | ||
1 | 3 | 3 | 9 | 2 | |||
合計 | 2 | 0 | 4 | 7 | 9 | 0 | 0 |
証明は級数展開により行います。
よって
(Q.E.D.)
これにより、
よって
なのでここまでの評価を合計すると
分割 | 一 | 分 | 厘 | 毛 | 糸 | 忽 | 微 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | |||||||
1 | 7 | 5 | |||||
1 | 6 | 3 | 2 | ||||
1 | 6 | 4 | 7 | ||||
1 | 1 | 7 | 0 | 3 | 8 | ||
5 | 7 | 3 | 3 | 5 | 5 | ||
1 | 2 | 9 | 1 | 2 | 8 | 7 | |
合計 | 1 | 9 | 9 | 9 | 9 | 8 | 7 |
よって
が示されました!!!
なんだこのデウスエクスマキナはと思ったかもしれませんが、許してください。こうしないと、