エンタメ解説

∫_0^∞ 1/x^x dx < 2を多量の計算で示す

近似,二進対数,台形公式

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注意

この記事では小数の単位を使用します。見慣れない単位が出てくるので巨大数研究Wiki でご確認ください。

割り算の記号のつもりで\divと書くとなぜか発散の記号 $\nabla \cdot$ が出るようにMathlogの仕様が変わってしまったので、÷の代わりに $/$ を使うことにします。

問題

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{x}} d x < 2$ を証明せよ。

準備

自然対数を $\ln$ 、二進対数を $lb$ で表すことにする。

$x ¢$ を $2^{\frac{x}{1200}}$ と定義する。

$f (x) = \frac{1}{x^{x}} = x^{- x} = e^{- x \ln x} (x > 0)$ とする。
$g (x) = x^{x} (x > 0)$ とする。
便宜上 $f (0) = g (0) = 1$ とする。

$I_{a, δ} = \int_{a}^{a + δ} \frac{1}{x^{x}} d x$ とする。
$I_{a} = I_{a, 1} = \int_{a}^{a + 1} \frac{1}{x^{x}} d x$ とする。
$I_{a +} = \int_{a}^{\infty} \frac{1}{x^{x}} d x$ とする。
$I = I_{0 +} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{x}} d x$ とする。

二進対数の近似値

私の記事では何回も出てきているので導出はほとんど省略します。

$3^{12} = 531441 > 524288 = 2^{19}$ から、 $\frac{3}{2} > 700 ¢$ が従う。
$3^{5} = 243 < 256 = 2^{8}$ から、 $\frac{3}{2} < 720 ¢$ が従う。

$5^{6} = 3125 > 3072 > 2^{11} \sqrt{2}$ から、 $\frac{5}{4} > 360 ¢$ が従う。
$5^{3} = 125 < 128 = 2^{7}$ から、 $\frac{5}{4} < 400 ¢$ が従う。

$7^{5} = 16807 > 16384 = 2^{14}$ から、 $\frac{7}{4} > 960 ¢$ が従う。
$7^{6} = 117649 < 131072 > 2^{17}$ から、 $\frac{7}{4} < 1000 ¢$ が従う。

$\frac{3}{2} > 700 ¢$ の両辺を $2$ から割ることで、 $\frac{4}{3} < 500 ¢$ がわかる。
$\frac{3}{2} > 700 ¢$ と $\frac{5}{4} < 400 ¢$ から、 $\frac{6}{5} > 300 ¢$ がわかる。

補題の証明

$f (x) = \frac{1}{x^{x}} (x \geq 0)$ は $0 < x < 1$ で上に凸、 $1 < x$ で下に凸である。また、 $x = \frac{1}{e}$ で最大値 $e^{\frac{1}{e}}$ を取る。

$f (x) = e^{- x \ln x}$ であるから、

$f^{'} (x) = - (\ln x + 1) f (x)$

であることが分かる。 $\ln x$ と $1$ の大小を比較することで、 $f (x)$ は $0 < x < \frac{1}{e}$ で単調増加、 $\frac{1}{e} < x$ で単調減少であることが分かる。また、このときの最大値は $e^{- \frac{1}{e} \cdot (- 1)} = e^{\frac{1}{e}}$ である。

$f^{″} (x) = ((\ln x + 1)^{2} - \frac{1}{x}) f (x)$

であるから、 $x > 1$ のとき $f^{″} (x) > 0$ 、 $x = 1$ のとき $f^{″} (x) = 0$ である。
$\frac{1}{e^{2}} < x < 1$ であれば $| \ln x + 1 | < 1$ であるから $f^{″} (x) < 0$ である。
$0 < x < \frac{1}{e^{2}}$ のとき、 $a = \frac{1}{x}$ とすると、 $(1 - \ln a)^{2} - a = (\ln a - 1)^{2} - a$ の符号が分かればよい。 $h (a) = \ln a - \sqrt{a}$ とおくと、 $h^{'} (a) = a^{- 1} - \frac{1}{2} a^{- \frac{1}{2}}$ であるが、 $a h^{'} (a) = 1 - \frac{\sqrt{a}}{2} < 0$ であるから、 $h^{'} (a) < 0$ 、 $h (e^{2}) = 2 - e < 0$ より $h (a) < 0$ がわかる。したがって、 $(\ln a - 1)^{2} - a < (\sqrt{a} - 1)^{2} - a < a - a = 0$ より $0 < x < \frac{1}{e^{2}}$ で $f^{″} (x) < 0$ であることがわかる。
よって、 $f (x)$ は $0 < x < 1$ で上に凸、 $1 < x$ で下に凸であることがしめされた。

$x \in R, n \in N, 0 < x \leq 1, n \geq 1$ とする。
$e^{x} < (\sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}) + \frac{x^{n}}{n!} \cdot \frac{x}{n}$
が成り立つ。

$\begin{aligned} e^{x} & = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} \\ < \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + \sum_{l = 1}^{\infty} \frac{x^{n} \cdot x^{l}}{n! \cdot (n + 1)^{l}} \\ < \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + \sum_{l = 1}^{\infty} \frac{x^{n + 1}}{n! \cdot (n + 1)^{l}} \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + \frac{x^{n + 1}}{n!} \sum_{l = 1}^{\infty} \frac{1}{(n + 1)^{l}} \\ = (\sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}) + \frac{x^{n + 1}}{n! \cdot n} \\ = (\sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}) + \frac{x^{n}}{n!} \cdot \frac{x}{n} \end{aligned}$

$a > e$ のとき、
$I_{a +} < \frac{1}{a^{a}}$
が成り立つ。

$\frac{1}{a^{a}} = \int_{a}^{\infty} \frac{1 / a^{a}}{e^{- a}} e^{- x} d x$ であるから、
$\frac{1}{x^{x}} < \frac{1 / a^{a}}{e^{- a}} e^{- x} (x > a)$
を示せばよい。
$\begin{aligned} (\frac{1}{x^{x}}) / (\frac{1 / a^{a}}{e^{- a}} e^{- x}) & = \frac{a^{a} e^{- a}}{x^{x} e^{- x}} \\ < \frac{a^{a} e^{- a}}{a^{x} e^{- x}} \\ = \frac{a^{a - x}}{e^{a - x}} \\ = \frac{e^{x - a}}{a^{x - a}} \\ < 1 (∵ x > a, a > e) \end{aligned}$
より示された。

$0 < x < 200$ のとき、
$1 + \frac{x}{1800} < x ¢ < 1 + \frac{x}{1600}$
が成り立つ。

上からの評価は $\frac{3}{2} > 700 ¢$ の両辺を $2$ 乗し $2$ で割ると $\frac{9}{8} > 200 ¢$ が得られ、 $2^{x}$ が下に凸であることから従う。
下からの評価は $\ln 2 > \frac{2}{3}$ を示せばよい。
そのために、まず $1 + \frac{1}{17} < 100 ¢$ を示す。
$\begin{aligned} {(1 + \frac{1}{17})}^{12} & = 1 + \frac{12}{17} + \frac{(12 \cdot 11) / 2}{17^{2}} + \sum_{k = 3}^{17} \frac{_{12} C_{k}}{17^{k}} \\ < 1 + \frac{12}{17} + \frac{66}{17^{2}} + \sum_{k = 3}^{17} \frac{66 \cdot {(\frac{10}{3})}^{k - 2}}{17^{k}} \\ = 1 + \frac{12}{17} + \frac{66}{17^{2}} + \sum_{k = 3}^{17} \frac{220 \cdot {(\frac{10}{3})}^{k - 3}}{17^{3} \cdot 17^{k - 3}} \\ = 1 + \frac{12}{17} + \frac{66}{17^{2}} + \sum_{k = 3}^{\infty} \frac{220 \cdot {(\frac{10}{3})}^{k - 3}}{17^{3} \cdot 17^{k - 3}} \\ = 1 + \frac{12}{17} + \frac{66}{17^{2}} + \frac{220}{17^{3}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{10}{51}} \\ = 1 + \frac{12}{17} + \frac{66}{17^{2}} + \frac{220 \cdot \frac{51}{40}}{17^{3}} \\ < 1 + \frac{12}{17} + \frac{66}{17^{2}} + \frac{281}{17^{3}} \\ < 1 + \frac{12}{17} + \frac{68}{17^{2}} + \frac{289}{17^{3}} \\ = 2 \end{aligned}$

突然だが、 $y = 2^{x}$ のグラフを考えると、これは $y = \frac{2}{3} x + 1$ 上の点 $(- \frac{1}{12}, \frac{17}{18})$ の下を通る。よって $y = 2^{x}$ と $y = \frac{2}{3} x + 1$ のグラフは $x < 0$ で交わるので、 $2^{x}$ が下に凸であることから $\ln 2 > \frac{2}{3}$ が成り立つ。

$- 100 < x < 0$ のとき、
$x ¢ < 1 - \frac{x}{1800}$
が成り立つ。

直前の定理の証明から即座に従う。

$385.6 ¢ < \frac{5}{4} < 388 ¢$ である。

$3$ 乗して比較する。
$2 / {(\frac{5}{4})}^{3} = 1 + \frac{3}{125}$ である。
定理4より、 $38.4 ¢ < 1 + \frac{3}{125} < 43.2 ¢$ であるから、
$\frac{5}{4} = 2^{\frac{1200 - 1200 lb (1 + \frac{3}{125})}{3}}$
であることより、
$385.6 ¢ < \frac{5}{4} < 387.2 ¢$

が従う。

証明

最初の試み

$e^{\frac{1}{e}} < e^{0.4} < 1 + 0.4 + 0.08 + 0.08 \cdot \frac{0.4}{2} < 1.496 < 1.5$ であるから、 $f (x)$ の最大値は $1.5$ 未満である。よって、 $I_{0} < 1.5$ である。

また、 $f (x)$ は $x > 1$ で下に凸であるから、台形近似は常に上からの評価となる。

$I_{1} < (\frac{1}{1} + \frac{1}{4}) / 2 = (1 + 0.25) / 2 = 0.625$
$I_{2} < (\frac{1}{4} + \frac{1}{27}) / 2 < (0.25 + 0.04) / 2 = 0.145$
$I_{3 +} < \frac{1}{27} < 0.04$

$1.5 + 0.625 + 0.145 + 0.04 = 2.274$

大幅にオーバーしてしまいました。そもそも、 $x = 1$ の接線を考えることで $I_{1} > 0.5$ がわかるので、 $I_{0} < 1.5$ をもっと精密に評価する必要があります。

また、 $I_{0}$ は1と1.5の間を取って1.25くらい、 $I_{1}$ は0.6くらい、 $I_{2}$ は0.1くらい、 $I_{3}$ は0.04くらいと考えると、この時点で1.99となり、かなり積分値が2に近そうなことが分かります。

そこで、最低でも糸の位までは計算することにします。

高精度の試み

簡単な方から、すなわち $x$ が大きい方から分割して順に求めていきます。

$I_{6 +}$

$I_{6 +} < \frac{1}{6^{6}} = \frac{1}{46656} < 3 忽$

$I_{5}$

$I_{5} < (\frac{1}{3125} + \frac{1}{46656}) / 2 = (32 + 3) 忽 / 2 < 1 糸 7 忽 5 微$

$I_{4}$

${4.5}^{2} = 20.25 > 20$ であるから、 ${4.5}^{4.5} > 400 \sqrt{4.5} > 800$ である。

$I_{4.5, 0.5} < (\frac{1}{800} + \frac{1}{3125}) / 2 \times 0.5 = (125 + 32) 忽 / 2 \cdot 0.5 = 3 糸 9 忽 2 微 5 繊$
$I_{4, 0.5} < (\frac{1}{256} + \frac{1}{800}) / 2 \times 0.5 = (400 + 125) 忽 / 2 \cdot 0.5 = 1 毛 3 糸 1 忽 2 微 5 繊$

$I_{4} < 3 糸 9 忽 2 微 5 繊 + 1 毛 3 糸 1 忽 2 微 5 繊 = 1 毛 7 糸 5 微$

$I_{3}$

${3.5}^{2} = 12.25 > 12$ であるから ${3.5}^{3} > 12 \cdot 3.5 = 42$ すなわち ${3.5}^{3.5} > 42 \cdot \sqrt{3.5} > 42 \cdot 1.8 > 75$ である。

$I_{3.5, 0.5} < (\frac{1}{75} + \frac{1}{256}) / 2 \times 0.5 = (134 + 40) 糸 / 2 \cdot 0.5 = 4 毛 3 糸 5 忽$
$I_{3, 0.5} < (\frac{1}{27} + \frac{1}{75}) / 2 \times 0.5 = (371 + 134) 糸 / 2 \cdot 0.5 = 1 厘 2 毛 6 糸 2 忽 5 微$

$I_{3} < 4 毛 3 糸 5 忽 + 1 厘 2 毛 6 糸 3 忽 = 1 厘 6 毛 9 糸 8 忽$

$I_{2}$

(このあたりから数式を書き殴るだけになってきます)

$\frac{1}{4}$ ごとに計算する。

$f (3) < \frac{1}{27} < 371 糸$

${2.75}^{2.75} > 7 \cdot {2.75}^{0.75} > 7 \cdot e^{0.75} > 7 (1 + 0.75 + 0.28) > 14$

$f (2.75) < \frac{1}{14} < 715 糸$

$I_{2.75, 0.25} < (715 + 371) 糸 / 2 \cdot 0.25 < 1 厘 3 毛 6 糸$

${2.5}^{2.5} = 6.25 \sqrt{2.5} > 6.25 \cdot 1.5 = 9.375 = \frac{75}{8}$

$f (2.5) < \frac{8}{75} < 1067 糸$

$I_{2.5, 0.25} < (1067 + 715) 糸 / 2 \cdot 0.25 < 2 厘 2 毛 3 糸$

${2.25}^{2.25} > 5 \sqrt{\sqrt{2.25}} = 5 \sqrt{1.5} > 5 \cdot 1.22 > 6.1$

$f (2.25) < \frac{1}{6.1} < 1640 糸$

$I_{2.25, 0.25} < (1640 + 1067) 糸 / 2 \cdot 0.25 < 3 厘 3 毛 9 糸$

$I_{2, 0.25} < (2500 + 1640) 糸 / 2 \cdot 0.25 < 5 厘 1 毛 8 糸$

$I_{2} < 0.1216$

$I_{1}$

$f (1.75) = {1.75}^{- 1.75} < (- 960 \cdot 1.75) ¢ = (- 1680) ¢ = \frac{1}{4} \cdot 720 ¢ < \frac{1}{4} \cdot {(\frac{7}{4})}^{2} / 2 < 0.3829$

$I_{1.75, 0.25} < (0.3829 + 0.2500) / 2 \cdot 0.25 < 0.0792$

$f (1.5) = {1.5}^{- 1.5} < (- 700 \cdot 1.5) ¢ = (- 1050) ¢ = \frac{1}{2} \cdot 150 ¢ < \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1.2} < \frac{1}{2} \cdot 1.1 = 0.55$

$I_{1.5, 0.25} < (0.55 + 0.3829) / 2 \cdot 0.25 < 0.1169$

$f (1.25) = {1.25}^{- 1.25} < (- 360 \cdot 1.25) ¢ = (- 440) ¢ < \frac{3}{4} \cdot (1 + \frac{60}{1600}) < 0.78$

$I_{1.25, 0.25} < (0.78 + 0.55) / 2 \cdot 0.25 < 0.167$

$I_{1, 0.25} < (1 + 0.78) / 2 \cdot 0.25 < 0.2225$

$I_{1} < 0.5856$

$I_{0}$

台形公式が使えないので1/8ごとにサンプリングし、その範囲の最大値を取ります。 $\frac{1}{e}$ は $\frac{3}{8}$ と $\frac{4}{8}$ の間にあります。

$f (\frac{7}{8}) = {(\frac{8}{7})}^{\frac{7}{8}} < (240 \cdot \frac{7}{8}) ¢ = 210 ¢ < 1.1 \cdot 60 ¢ < 1.1 (1 + 0.0375) < 1.1413$
$f (\frac{6}{8}) = {(\frac{8}{6})}^{\frac{6}{8}} < (500 \cdot \frac{6}{8}) ¢ = 375 ¢ < \frac{5}{4} \cdot (- 10) ¢ < 1.25 \cdot 0.99444 \dots < 1.2431$
$f (\frac{5}{8}) = {(\frac{8}{5})}^{\frac{5}{8}} < (815 \cdot \frac{5}{8}) ¢ < 510 ¢ < \frac{4}{3} \cdot 30 ¢ < 1.33 \dots \cdot (1 + 0.01875) < 1.3584$
$f (\frac{4}{8}) = {(\frac{8}{4})}^{\frac{4}{8}} = \sqrt{2} < 1.4143$
$f (\frac{3}{8}) = {(\frac{8}{3})}^{\frac{3}{8}} < (1700 \cdot \frac{3}{8}) ¢ < 637 ¢ < \frac{3}{2} \cdot (- 63) ¢ < 1.5 \cdot 0.965 = 1.4475$
$f (\frac{2}{8}) = {(\frac{8}{2})}^{\frac{2}{8}} = \sqrt{\sqrt{3}} < \sqrt{1.7321} < 1.3161$
$f (\frac{1}{8}) = {(\frac{8}{1})}^{\frac{1}{8}} = \sqrt{\sqrt{\sqrt{8}}} < \sqrt{\sqrt{2.8285}} < \sqrt{1.6818} < 1.2969$

$e^{\frac{1}{e}} < 1.4960$ と合わせて、次の結果を得る:

$\begin{aligned} I_{0} & < (1.2969 + 1.3161 + 1.4475 + 1.4960 + 1.4143 + 1.3584 + 1.2431 + 1.1413) / 8 \\ = 1 + 2.7136 / 8 \\ = 1.3392 \end{aligned}$

以上の結果を合わせると、以下のようになる。

分割	一	分	厘	毛	糸	忽	微
$I_{6 +}$						3
$I_{5}$					1	7	5
$I_{4}$				1	7	0	5
$I_{3}$			1	6	9	8
$I_{2}$		1	2	1	6
$I_{1}$		5	8	5	6
$I_{0}$	1	3	3	9	2
合計	2	0	6	5	2	9	0

どうやらもう少し削れるところがありそうです。

超高精度の計算

ここからは私も本気を出します。積分値の一部になる項は小数以下6桁まで計算します。

$\ln 2 > 0.69$

$e^{0.69} < 2$ を示せばよい。
$\begin{aligned} e^{0.69} & < 1 + 0.69 + \frac{{0.69}^{2}}{2} + \frac{{0.69}^{3}}{6} + \frac{{0.69}^{4}}{18} \\ = 1 + 0.69 + \frac{0.4761}{2} + \frac{0.328509}{6} + \frac{0.22667121}{18} \\ < 1.000000 + 0.690000 + 0.238050 + 0.054752 + 0.012593 \\ = 1.995395 \\ < 2 \end{aligned}$

$\ln 2 > 0.692$

$e^{0.002} < 1 + \frac{0.002}{1!} + \frac{{0.002}^{2}}{1! \cdot 1} = 1.002004$
$e^{0.692} < 1.995395 (1 + 0.002004) < 1.995395 + 2 \cdot 0.002004 = 1.999403 < 2$

$0 < x$ のとき、
$1 + 0.0005766 x < x ¢$
が成り立つ。

$0.692 / 1200 = 0.00057666 \dots$

$0 < x < 100$ のとき、
$x ¢ < 1 + 0.0006 x$
が成り立つ。

$x = 0$ のとき両辺は等しい。 $x ¢$ は下に凸なので、 $x = 100$ のときこの式が成り立つことを示せばよい。
$\begin{aligned} (1 + 0.06)^{12} & = 1 + 0.06 \cdot 12 + 0.0036 \cdot 66 + 0.000216 \cdot 220 \\ = 1 + 0.72 + 0.2376 + 0.047520 \\ = 2.005120 \\ > 2 \end{aligned}$
であるから両辺の $12$ 乗根を取ることで示された。(Q.E.D.)

$701.894 ¢ < \frac{3}{2} < 701.974 ¢$ である。

$\frac{3^{12}}{2^{19}} = \frac{531441}{524288} = 1 + \frac{7153}{524288} = 1.01364 \dots$ である。
$0.01365 / 0.0005766 < 23.68$
$0.01364 / 0.0006 > 22.73$
なので、
$2^{19 + \frac{22.73}{1200}} < 3^{12} < 2^{19 + \frac{23.68}{1200}}$
がわかる。したがって、
$701.894 ¢ < \frac{3}{2} < 701.974 ¢$
を得る。

$386.13 ¢ < \frac{5}{4} < 386.67 ¢$ である。

$2 / {(\frac{5}{4})}^{3} = \frac{128}{125} = 1.024$ である。
$0.024 / 0.0005766 < 41.63$
$0.024 / 0.0006 = 40.00$
なので、
$2^{1 - \frac{41.63}{1200}} < {(\frac{5}{4})}^{3} < 2^{1 - \frac{40.00}{1200}}$
がわかる。したがって、
$386.13 ¢ < \frac{5}{4} < 386.67 ¢$
を得る。

$968.861 ¢ < \frac{7}{4} < 968.896 ¢$

$\frac{7^{5}}{2^{14}} = \frac{16807}{16384} = 1 + \frac{423}{16384} = 1.02581 \dots$ である。
$0.02582 / 0.0005766 < 44.78$
$0.02581 / 0.0006 = 43.01$
なので、
$2^{14 + \frac{43.01}{1200}} < 7^{5} < 2^{14 + \frac{44.78}{1200}}$
がわかる。したがって、
$968.861 ¢ < \frac{6}{4} < 968.896 ¢$
を得る。

$550.952 ¢ < \frac{11}{8} < 551.552 ¢$

$\frac{11^{2}}{120} = \frac{121}{120} = 1 + \frac{1}{120} = 1.008333 \dots$ である。
$0.008333 \dots / 0.0005766 < 14.46$
$0.008333 \dots / 0.0006 > 13.88$
なので、
$(8 \cdot 2^{1} \cdot 2^{2}) \cdot (701.894 + 386.13 + 13.88) ¢ = 2^{6} \cdot 1101.904 ¢ < 121$
$(8 \cdot 2^{1} \cdot 2^{2}) \cdot (701.974 + 386.67 + 14.46) ¢ = 2^{6} \cdot 1103.104 ¢ > 121$
がわかる。したがって、
$550.952 ¢ < \frac{11}{8} < 551.552 ¢$
を得る。

$840.337 ¢ < \frac{13}{8} < 840.600 ¢$

$\frac{13^{2}}{168} = \frac{169}{168} = 1 + \frac{1}{168} < 1.005952 \dots$ である。
$0.005953 / 0.0005766 < 10.33$
$0.005952 / 0.0006 > 9.92$
なので、
$(8 \cdot 2^{1} \cdot 2^{2}) \cdot (701.894 + 968.861 + 9.92) ¢ = 2^{6} \cdot 1680.675 ¢ < 169$
$(8 \cdot 2^{1} \cdot 2^{2}) \cdot (701.974 + 968.896 + 10.33) ¢ = 2^{6} \cdot 1681.20 ¢ > 169$
がわかる。したがって、
$840.337 ¢ < \frac{13}{8} < 840.600 ¢$
を得る。

ここまでの結果をまとめます。

$701.894 ¢ < \frac{3}{2} < 701.974 ¢$
$386.13 ¢ < \frac{5}{4} < 386.67 ¢$
$968.861 ¢ < \frac{7}{4} < 968.896 ¢$
$550.952 ¢ < \frac{11}{8} < 551.552 ¢$
$840.337 ¢ < \frac{13}{8} < 840.600 ¢$

また、次の結果が得られます。

定理7

$203.788 ¢ < \frac{9}{8} < 203.948 ¢$

マイナスのセントを計算するのに役に立つ補題です。

任意の $0 < α < 1$ に対し、 $\frac{1}{1 + α} < 1 - α + α^{2}$ が成り立つ。

$0 < α < 1$ なので、無限級数
$1 - α + α^{2} - α^{3} + α^{4} - \dots$
は絶対収束する。よって、以下のような不等式評価ができる。
$\begin{aligned} \frac{1}{1 + α} & = 1 - α + α^{2} - α^{3} + α^{4} - \dots \\ = 1 - α + α^{2} - α^{3} (1 - α + \dots) \\ = 1 - α + α^{2} - \frac{α^{3}}{1 + α} \\ < 1 - α + α^{2} \end{aligned}$

$I_{1}$

$\frac{1}{8}$ 単位で計算し直します。数式だけ書くので何をやっているか察してください。

$f (15 / 8) < (- 1088.024 \cdot 15 / 8) ¢ = (- 2040.045) ¢ = \frac{1}{4} \cdot 359.955 ¢ < \frac{5}{16} \cdot (- 26.715) ¢ < \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{1.015403} < \frac{5}{16} \cdot 0.984835 < 0.307761$
$f (14 / 8) < (- 968.861 \cdot 14 / 8) ¢ < (- 1695.506) ¢ = \frac{1}{4} \cdot 704.494 ¢ < \frac{3}{8} \cdot 2.520 ¢ < \frac{3}{8} \cdot 1.001512 = 0.375567$
$f (13 / 8) < (- 840.337 \cdot 13 / 8) ¢ < (- 1365.547) ¢ = \frac{1}{4} \cdot 1034.453 ¢ < \frac{7}{16} \cdot 65.592 ¢ < \frac{7}{16} \cdot 1.039356 < 0.454719$
$f (12 / 8) < (- 701.894 \cdot 12 / 8) ¢ < (- 1052.841) ¢ = \frac{1}{2} \cdot 147.159 ¢ < \frac{9}{16} \cdot (- 56.629) ¢ < \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{1.032652} < \frac{9}{16} \cdot 0.968414 < 0.544733$
$f (11 / 8) < (- 550.952 \cdot 11 / 8) ¢ = (- 757.559) ¢ = \frac{1}{2} \cdot 442.441 ¢ < \frac{5}{8} 56.311 ¢ < \frac{5}{8} \cdot 1.033787 < 0.646117$
$f (10 / 8) < (- 386.13 \cdot 10 / 8) ¢ < (- 482.662) ¢ = \frac{1}{2} \cdot 717.338 ¢ < \frac{3}{4} 15.444 ¢ < \frac{3}{4} \cdot 1.009267 < 0.756951$
$f (9 / 8) < (- 203.788 \cdot 9 / 8) ¢ < (- 229.261) ¢ = \frac{1}{2} \cdot 970.739 ¢ < \frac{7}{8} 1.878 ¢ < \frac{7}{8} \cdot 1.001127 < 0.875987$

$(1.000000 + 0.250000) / 2 = 0.625000$
$0.625000 + 0.307761 + 0.375567 + 0.454719 + 0.544733 + 0.646117 + 0.756951 + 0.875987 = 4.586835$
$4.586835 / 8 < 0.573355$

分割	一	分	厘	毛	糸	忽	微
$I_{6 +}$						3
$I_{5}$					1	7	5
$I_{4}$				1	7	0	5
$I_{3}$			1	6	9	8
$I_{2}$		1	2	1	6
$I_{1}$		5	7	3	3	5	5
$I_{0}$	1	3	3	9	2
合計	2	0	5	3	0	4	5

$I_{2}$ ～ $I_{4}$

$I_{2}$ ～ $I_{4}$ も高精度で計算しなおします。

$f (11 / 4) < (- 1750.952 \cdot 11 / 4) ¢ < (- 4815.118) ¢ = \frac{1}{16} \cdot (- 15.118) ¢ < \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{1.008717} < \frac{1}{16} \cdot 0.991359 < 0.061960$
$f (10 / 4) < (- 1586.13 \cdot 10 / 4) ¢ < (- 3965.32) ¢ = \frac{1}{16} \cdot (834.68) ¢ < \frac{13}{128} \cdot (- 5.657) ¢ < \frac{13}{128} \cdot \frac{1}{1.003261} < \frac{13}{128} \cdot 0.996750 < 0.101233$
$f (9 / 4) < (- 1403.788 \cdot 9 / 4) ¢ < (- 3158.523) ¢ = \frac{1}{8} \cdot (441.477) ¢ < \frac{5}{32} \cdot (55.347) ¢ < \frac{5}{32} \cdot 1.033209 < 0.161439$
$f (12 / 4) = \frac{1}{27} = 0.037037037 \dots$ であるから

$(f (8 / 4) + f (12 / 4)) / 2 < 0.143519$
$I_{2} < (0.143519 + 0.061960 + 0.101233 + 0.161439) / 4 = 0.468151 / 4 < 0.117038$

半整数乗の場合はセントの計算より開平法を行う方が高い精度で計算できます。

$\sqrt{3.5} = 1.870828 \dots$ であるから

$f (4) = \frac{1}{256} = 0.00390625$
$\frac{1}{f (3.5)} > {3.5}^{3} \cdot 1.870828 = 42.875 \cdot 1.870828 > 80.2117$
$f (3.5) < 1 / 80.2117 < 0.012468$
$(f (3) + f (4)) / 2 < 0.020472$
$I_{3} < (0.020472 + 0.012468) / 2 = 0.016470$

$\sqrt{4.5} = 1.5 \sqrt{2} = 2.121320 \dots$ であるから

$f (5) = \frac{1}{3125} = 0.00032$
$\frac{1}{f (4.5)} > {4.5}^{4} \cdot 2.121320 = 410.0625 \cdot 2.121320 > 869.873$
$f (4.5) < 1 / 869.873 < 0.001150$
$(f (4) + f (5)) / 2 < 0.002114$
$I_{4} < (0.002114 + 0.001150) / 2 = 0.001632$

分割	一	分	厘	毛	糸	忽	微
$I_{6 +}$						3
$I_{5}$					1	7	5
$I_{4}$				1	6	3	2
$I_{3}$			1	6	4	7
$I_{2}$		1	1	7	0	3	8
$I_{1}$		5	7	3	3	5	5
$I_{0}$	1	3	3	9	2
合計	2	0	4	7	9	0	0

$I_{0}$

$I_{0}$ を直接計算するのは難しいですが、このような定理が知られています。

二年生の夢

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{x}} d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}}$

証明は級数展開により行います。

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{x}} d x & = \int_{0}^{1} e^{- x \ln x} d x \\ = \int_{0}^{1} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- x \ln x)^{n}}{n!} d x \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} (- x \ln x)^{n} d x \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{- \infty}^{0} (- t e^{t})^{n} e^{t} d t (x = e^{t}) \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n!} \int_{- \infty}^{0} t^{n} e^{(n + 1) t} d t \dots (*) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{- \infty}^{0} t^{n} e^{(n + 1) t} d t & = \int_{- \infty}^{0} t^{n} {(\frac{1}{n + 1} e^{(n + 1) t})}^{'} d t \\ = {[t^{n} \cdot \frac{1}{n + 1} e^{(n + 1) t}]}_{- \infty}^{0} - \frac{n}{n + 1} \int_{- \infty}^{0} t^{n - 1} e^{(n + 1) t} d t \\ = - \frac{n}{n + 1} \int_{- \infty}^{0} t^{n - 1} e^{(n + 1) t} d t \\ = (- 1)^{2} \frac{n \cdot (n - 1)}{(n + 1)^{2}} \int_{- \infty}^{0} t^{n - 2} e^{(n + 1) t} d t \\ = \dots \\ = (- 1)^{n} \frac{n!}{(n + 1)^{n}} \int_{- \infty}^{0} t^{0} e^{(n + 1) t} d t & = (- 1)^{n} \frac{n!}{(n + 1)^{n + 1}} \end{aligned}$

よって

$\begin{aligned} (*) & = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{(- 1)^{n}}{n!} \cdot (- 1)^{n} \cdot \frac{n!}{(n + 1)^{n + 1}}) \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{2 n}}{(n + 1)^{n + 1}} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}} \end{aligned}$
(Q.E.D.)

これにより、 $I_{0}$ は以下のように計算できます。これらの計算は、それまでの計算より極めて簡単です。

$\begin{aligned} \frac{1}{1^{1}} & = 1.0000000 \\ \frac{1}{2^{2}} & = 0.2500000 \\ \frac{1}{3^{3}} & < 0.0370371 \\ \frac{1}{4^{4}} & < 0.0039063 \\ \frac{1}{5^{5}} & = 0.0003200 \\ \frac{1}{6^{6}} & < 0.0000215 \\ \frac{1}{7^{7}} & < 0.0000013 \end{aligned}$

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(8 + n)^{8 + n}} < \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{8^{8 + n}} < \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{8^{8} \cdot 2^{n}} = \frac{2}{8^{8}} < \frac{2}{10^{9}} < 10^{- 7}$

よって

$I_{0} < 1.291287$

なのでここまでの評価を合計すると

分割	一	分	厘	毛	糸	忽	微
$I_{6 +}$						3
$I_{5}$					1	7	5
$I_{4}$				1	6	3	2
$I_{3}$			1	6	4	7
$I_{2}$		1	1	7	0	3	8
$I_{1}$		5	7	3	3	5	5
$I_{0}$	1	2	9	1	2	8	7
合計	1	9	9	9	9	8	7

よって

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{x}} < 1.999987 < 2$

が示されました！！！

おわりに

なんだこのデウスエクスマキナはと思ったかもしれませんが、許してください。こうしないと、 $I_{0}$ を求めるのに $128$ 分割が必要になり、この記事が数表で埋まってしまいます。

!FORMULA[307][-1423178686][0]は!FORMULA[308][1061861822][0]分割では足りない $I_{0}$ は $64$ 分割では足りない

謝辞

$I_{0}$ を求める手法(二年生の夢)を教えていただいたmathphilia様に感謝いたします。

投稿日：2024年5月3日

更新日：2024年5月5日

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nayuta_ito

∫_0^∞ 1/x^x dx < 2を多量の計算で示す

注意
問題
準備
二進対数の近似値
補題の証明
証明
最初の試み
高精度の試み
超高精度の計算
おわりに
謝辞

∫_0^∞ 1/x^x dx < 2を多量の計算で示す

注意

問題

準備

二進対数の近似値

補題の証明

証明

最初の試み

高精度の試み

I6+

I5

I4

I3

I2

I1

I0

超高精度の計算

I1

I2～I4

I0

おわりに

謝辞

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$I_{6 +}$

$I_{5}$

$I_{4}$

$I_{3}$

$I_{2}$

$I_{1}$

$I_{0}$

$I_{1}$

$I_{2}$ ～ $I_{4}$

$I_{0}$