風車の力学系
はじめに
Windmill problem
を見るとわかりやすいです
あと証明はしません
本題
まず風車を定義します。風車という名前は私が勝手に呼んでいるだけなので他では違う名前かもしれません。
平面上に点をn点とる。その中から回転軸となる点を一つと向きを決める。回転軸を通るその向きの直線をSとする。
次の操作を風車とする。
1.回転軸を中心にSを回転させる
2.最初にぶつかる点を回転軸とする
3.その点からまた時計回りに回転させる
これを繰り返す
この操作の回転軸の移動を点から点の写像とする。
この写像の反復での点の軌道を考えることを風車の力学系とここでは言うことにする。
ここで急ではあるが、平面上の点を有向辺で結ぶことを考える。全ての二点の点の組に対して両方の向きの有向辺がある状態をその点の配置をNとした時$K_N$とかくことにする。
次の定義を見るとなぜこの話をしたかわかるかも
風車で写された二つの点を次のように辺で結ぶ
点a.bが風車でaからbに写された時$f:a→b$と書く
$f:a→b$を$a→b$となるように有向辺で結ぶ
点aから風車を反復してできた点の軌道全体の集合を$O_a$とかく
点aから風車を反復してできた点の軌道全体を有向辺で結んだ物を$G_a$とかく
次の命題を考える。
平面の点の配置をNとする。任意のNの点$a_i$について
$K_N=G_{a_1}\cup G_{a_2}\cup…\cup G_{a_j}$
となるか？
この命題は任意の点がその点以外の点全てと有向辺で結ばれることを示せばいい。私は証明できなかった。
色々命題が作れるが、そもそもなぜ風車の話をしているかを話します。
とは言っても次ぐらいの記事で使いたいので作っただけなんですけですが、もう一つの理由は最初に上げた動画では風車を使った数オリの問題が解説されてますがそれ以外にももっと奥が深そうと思ったので記事にしました。最後に研究課題みたいなのを上げて終わります
平面の点の配置をNとする。
$K_N=G_{a_1}\cup G_{a_2}\cup…\cup G_{a_j}$
$\varnothing=G_{a_1}\cap G_{a_2}\cap…\cap G_{a_j}$
となるNの点$a_i$が一意に存在しますか？
