A3数列対応表

対応を期待する順序数の表です。
$m \in \mathbb{N}$です。$\phi(a,b)$はヴェブレン関数です。
イプシロン数で書いたほうが見やすかったかもしれません。
\begin{align*} (0_1) &\approx \varphi(1,0) \\ (0_1,0_0,0_1) &\approx \varphi(1,0)\times 2 \\ (0_1,0_0,0_1,0_0,0_1) &\approx \varphi(1,0)\times 3 \\ (0_1,1_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+1) \\ (0_1,1_0,0_0,0_1,1_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+1)\times 2 \\ (0_1,1_0,0_0,0_1,1_0,0_0,0_1,1_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+1)\times 3 \\ (0_1,1_0,1_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+2) \\ (0_1,1_0,1_0,1_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+3) \\ (0_1,1_0,2_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,1)) \\ (0_1,1_0,2_0,1_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,1)+1) \\ (0_1,1_0,2_0,1_0,1_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,1)+2) \\ (0_1,1_0,2_0,1_0,1_0,1_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,1)+3) \\ (0_1,1_0,2_0,1_0,2_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,1)\times 2) \\ (0_1,1_0,2_0,1_0,2_0,1_0,2_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,1)\times 3) \\ (0_1,1_0,2_0,2_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,2)) \\ (0_1,1_0,2_0,2_0,1_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,2)+1) \\ (0_1,1_0,2_0,2_0,1_0,2_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,2)+\varphi(0,1)) \\ (0_1,1_0,2_0,2_0,1_0,2_0,2_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,2)\times 2) \\ (0_1,1_0,2_0,2_0,1_0,2_0,2_0,1_0,2_0,2_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,2)\times 3) \\ (0_1,1_0,2_0,2_0,2_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,3)) \\ (0_1,1_0,3_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,\varphi(0,1))) \\ (0_1,1_0,0_1) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)\times 2) \\ (0_1,1_0,0_1,1_0,0_1) &\approx \varphi(0,\varphi(1,0)\times 3) \\ (0_1,2_0) &\approx \varphi(0,\varphi(0,\varphi(1,0)+1)) \\ (0_1,2_0,1_0) &\approx \varphi(0,\varphi(0,\varphi(1,0))+1) \\ (0_1,2_0,2_0) &\approx \varphi(0,\varphi(0,\varphi(1,0)+1)) \\ (0_1,2_0,3_0) &\approx \varphi(0,\varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,1))) \\ (0_1,2_0,0_1) &\approx \varphi(0,\varphi(0,\varphi(1,0)\times 2)) \\ (0_1,2_0,0_1,2_0,0_1) &\approx \varphi(0,\varphi(0,\varphi(1,0)\times 3)) \\ (0_1,3_0) &\approx \varphi(0,\varphi(0,\varphi(0,\varphi(1,0)+1))) \\ (0_1,0_1) &\approx \varphi(1,1) \\ (0_1,0_1,0_1) &\approx \varphi(1,2)\\ (1_1) &\approx \varphi(1,\varphi(0,1)) \\ (1_1,0_1) &\approx \varphi(0,\varphi(1,\varphi(0,1))+1) \\ (1_1,1_0,2_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,\varphi(0,1))+\varphi(0,1)) \\ (1_1,1_0,3_0) &\approx \varphi(0,\varphi(1,\varphi(0,1))+\varphi(0,\varphi(0,1))) \\ (1_1,1_0,0_1) &\approx \varphi(0,\varphi(1,\varphi(0,1))+\varphi(1,0)) \\ (1_1,1_0,0_1,0_1) &\approx \varphi(0,\varphi(1,\varphi(0,1))+\varphi(1,1)) \\ (1_1,1_0,0_1,0_1,0_1) &\approx \varphi(0,\varphi(1,\varphi(0,1))+\varphi(1,2)) \\ (1_1,1_0,1_1) &\approx \varphi(0,\varphi(1,\varphi(0,1)) \times 2) \\ (1_1,1_0,1_1,1_0,1_1) &\approx \varphi(0,\varphi(1,\varphi(0,1)) \times 3) \\ (1_1,2_0) &\approx \varphi(0,\varphi(0,\varphi(1,\varphi(0,1))+1)) \\ (1_1,3_0) &\approx \varphi(0,\varphi(0,\varphi(0,\varphi(1,\varphi(0,1))+1))) \\ (1_1,0_1) &\approx \varphi(1,\varphi(0,1)+1) \\ (1_1,0_1,1_1) &\approx \varphi(1,\varphi(0,1)\times 2) \\ (1_1,0_1,1_1,0_1,1_1) &\approx \varphi(1,\varphi(0,1)\times 3) \\ (1_1,1_1) &\approx \varphi(1,\varphi(0,2)) \\ (1_1,1_1,1_1) &\approx \varphi(1,\varphi(0,3)) \\ (2_1) &\approx \varphi(1,\varphi(0,\varphi(0,1))) \\ (3_1) &\approx \varphi(1,\varphi(0,\varphi(0,\varphi(0,1)))) \\ (0_2) &\approx \varphi(1,\varphi(1,0)) \\ (0_3) &\approx \varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,0))) \\ (0_m) &\approx \varphi(1,\ldots ,\varphi(1,0)\ldots) (m個)\\ よって極限は(0_n) &\approx \varphi(2,0)=\zeta_0 \end{align*}