虚空間に位置を持つベクトルの内積と外積について

虚空間に位置を持つベクトルの内積と外積は以下の定義が適当かと……。

虚空間に位置を持つベクトルの内積

$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} ξ_{1}i \\ η_{1}i \\ ζ_{1}i \end{array} \right) \end{eqnarray} $$・$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} ξ_{2}i \\ η_{2}i \\ ζ_{2}i \end{array} \right) \end{eqnarray} $$=ξ_{1}ξ_{2}+η_{1}η_{2}+ζ_{1}ζ_{2} $

虚空間に位置を持つベクトルの外積

$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} ξ_{1}i \\ η_{1}i \\ ζ_{1}i \end{array} \right) \end{eqnarray} $$\times$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} ξ_{2}i \\ η_{2}i \\ ζ_{2}i \end{array} \right) \end{eqnarray} $$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} (η_{1}ζ_{2}-ζ_{1}η_{2})i \\ (ζ_{1}ξ_{2}-ξ_{1}ζ_{2})i \\ (ξ_{1}η_{2}-η_{1}ξ_{2})i \end{array} \right) \end{eqnarray} $