自作のクソキショ積分

\begin{align*} I&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{128\cos{x}\left\{\pi^x(\sin^2{x}-x^5-x^3-x)+\cos^2{x}-x^5-x^3-x\right\}}{\left(1+\pi^x\right)(\cos{8x}-8\cos{6x}+44\cos{4x}-120\cos{2x}+211)}dx\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{128\cos{x}\left\{\pi^{-x}(\sin^2{x}+x^5+x^3+x)+\cos^2{x}+x^5+x^3+x\right\}}{\left(1+\pi^{-x}\right)(\cos{8x}-8\cos{6x}+44\cos{4x}-120\cos{2x}+211)}dx\quad\because \text{king\:property}\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{128\cos{x}\left\{\pi^x(\cos^2{x}+x^5+x^3+x)+\sin^2{x}+x^5+x^3+x\right\}}{\left(1+\pi^x\right)(\cos{8x}-8\cos{6x}+44\cos{4x}-120\cos{2x}+211)}dx\\ 2I&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{128\cos{x}\left\{\pi^x(\sin^2{x}-x^5-x^3-x)+\cos^2{x}-x^5-x^3-x\right\}}{\left(1+\pi^x\right)(\cos{8x}-8\cos{6x}+44\cos{4x}-120\cos{2x}+211)}dx\\ &\quad\quad+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{128\cos{x}\left\{\pi^x(\cos^2{x}+x^5+x^3+x)+\sin^2{x}+x^5+x^3+x\right\}}{\left(1+\pi^x\right)(\cos{8x}-8\cos{6x}+44\cos{4x}-120\cos{2x}+211)}dx \end{align*}
ここで、二つとも分母が揃っていることを利用して、分子にだけ注目します。
\begin{align*} &128\cos{x}\left\{\pi^x(\sin^2{x}-x^5-x^3-x)+\cos^2{x}-x^5-x^3-x\right\}\\ &\quad\quad+128\cos{x}\left\{\pi^x(\cos^2{x}+x^5+x^3+x)+\sin^2{x}+x^5+x^3+x\right\} \end{align*}
$128\cos{x}$で括り、中身を$\pi^x$で括ります。
\begin{align*} &128\cos{x}\left\{\pi^x(\sin^2{x}+\cos^2{x})+\sin^2{x}+\cos^2{x}\right\}\\ &=128\cos{x}(\pi^x+1) \end{align*}
まあ、なんてきれいなんでしょう。素晴らしい悪問ですね！
この結果を積分に適用すると、
\begin{align*} 2I&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{128\cos{x}\left(1+\pi^x\right)}{\left(1+\pi^x\right)(\cos{8x}-8\cos{6x}+44\cos{4x}-120\cos{2x}+211)}dx\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{128\cos{x}}{\cos{8x}-8\cos{6x}+44\cos{4x}-120\cos{2x}+211}dx \end{align*}
$\text{king\:property}$のおかげで指数関数が消えました。さて、次にやることは何だったか。そう。チェビシェフ多項式で$\cos{nx}$をばらすんでしたね！一応今回必要なチェビシェフ多項式を導出しましょう。せっかくなら少し遊んで導出してみましょうか^^

\begin{align*} \cos{x}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \end{align*}
のため、
\begin{align*} \cos^2{x}&=\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}+2}{4}\\ &=\frac{1}{2}\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}+\frac{1}{2}\\ &=\frac{1}{2}\cos{2x}+\frac{1}{2}\\ \therefore\cos{2x}&=2\cos^2{x}-1 \end{align*}
同様に$,\cos{4x},\cos{6x},\cos{8x}$も導出する。
\begin{align*} \cos^4{x}&=\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}+4\left(e^{2ix}+e^{-2ix}\right)+6}{16}\\ &=\frac{1}{8}\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}+\frac{1}{2}\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}+\frac{3}{8}\\ &=\frac{1}{8}\cos{4x}+\frac{1}{2}\cos{2x}+\frac{3}{8}\\ &=\frac{1}{8}\cos{4x}+\cos^2{x}-\frac{1}{8}\\ \therefore \cos{4x}&=8\cos^4{x}-8\cos^2{x}+1 \end{align*}
\begin{align*} \cos^6{x}&=\frac{e^{6ix}+e^{-6ix}+6\left(e^{4ix}e^{-4ix}\right)+15\left(e^{2ix}+e^{-2ix}\right)+20}{64}\\ &=\frac{1}{32}\frac{e^{6ix}+e^{-6ix}}{2}+\frac{3}{16}\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}+\frac{15}{32}\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}+\frac{5}{16}\\ &=\frac{1}{32}\cos{6x}+\frac{3}{16}\cos{4x}+\frac{15}{32}\cos{2x}+\frac{5}{16}\\ &=\frac{1}{32}\cos{6x}+\frac{3}{2}\cos^4{x}-\frac{9}{16}\cos^2{x}+\frac{1}{32}\\ \therefore \cos{6x}&=32\cos^6{x}-48\cos^4{x}+18\cos^2{x}-1 \end{align*}
\begin{align*} \cos^8{x}&=\frac{e^{8ix}+e^{-8ix}+8\left(e^{6ix}+e^{-6ix}\right)+28\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)+56\left(e^{2ix}+e^{-2ix}\right)+70}{256}\\ &=\frac{1}{128}\frac{e^{8ix}+e^{-8ix}}{2}+\frac{1}{16}\frac{e^{6ix}+e^{-6ix}}{2}+\frac{7}{32}\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}+\frac{7}{16}\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}+\frac{35}{128}\\ &=\frac{1}{128}\cos{8x}+\frac{1}{8}\cos{6x}+\frac{7}{32}\cos{4x}+\frac{7}{16}\cos{2x}+\frac{35}{128}\\ &=\frac{1}{128}\cos{8x}+2\cos^6{x}-\frac{5}{4}\cos^4{x}+\frac{1}{4}\cos^2{x}-\frac{1}{128}\\ \therefore \cos{8x}&=128\cos^8{x}-256\cos^6{x}+160\cos^4{x}-32\cos^2{x}+1 \end{align*}
個人的には好きだけど、計算量が多くて大変ですね。

さて、
だいぶ長いこと遊んでしまいましたね()
では積分の分母をさっきの多項式でばらしましょう！
\begin{align*} &\cos{8x}-8\cos{6x}+44\cos{4x}-120\cos{2x}+211\\ &=128\cos^8{x}-256\cos^6{x}+160\cos^4{x}-32\cos^2{x}+1\\ &\quad-8(32\cos^6{x}-48\cos^4{x}+18\cos^2{x}-1)\\ &\quad+44(8\cos^4{x}-8\cos^2{x}+1)\\ &\quad-120(2\cos^2{x}-1)\\ &\quad+211\\ &=128\cos^8{x}+\cos^6{x}(-256-256)+\cos^4{x}(160+384+352)\\ &\quad+\cos^2{x}(-32-144-352-240)+384\\ &=128(\cos^8{x}-4\cos^6{x}+7\cos^4{x}-6\cos^2{x}+3) \end{align*}
なぜか全部$128$で括れるんですね。不思議～(すっとぼけ)
ではこれを用いて積分を変形しましょう。
\begin{align*} 2I&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{128\cos{x}}{\cos{8x}-8\cos{6x}+44\cos{4x}-120\cos{2x}+211}dx\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{128\cos{x}}{128(\cos^8{x}-4\cos^6{x}+7\cos^4{x}-6\cos^2{x}+3)}dx\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{\cos^8{x}-4\cos^6{x}+7\cos^4{x}-6\cos^2{x}+3}dx\\ I&=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{\cos^8{x}-4\cos^6{x}+7\cos^4{x}-6\cos^2{x}+3}dx \end{align*}
さて、だいぶさっぱりしましたね。次にするのは部分分数分解ですが、その前にひと手間必要です。ヒントは微分形の接触と$\cos^2{x}=1-\sin^2{x}$　そう、分母を$\sin{x}$に書き換えて$\sin{x}=u$と置くんですね！完璧。では分母を再び変形していきましょう。
\begin{align*} &\cos^8{x}-4\cos^6{x}+7\cos^4{x}-6\cos^2{x}+3\\ &=(1-\sin^2{x})^4-4(1-\sin^2{x})^3+7(1-\sin^2{x})^2-6(1-\sin^2{x})+3\\ &=\sin^8{x}-4\sin^6{x}+6\sin^4{x}-4\sin^2{x}+1\\ &\quad\quad\quad\quad\:+4\sin^6{x}-12\sin^4{x}+12\sin^2{x}-4\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:\:\:+7\sin^4{x}-14\sin^2{x}+7\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad+6\sin^2{x}-6\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:+3\\\\ &=\sin^8{x}+\sin^4{x}+1 \end{align*}
バグみたいにきれいになりましたね。このための係数調整マジで大変でした()
ではこれを使って積分を変形し、$\sin{x}=u$としましょう！
\begin{align*} I&=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{\cos^8{x}-4\cos^6{x}+7\cos^4{x}-6\cos^2{x}+3}dx\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{\sin^8{x}+\sin^4{x}+1}dx\\ &=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^8+u^4+1}du\quad\because \sin{x}=u \end{align*}
偶関数ですが、積分区間はまだ畳まないでおきましょう。後でわかります。
さて、次にやることは部分分数分解です。とりあえず分母を因数分解しましょう。すると、$x^8+x^4+1=(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)$とわかる。これを使いましょう。係数を求める過程は省略します。(部分分数分解の簡単な部類なので)実際に計算すると、
\begin{align*} \frac{1}{u^8+u^4+1}=\frac{1}{2}\frac{u^2+1}{u^4+u^2+1}-\frac{1}{2}\frac{u^2-1}{u^4-u^2+1} \end{align*}
のため、積分は
\begin{align*} I&=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^8+u^4+1}du\\ &=\frac{1}{4}\int_{-1}^{1}\frac{u^2+1}{u^4+u^2+1}du-\frac{1}{4}\int_{-1}^{1}\frac{u^2-1}{u^4-u^2+1}du\\ &=\frac{1}{4}I_1-\frac{1}{4}I_2 \end{align*}
このまま二つの積分を同時に計算するのは読者殺しになるので分けましょう。では$ I_1$から。
\begin{align*} I_1&=\int_{-1}^{1}\frac{u^2+1}{u^4+u^2+1}du\\ &=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\frac{2u^2+2}{u^4+u^2+1}du\\ &=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\frac{(u^2+u+1)+(u^2-u+1)}{(u^2+u+1)(u^2-u+1)}du\\ &=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2+u+1}du+\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2-u+1}du\\ &=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2+u+1}du+\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\frac{1}{y^2+y+1}dy\quad\because u=-y\\ &=\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2+u+1}du\\ &=\int_{-1}^{1}\frac{1}{\left(u+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}du\\ &=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{\frac{3}{4}(\tan^2{\theta}+1)}\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\cos^2{\theta}}d\theta\quad\because u+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan{\theta}\\ &=\frac{4}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\\ &=\frac{2}{\sqrt{3}}\left[\theta\right]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\\ &=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{\pi}{2}\\ &=\frac{\pi}{\sqrt{3}} \end{align*}
最初の変形が少しトリッキーかもしれませんが、おかげで計算量は丸ごとカットで半分になりましたね！
分母の因数と分子の形が似てるときは今回の変形を使うと楽できることもあるようです。
次は$I_2$の計算です。
\begin{align*} I_2&=\int_{-1}^{1}\frac{u^2-1}{u^4-u^2+1}du \end{align*}
残念ながらこの積分は先ほどのような変形で楽できません。なので部分分数分解です。
$u^4-u^2+1=\left(u^2+\sqrt{3}u+1\right)\left(u^2-\sqrt{3}u+1\right)$と因数分解できるため、これを用いましょう。計算の過程は省略します。部分分数分解の結果は
\begin{align*} \frac{u^2-1}{u^4-u^2+1}&=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\frac{u}{u^2+\sqrt{3}u+1}+\frac{u}{u^2-\sqrt{3}u+1}\right)\\ &\quad-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u^2+\sqrt{3}u+1}+\frac{1}{u^2-\sqrt{3}u+1}\right) \end{align*}
よって積分は、
\begin{align*} I_2&=\int_{-1}^{1}\frac{u^2-1}{u^4-u^2+1}du\\ &=-\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\int_{-1}^{1}\frac{u}{u^2+\sqrt{3}u+1}du-\int_{-1}^{1}\frac{u}{u^2-\sqrt{3}u+1}du\right)\\ &\quad\quad-\frac{1}{2}\left(\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2+\sqrt{3}u+1}du+\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2-\sqrt{3}u+1}du\right) \end{align*}
ここで、かっこのそれぞれの二項目に$\text{king\:property}$を施してみる。すると、
\begin{align*} I_2&=-\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\int_{-1}^{1}\frac{u}{u^2+\sqrt{3}u+1}du-\int_{-1}^{1}\frac{u}{u^2-\sqrt{3}u+1}du\right)\\ &\quad\quad-\frac{1}{2}\left(\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2+\sqrt{3}u+1}du+\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2-\sqrt{3}u+1}du\right)\\ &=-\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\int_{-1}^{1}\frac{u}{u^2+\sqrt{3}u+1}du+\int_{-1}^{1}\frac{u}{u^2+\sqrt{3}u+1}du\right)\\ &\quad\quad-\frac{1}{2}\left(\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2+\sqrt{3}u+1}du+\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2+\sqrt{3}u+1}du\right)\\ &=-\frac{2}{\sqrt{3}}\int_{-1}^{1}\frac{u}{u^2+\sqrt{3}u+1}du-\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2+\sqrt{3}u+1}du \end{align*}
と、このように計算量がまたしても実質半分になります。だが、まだサービスがあるんですね～。次に一項目で完全な微分形の接触を作ってみると、
\begin{align*} I_2&=-\frac{2}{\sqrt{3}}\int_{-1}^{1}\frac{u}{u^2+\sqrt{3}u+1}du-\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2+\sqrt{3}u+1}du\\ &=-\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{-1}^{1}\frac{2u+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{u^2+\sqrt{3}u+1}du-\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2+\sqrt{3}u+1}du\\ &=-\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{-1}^{1}\frac{2u+\sqrt{3}}{u^2+\sqrt{3}u+1}du+\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2+\sqrt{3}u+1}du-\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2+\sqrt{3}u+1}du\\ &=-\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{-1}^{1}\frac{2u+\sqrt{3}}{u^2+\sqrt{3}u+1}du \end{align*}
素晴らしいですね！なんと平方完成しなければいけない項が吹き飛びました！残った積分は微分形の接触が済んでるゲロクソ簡単な積分です。
\begin{align*} I_2&=-\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{-1}^{1}\frac{2u+\sqrt{3}}{u^2+\sqrt{3}u+1}du\\ &=-\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\ln\left(u^2+\sqrt{3}u+1\right)\right]_{-1}^{1}\\ &=-\frac{1}{\sqrt{3}}\left\{\ln\left(2+\sqrt{3}\right)-\ln\left(2-\sqrt{3}\right)\right\}\\ &=-\frac{1}{\sqrt{3}}\ln\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\ &=-\frac{2}{\sqrt{3}}\ln\left(2+\sqrt{3}\right) \end{align*}
やっと$I_2$も求まりましたね。最後にこれらから定まる$I$を計算しましょう！
\begin{align*} I&=\frac{1}{4}I_1-\frac{1}{4}I_2\\ &=\frac{\pi}{4\sqrt{3}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\left(2+\sqrt{3}\right) \end{align*}