競技数学解説

OMC対策（G分野：垂心に関する知識）

垂心,OMC,競技数学

本記事の前提知識

　垂心を知っていれば十分である．
　なお，垂心に関する構図は数多くあると思うが，本記事では「水レートを目指すならまずはこのくらい」というものだけ扱っている．

垂心の基本

　まず，次の $2$ つは最も基本的なものである．

性質１．共円について

　点 $H$ は $△ A B C$ の垂心である．
　このとき，共円である $4$ 点の組がいくつか存在する（例： $(A, F, H, E)$ は共円である）．　
　

（問題） $(A, F, H, E)$ が共円であることを示せ．また，そのような $4$ 点の組を，図からできるだけ多く発見せよ．

答え

∠ A F H + ∠ A E H = 180 °

から従う．
　他に

(B, D, H, F), (C, E, H, D), (A, B, D, E), (B, C, E, F), (C, A, F, D)

も共円である．

性質２．角度について

　図1中の，線分と線分によってできる全ての角度は， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ のみを使って表すことができる．

（問題）実際に確かめよ．

ヒント

　頂点

A, B, C

の周りの角は，全て

90 ° - ∠ X

という形をしている．
　頂点

D, E, F

の周りの角については，性質１を用いればよい（円周角の定理を用いよ）．

垂心に関する基礎知識

　「基礎」と書いてはみたが，競技数学における基礎知識である．受験数学でここまで求められることはまずないだろう．

垂心と外接円１

　 $△ A B C$ の垂心，外心をそれぞれ $H, O$ とする． $B C$ の中点を $M$ ， $A A^{'}$ が円 $O$ の直径となるような点を $A^{'}$ とする． $A H$ と線分 $B C$ ， $A$ を含まない方の円弧 $B C$ との交点をそれぞれ $D, H^{'}$ とする．このとき

点 $H, H^{'}$ は直線 $B C$ について対称な位置にある
点 $H, A^{'}$ は点 $M$ について対称な位置にある
点 $A^{'}, H^{'}$ は直線 $O M$ について対称な位置にある

　証明は角度追跡でできる．

垂心と外接円２

　 $△ A B C$ の垂心，外心をそれぞれ $H, O$ とし， $O A = R$ とする．
　このとき $A H = 2 R \cos A, B H = 2 R \cos B, C H = 2 R \cos C$ が成り立つ．

　証明は三角比の定義に従って計算すればよい．もちろん正弦定理も使う．

Euler線（オイラー線）

　 $△ A B C$ の外心，重心，垂心をそれぞれ $O, G, H$ とする．これらの $3$ 点はこの順に一直線上に並び，これをEuler線という． $O G : G H = 1 : 2$ である．

　証明は例えば高校数学の美しい物語を参照．

　まずはここまで知っておけばよいと思うが，追加でもう一つ挙げるなら九点円だろうか．

九点円（フォイエルバッハ円）

　 $△ A B C$ の垂心，外心をそれぞれ $H, O$ とする．次の $9$ 点は同一円周上に存在する．

$A H$ と $B C$ の交点， $B H$ と $C A$ の交点， $C H$ と $A B$ の交点
線分 $A H, B H, C H$ の中点
線分 $A B, B C, C A$ の中点
　その円を九点円（フォイエルバッハ円）と呼ぶ．円の中心は $O H$ の中点である．

　九点円の存在の証明は，中点連結定理を使うのは最も単純だろう．参考として Wikipedia ．

　ベクトルが得意であれば（Euler線を含めて）以下の説明も好まれるだろう.
　 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ とおくと， $\vec{O H} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ が成り立つことが知られている．
　さらに重心の性質から $\vec{O G} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ なので，Euler線の性質が従う．
　次に $9$ 点円である． $B C$ の中点， $A H$ の中点をそれぞれ $M_{1}, M_{2}$ とおくと，
　　 $\vec{O M_{1}} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}, \vec{O M_{2}} = \vec{a} + \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
であり，その中点は $\vec{O N} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2}$ となる．これは線分 $O H$ の中点に一致する．
　また， $A H$ と $B C$ の交点を $D$ と置くと， $∠ M_{1} D M_{2} = 90 °$ より，点 $D$ は $M_{1} M_{2}$ を直径とする円上に存在する．