色んな記事読んだ上での問題集

難易度と掲載順について

難易度は☆1〜☆8を基準にしています。☆1個の差はかなり大きめに取っており、☆3以上については必要に応じて「下位」「上位」まで分けています。

☆1と☆2については、そこまで細かく区別しません。

問題は難易度区分ごとにまとめていますが、同じ難易度区分の中での掲載順には特に意味はありません。今後の追加や入れ替えを考え、問題番号も付けていません。

難易度はあくまで目安です。得意な分野や解法との相性によって体感はかなり変わると思うので、気になった問題から挑戦してみてください。

解答・解説について

今のところ、このページに各問題の解答・解説を付ける予定はありません。

まずはぜひ、自分なりにじっくり考えてみてください。途中で行き詰まったときには、今ならAIに問題を見せてヒントをもらったり、自分の解答を確認してもらったりするのも一つの方法だと思います。

もちろん、AIの回答が必ず正しいとは限りません。特に難しい問題では誤った解答を出すこともあるので、最後は自分でも式や論理を確かめながら利用してみてください。

目次

☆1　　☆2

☆3　下位 ｜ 無印 ｜ 上位

☆4　下位 ｜ 無印 ｜ 上位

☆5　下位 ｜ 無印 ｜ 上位

☆6　下位 ｜ 無印 ｜ 上位

☆7　下位 ｜ 無印 ｜ 上位

☆8　下位 ｜ 無印 ｜ 上位

問題

実数$x,y$について、

$\displaystyle xy=1$

および

$\displaystyle x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0$

を満たす組$(x,y)$をすべて求めよ。

問題

$n\ge2$を満たす整数$n$と正の整数$t$について、$t\le n+2$であり、$n^2-t$が平方数であるとする。

組$(n,t)$をすべて求めよ。

問題

正の整数$n,a$について、

$\displaystyle n^2+6n+30=11^a$

を満たす組$(n,a)$をすべて求めよ。

問題

素数$a,b,c,d,e,f$について、

$\displaystyle a-b-8,\quad b-c-6,\quad c-d-10,\quad d-e-2,\quad e-f-4,\quad a+6$

がいずれも素数となるような組$(a,b,c,d,e,f)$をすべて求めよ。

問題

正の整数$m,n$について、

$\displaystyle m^3+3m^2+3m=n^3+13n^2+24n+11$

を満たす組$(m,n)$をすべて求めよ。

問題

正の整数$n$について、

$\displaystyle 28n^3+21n^2+7n$

は平方数となり得ないことを示せ。

問題

正の整数$m,n$について、

$\displaystyle m(m+2)=16n^3+88n^2+45n+5$

を満たす組$(m,n)$をすべて求めよ。

問題

正の整数$n$について、

$\displaystyle 9n^3+66n^2+114n+57$

が平方数となるような$n$をすべて求めよ。

問題

正の整数$m,n$について、

$\displaystyle m^4+6m^3+9m^2-1=n^3+19n^2+36n+17$

を満たす組$(m,n)$をすべて求めよ。

問題

座標平面上の25個の格子点

$\displaystyle (x,y)\qquad \left(x,y\in\{0,1,2,3,4\}\right)$

から、異なる5点$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$を順序を区別せず選ぶ。

5点$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$の重心を$G$とするとき、次の2条件をともに満たす選び方の総数を求めよ。

(i)　$G$は格子点である。

(ii)　$GP_1^2+GP_2^2+GP_3^2+GP_4^2+GP_5^2$は5の倍数である。

問題

$N$を2以上の整数とし、

$\displaystyle N=2^s q$

と表す。ただし、$s$は0以上の整数、$q$は正の奇数とする。

各項が0または1である$N$項の数列

$\displaystyle A=(a_0,a_1,\ldots,a_{N-1})$

に対し、

$\displaystyle T(A)=\left(\lvert a_0-a_1\rvert,\lvert a_1-a_2\rvert,\ldots,\lvert a_{N-2}-a_{N-1}\rvert,\lvert a_{N-1}-a_0\rvert\right)$

と定める。また、

$\displaystyle A^{(0)}=A,\qquad A^{(r+1)}=T\left(A^{(r)}\right)\qquad(r=0,1,2,\ldots)$

とする。

(1)　ある正の整数$r$に対して

$\displaystyle A^{(r)}=(0,0,\ldots,0)$

となるような$A$の個数を求めよ。

以下、$m$を正の整数とし、$N=2^m$とする。このとき、(1)より、任意の$A$に対して

$\displaystyle A^{(r)}=(0,0,\ldots,0)$

となる正の整数$r$が存在する。$A\ne(0,0,\ldots,0)$に対し、そのような$r$の最小値を$t(A)$とする。

(2)　$t(A)=N$であることと、$a_0,a_1,\ldots,a_{N-1}$のうち1に等しいものの個数が奇数であることが同値であることを示せ。

(3)　$1\le r\le N$を満たす各整数$r$について、$t(A)=r$となる$A$の個数を求めよ。

問題

正の整数$n$について、

$\displaystyle p^3+q^3+r^3=npqr$

を満たす素数の組$(p,q,r)$が無数に存在するような$n$をすべて求めよ。

問題

正の整数$c,m,r$（ただし$r\ge2$）で、以下を満たす組$(c,m,r)$をすべて求めよ。

任意の正の整数$n$について、

$\displaystyle n(n+1)(n+2)\cdots(n+m-1)+c$

が、ある正の整数の$r$乗となる。

問題

実数係数の多項式$f(x)$が、任意の正の整数$n$に対して、次の3つの数

$\displaystyle \int_0^n f(x)\,dx,$

$\displaystyle 2n(n-1)(2n-1)f(n),$

$\displaystyle n\int_n^{n+1}f(x)\,dx$

のすべてが整数の2乗となるとする。このような多項式$f(x)$をすべて求めよ。