Moritaのp進ガンマ関数
Moritaの$p$進ガンマ関数の基本的な性質をまとめる.
定義
$p$を奇素数として, $\ZZ_p$を$p$進整数環とする. 正整数$n$に対し,
\begin{align}
\Gamma_p(n):=(-1)^n\prod_{\substack{1\leq k< n\\p\not\mid k}}k
\end{align}
と定義する.
$\Gamma_p$は$\ZZ_p$上の連続関数$\Gamma_p:\ZZ_p\to \ZZ_p^{\times}$に一意的に拡張される.
$r\geq 1$とする. 任意の正整数$m,n$に対し$m\equiv n\pmod{p^r}$ならば$\Gamma_p(m)\equiv \Gamma_p(n)\pmod{p^r}$であることを示せばよい. $m=n+p^r$の場合を示せば十分である. そのとき,
\begin{align}
\Gamma_p(n+p^r)&=(-1)^{n+p^r}\prod_{\substack{1\leq k< n+p^r\\p\nmid k}}k\\
&=-\Gamma_p(n)\prod_{\substack{n\leq k< n+p^r\\p\nmid k}}k
\end{align}
ここで, 後半の積の$k$は$\mathrm{mod}\,\,p^r$で$\ZZ/p^r\ZZ$の単元全体を渡り, $-1$以外の単元は逆元と組になって打ち消し合うので,
\begin{align}
\prod_{\substack{n\leq k< n+p^r\\p\nmid k}}k&\equiv -1\pmod{p^r}
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
\Gamma_p(n+p^r)&\equiv \Gamma_p(n)\pmod{p^r}
\end{align}
であることが分かり, 示すべきことが得られた. $\Gamma_p$の値が$\ZZ_p^{\times}$の元であることは定義から明らかである.
\begin{align}
\frac{\Gamma_p(x+1)}{\Gamma_p(x)}&=\begin{cases}
-x&& x\in\ZZ_p^{\times}\\
-1&& x\in p\ZZ_p
\end{cases}
\end{align}
が成り立つ.
定義から, 自然数$n$に対して
\begin{align}
\frac{\Gamma_p(n+1)}{\Gamma_p(n)}&=\begin{cases}
-n&& n\notin p\ZZ\\
-1&& n\in p\ZZ
\end{cases}
\end{align}
が成り立つ. よって$x\in\ZZ_p$に対し, 連続性から両辺の$n\to x$の極限を考えることによって示すべきことが得られる.
特に$x=0$とすると
\begin{align}
\Gamma_p(0)=1
\end{align}
となることが分かる. 命題2を繰り返し用いると
\begin{align}
\frac{\Gamma_p(x+n)}{\Gamma_p(x)}&=(-1)^n\prod_{\substack{0\leq k< n\\x+k\in\ZZ_p^{\times}}}(x+k)
\end{align}
を得る. これは通常のガンマ関数の場合の
\begin{align}
\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}&=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)=(x)_n
\end{align}
の類似である. 特に全ての$0\leq k< n$に対し$x+k$が$p$進単元ならば,
\begin{align}
(x)_n&=(-1)^n\frac{\Gamma_p(x+n)}{\Gamma_p(x)}
\end{align}
となることが分かる.
相反公式
$x\in\ZZ_p$に対し, $a_0(x)\in\{1,2,\dots,p\}$を
\begin{align}
a_0(x)\equiv x\pmod p
\end{align}
を満たすものとして定める. 以下はガンマ関数の相反公式
\begin{align}
\Gamma(x)\Gamma(1-x)&=\frac{\pi}{\sin\pi x}
\end{align}
の類似である.
$x\in\ZZ_p$に対し,
\begin{align}
\Gamma_p(x)\Gamma_p(1-x)&=(-1)^{a_0(x)}
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
F(x):=\Gamma_p(x)\Gamma_p(1-x)
\end{align}
とする. このとき, 命題2より,
\begin{align}
\frac{F(x+1)}{F(x)}&=\frac{\Gamma_p(x+1)}{\Gamma_p(x)}\frac{\Gamma_p(-x)}{\Gamma_p(1-x)}=\begin{cases}
-1&&x\in\ZZ_p^{\times}\\
1&&x\in p\ZZ_p
\end{cases}
\end{align}
となる. $H(x):=(-1)^{a_0(x)}$とすると,
\begin{align}
\frac{H(x+1)}{H(x)}=\begin{cases}
-1&&x\in\ZZ_p^{\times}\\
1&&x\in p\ZZ_p
\end{cases}
\end{align}
であるから, これは$F$と全く同じ漸化式を満たす. $F(0)=H(0)=-1$であるから, $n$に関する帰納法により任意の自然数$n$に対し, $F(n)=H(n)$が分かる. $F$は$\ZZ_p$上で連続であり, $H$も局所定数関数, 特に連続であるから, $x\in\ZZ_p$に対し$n\to x$と極限を考えることによって$F(x)=H(x)$が得られる.
$\langle -x\rangle_p$を
\begin{align}
0\leq \langle -x\rangle_p< p,\qquad x+\langle -x\rangle_p\equiv 0\pmod p
\end{align}
を満たすものとして定めると, $a_0(x)=p-\langle -x\rangle_p$と表される. よって定理3は
\begin{align}
\Gamma_p(x)\Gamma_p(1-x)=-(-1)^{\langle -x\rangle_p}
\end{align}
と書き換えることもできる.
乗法公式
先ほどの$a_0(x)$を用いて
\begin{align}
x=a_0(x)+pa_1(x)
\end{align}
となるものとして, $a_1(x)\in\ZZ_p$を定義する. 以下はガンマ関数の乗法公式
\begin{align}
\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(\frac{x+k}n\right)&=n^{1-x}\Gamma(x)\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma\left(\frac kn\right)
\end{align}
の類似である.
$n$を$p\nmid n$となる自然数とする. このとき,
\begin{align}
\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma_p\left(\frac{x+k}n\right)&=n^{1-a_0(x)}(n^{p-1})^{-a_1(x)}\Gamma_p(x)\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma_p\left(\frac kn\right)
\end{align}
が成り立つ.
$\exp_p,\log_p$をそれぞれ$p$進指数関数, $p$進対数関数とする. $x\in\ZZ_p$に対し
\begin{align}
(n^{p-1})^x:=\exp_p(x\log_p(n^{p-1}))
\end{align}
と定められ, Fermatの小定理より$n^{p-1}\in 1+p\ZZ_p$であるからこれはwell-definedである.
\begin{align}
F(x):=\frac{\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma_p\left(\frac{x+k}n\right)}{\Gamma_p(x)\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma_p\left(\frac kn\right)}
\end{align}
とする. このとき, $p\nmid n$より$x\in p\ZZ_p$であることと$\frac xn\in p\ZZ_p$であることが同値になる. よって,
\begin{align}
\frac{F(x+1)}{F(x)}&=\frac{\Gamma_p(x)\Gamma_p\left(1+\frac xn\right)}{\Gamma_p(x+1)\Gamma_p\left(\frac xn\right)}=\begin{cases}
\frac 1n&& x\in\ZZ_p^{\times}\\
1&& x\in p\ZZ_p
\end{cases}
\end{align}
となる. 一方, $H(x):=n^{1-a_0(x)}(n^{p-1})^{-a_1(x)}$とするとき, $x\in \ZZ_p^{\times}$ならば$1\leq a_0(x)< p$より
\begin{align}
a_1(x+1)&=a_1(x)
\end{align}
となるから,
\begin{align}
\frac{H(x+1)}{H(x)}&=\frac 1n
\end{align}
となる. 一方, $x\in p\ZZ_p$より
\begin{align}
a_1(x+1)&=a_1(x)+1
\end{align}
となるから,
\begin{align}
\frac{H(x+1)}{H(x)}&=1
\end{align}
となる. よって, $F$と$H$は同じ漸化式を満たす. $F(1)=H(1)=1$であることから$x$が自然数のとき$F(x)=H(x)$が成り立つことが分かり, 両辺は連続であるから任意の$x\in\ZZ_p$に対し$F(x)=H(x)$が成り立つことが分かる.
\begin{align}
x=a_0(x)+pa_1(x)
\end{align}
を$a_0(x)=p-\langle -x\rangle_p$を用いて書き換えると,
\begin{align}
a_1(x)&=\frac{x+\langle -x\rangle_p}{p}-1=x'-1
\end{align}
と書き換えられる. ここで, $x':=\frac{x+\langle -x\rangle_p}{p}$はDworkのdash operationである. これを用いると形式的に
\begin{align}
n^{1-a_0(x)}(n^{p-1})^{-a_1(x)}=n^{1-a_0(x)-(p-1)a_1(x)}=n^{x'-x}
\end{align}
と書き換えられ, 定理4は
\begin{align}
\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma_p\left(\frac{x+k}n\right)&=n^{x'-x}\Gamma_p(x)\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma_p\left(\frac kn\right)
\end{align}
と表される. ただし, 一般の$p$進整数$x$に対して$n^x$を定義しているわけではないので, これは形式的な表示であることに注意が必要である.
解析性
任意の$a\in\ZZ_p$に対し, $\Gamma_p(a+x)$は$|x|_p<1, x\in\ZZ_p$において解析的である. つまり
\begin{align}
\Gamma_p(a+x)&=\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma_p^{(n)}(a)}{n!}x^n,\qquad x\in p\ZZ_p
\end{align}
とMaclaurin展開できる.
まず, 自然数$n$に対し,
\begin{align}
\Gamma_p(pn)&=(-1)^{pn}\prod_{\substack{1\leq k< pn\\p\nmid k}}k\\
&=(-1)^n\prod_{j=0}^{n-1}\prod_{l=1}^{p-1}(pj+l)\\
&=(-1)^n\prod_{j=0}^{n-1}\left((p-1)!\prod_{l=1}^{p-1}\left(1+\frac{pj}{l}\right)\right)
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
&\log_p\Gamma_p(pn)\\
&=n\log_p(p-1)!+\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{l=1}^{p-1}\log_p\left(1+\frac{pj}l\right)\\
&=n\log_p(p-1)!+\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{l=1}^{p-1}\sum_{0< m}\frac{(-1)^{m-1}p^m}{m}\frac{j^m}{l^m}\\
&=n\log_p(p-1)!+\sum_{0< m}\frac{(-1)^{m-1}p^m(B_{m+1}(n)-B_{m+1})}{m(m+1)}\sum_{l=1}^{p-1}\frac 1{l^m}
\end{align}
と展開できる. 連続性から$x\in\ZZ_p$に対し,
\begin{align}
&\log_p\Gamma_p(px)\\
&=x\log_p(p-1)!+\sum_{0< m}\frac{(-1)^{m-1}p^m(B_{m+1}(x)-B_{m+1})}{m(m+1)}\sum_{l=1}^{p-1}\frac 1{l^m}
\end{align}
が成り立つことが分かる. von Staudt-Clausenの定理から$v_p(B_k)\geq -1$となるので, 右辺第2項の第$m$項の付値は
\begin{align}
m-v_p(m)-v_p(m+1)-1
\end{align}
以上であるから, これは$\log_p\Gamma_p(px)$の解析的な表示を与えている. よって$\Gamma_p(px)\equiv \Gamma_p(0)\equiv 1\pmod p$であるから, $\exp_p$と合成することによって, $x\mapsto \Gamma_p(px)$は$\ZZ_p$で解析的であることが分かる. $a\in\ZZ_p$を$a=b+pc, b\in\{0,1,\dots,p-1\}, c\in\ZZ_p$と表すと,
\begin{align}
\Gamma_p(a+px)=\Gamma_p(b+p(c+x))=(-1)^b\Gamma_p(p(c+x))\prod_{j=1}^{b-1}(p(c+x)+j)
\end{align}
であり, $\Gamma_p(p(c+x))$は$\Gamma_p(px)$を$x\mapsto c+x$と平行移動したものであるから$\ZZ_p$で解析的である. よって, $\Gamma_p(a+px)$が$x\in\ZZ_p$で解析的であることが分かり, 示すべきことが得られた.
