同じ自然数が並んだ等号付き多重ゼータ値の補間
等号付き多重ゼータ値を
\begin{align}
\zeta^{\star}(k_1,\dots,k_r):=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac 1{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
\end{align}
として,
$\{k\}^m:=\underbrace{k,\dots,k}_{m}$
とする. 今回は$\zeta^{\star}(\{k\}^m)$の$m$に関する補間について考えたいと思う.
$k>1, m\geq 0$に対し,
\begin{align}
\zeta^{\star}(\{k\}^m)&=\sum_{0< n}\frac 1{n^{km}\prod_{0< j\neq n}\left(1-\frac{n^k}{j^k}\right)}
\end{align}
が成り立つ.
母関数を考えると,
\begin{align}
\sum_{0\leq m}t^m\zeta^{\star}(\{k\}^m)&=\frac 1{\prod_{0< j}\left(1-\frac t{j^k}\right)}
\end{align}
である. 右辺は
\begin{align}
\frac 1{\prod_{0< j}\left(1-\frac t{j^k}\right)}&=\sum_{0< n}\frac 1{1-\frac t{n^k}}\frac 1{\prod_{0< j\neq n}\left(1-\frac{n^k}{j^k}\right)}
\end{align}
と部分分数分解できる. よって,
\begin{align}
\sum_{0\leq m}t^m\zeta^{\star}(\{k\}^m)&=\sum_{0< n}\frac 1{1-\frac t{n^k}}\frac 1{\prod_{0< j\neq n}\left(1-\frac{n^k}{j^k}\right)}
\end{align}
を得る. 両辺の$t^m$の係数を比較して定理を得る.
特に,
\begin{align}
\lim_{m\to\infty}\zeta^{\star}(\{k\}^m)=\frac 1{\prod_{1< n}\left(1-\frac 1{n^k}\right)}
\end{align}
が得られる. この等式はHirose-Murahara-Onozukaによる2025年の論文, Multiple zeta-star values for indices of infinite lengthで与えられた結果の一つである.
定理1から, 右辺の級数が収束する範囲の複素数$s$に対して,
\begin{align}
\zeta^{\star}(\{k\}^s)&:=\sum_{0< n}\frac 1{n^{ks}\prod_{0< j\neq n}\left(1-\frac{n^k}{j^k}\right)}
\end{align}
と定義し, 一般の複素数に対しては解析接続によって定義することができる.
簡単に分かることとして, 以下のようなものがある.
整数$k\geq 1$に対し,
\begin{align}
\zeta^{\star}(\{2k\}^s)=2k\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n-1}(\pi n)^{k-1}}{n^{ks}\prod_{l=1}^{k-1}\sin(\pi e^{\frac{\pi il}{k}}n)}
\end{align}
が成り立つ. 特に, $\zeta^{\star}(\{2k\}^s)$は$s$の関数として$\CC$上の正則関数に解析接続できる.
まず,
\begin{align}
\prod_{0< j\neq n}\left(1-\frac{n^2}{j^2}\right)&=\prod_{0< j< n}\frac{(j-n)(j+n)}{j^2}\prod_{n< j}\frac{(j-n)(j+n)}{j^2}\\
&=\frac{(-1)^{n-1}(2n-1)!}{(n-1)!n!}\cdot\frac{n!^2}{(2n)!}\\
&=\frac{(-1)^{n-1}}2
\end{align}
より,
\begin{align}
\prod_{0< j\neq n}\left(1-\frac{n^{2k}}{j^{2k}}\right)&=\frac{(-1)^{n-1}}2\prod_{l=1}^{k-1}\prod_{0< j\neq n}\left(1-\frac{e^{\frac{2\pi il}k}n^2}{j^2}\right)\\
&=\frac{(-1)^{n-1}}{2k}\prod_{l=1}^{k-1}\frac{\sin(\pi e^{\frac{\pi il}{k}}n)}{\pi e^{\frac{\pi il}{k}}n}\\
&=\frac{(-1)^{n-1}\prod_{l=1}^{k-1}\sin(\pi e^{\frac{\pi il}{k}}n)}{2k(\pi n)^{k-1}}
\end{align}
であるから等式
\begin{align}
\zeta^{\star}(\{2k\}^s)=2k\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n-1}(\pi n)^{k-1}}{n^{ks}\prod_{l=1}^{k-1}\sin(\pi e^{\frac{\pi il}{k}}n)}
\end{align}
を得る. $k=1$のとき,
\begin{align}
\zeta^{\star}(\{2\}^s)&=2\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2s}}\\
&=2(1-2^{1-2s})\zeta(2s)
\end{align}
であるから, これは$\CC$上の正則関数に解析接続できる. $k\geq 2$のとき,
\begin{align}
\zeta^{\star}(\{2k\}^s)=2k\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n-1}(\pi n)^{k-1}}{n^{ks}\prod_{l=1}^{k-1}\sin(\pi e^{\frac{\pi il}{k}}n)}
\end{align}
の右辺の分母の$\prod_{l=1}^{k-1}\sin(\pi e^{\frac{\pi il}{k}}n)$が$n$に関して指数関数的に増大するので, 右辺の級数は$s\in\CC$で絶対収束している. よって示すべきことが得られた.
$k$が偶数でない一般の実数や複素数の場合にも
\begin{align}
\zeta^{\star}(\{k\}^s)
\end{align}
は$s$の関数として$\CC$上の正則関数に解析接続できるか.
$k,m\geq 1$に対し,
\begin{align}
\zeta^{\star}(\{2k\}^{-m})&=0
\end{align}
が成り立つ.
$k=1$のときは
\begin{align}
\zeta(-2m)=0
\end{align}
から従う. $k\geq 2$のとき, 部分分数分解
\begin{align}
\frac 1{\prod_{0< j< N}\left(1-\frac{t}{j^{2k}}\right)}&=\sum_{0< n< N}\frac 1{1-\frac{t}{n^{2k}}}\frac 1{\prod_{\substack{0< j< N\\j\neq n}}\left(1-\frac{n^{2k}}{j^{2k}}\right)}
\end{align}
において, $t\mapsto \frac 1t$として両辺を$-1$倍すると,
\begin{align}
-\frac{t^{N-1}}{\prod_{0< j< N}\left(t-\frac{1}{j^{2k}}\right)}&=\sum_{0< n< N}\frac{n^{2k}t}{1-n^{2k}t}\frac{}{\prod_{\substack{0< j< N\\j\neq n}}\left(1-\frac{n^{2k}}{j^{2k}}\right)}
\end{align}
を得る. よって, 両辺の$t^m$の係数を比較すると, $1\leq m\leq N-2$に対し,
\begin{align}
\sum_{0< n< N}\frac{n^{2km}}{\prod_{\substack{0< j< N\\j\neq n}}\left(1-\frac{n^{2k}}{j^{2k}}\right)}&=0
\end{align}
である. よって, $N\to\infty$として,
\begin{align}
\zeta^{\star}(\{2k\}^{-m})=0
\end{align}
を得る.
今回は深さ1のインデックスが並んだものの補間を与えたが, 一般に以下のような問題も考えられる.
深さ2以上のインデックス$\bk=(k_1,\dots,k_r),k_r\geq 2$に対して,
\begin{align}
\zeta^{\star}(\{\bk\}^n)
\end{align}
の$n$に関する自然な補間を与えることはできるか.
