自然数の並べ方を1次元→2次元→3次元まで拡張してみたら、コラッツ数列にたどりつくのではと思った話

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自然数は、向きは一方向で増えていきますから、標準的な考え方では、いつも1次元だと言えるでしょう。


1	2	3	4	5	6	7	8	･･･

N(n)=n です。

次に、自然数をすべて2次元で表わせないかを考えてみます。


1	3	5	7	9	11	13	15	･･･
2	6	10	14	18	22	26	30	･･･
4	12	20	28	36	44	52	60	･･･
8	24	40	56	72	88	104	120	･･･
16	48	80	112	144	176	208	240	･･･
32	96	160	224	288	352	416	480	･･･
64	192	320	448	576	704	832	960	･･･
128	384	640	896	1152	1408	1664	1920	･･･
･･･	･･･	･･･	･･･	･･･	･･･	･･･	･･･

これは、N(n,m)=(2n-1)*2^(m-1) です。
自然数を一つずつもれなく重複もなく表わせます（証明可能）。

次に3次元にしてみましょう。
N(s,t,u)を考えますが、まず、u=1のときのN(s,t)を考えます。


1	9	17	25	33	41	49	57	…
3	7	11	15	19	23	27	31	…
5	37	69	101	133	165	197	229	…
13	29	45	61	77	93	109	125	…
21	149	277	405	533	661	789	917	…
53	117	181	245	309	373	437	501	…
85	597	1109	1621	2133	2645	3157	3669	…
213	469	725	981	1237	1493	1749	2005	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…

この式は1行おきに違う式を用いています。
2つの式で奇数をもれなく重複なく表わせます。
奇数行は
N_e (s,t) = (4 × 4^(s-1) - 1)/3 + (t - 1) × 8 × 4^(s - 1)
偶数行は
N_o (s,t) = (10 × 4^(s - 1) - 1) / 3 + (t - 1) × 4 × 4^(s - 1)
です。
（1行置きの列は、コラッツ逆計算の奇数遷移を表しています）
これらに2^(u-1)をかけて3次元にします。
u>1では、Nはすべて偶数になります。
3次元でも、自然数を一つずつもれなく重複もなく表わせます（証明可能）。

このように、ここでは、自然数を次元を変えてとらえてみました。

自然数をまだｎ次元に拡張したり、他の分野でも次元を拡張したり、などできたらおもしろいのかもと思っています。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました！

投稿日：6月15日