自然数の並べ方を1次元→2次元→3次元まで拡張してみたら、コラッツ数列にたどりつくのではと思った話

自然数は、向きは一方向で増えていきますから、標準的な考え方では、いつも1次元だと言えるでしょう。

N(n)=n です。

次に、自然数をすべて2次元で表わせないかを考えてみます。

これは、N(n,m)=(2n-1)*2^(m-1) です。
自然数を一つずつもれなく重複もなく表わせます（証明可能）。

次に3次元にしてみましょう。
N(s,t,u)を考えますが、まず、u=1のときのN(s,t)を考えます。

この式は1行おきに違う式を用いています。
2つの式で奇数をもれなく重複なく表わせます。
奇数行は
N_e (s,t) = (4 × 4^(s-1) - 1)/3 + (t - 1) × 8 × 4^(s - 1)
偶数行は
N_o (s,t) = (10 × 4^(s - 1) - 1) / 3 + (t - 1) × 4 × 4^(s - 1)
です。
（1行置きの列は、コラッツ逆計算の奇数遷移を表しています）
これらに2^(u-1)をかけて3次元にします。
u>1では、Nはすべて偶数になります。
3次元でも、自然数を一つずつもれなく重複もなく表わせます（証明可能）。

このように、ここでは、自然数を次元を変えてとらえてみました。

自然数をまだｎ次元に拡張したり、他の分野でも次元を拡張したり、などできたらおもしろいのかもと思っています。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました！