Baileyによる9F8の4項変換公式

前回の記事でBaileyの${}_{10}\phi_9$の4項変換公式
\begin{align} &W(a;b,c,d,e,f,g,h;q)\\ &\quad+\frac{(aq,b/a,c,d,e,f,g,h,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f,bq/g,bq/h;q)_{\infty}}{(b^2q/a,a/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a;q)_{\infty}}\\ &\quad\qquad\cdot\, W(b^2/a;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a;q)\\ &=\frac{(aq,b/a,wq/f,wq/g,w q/h,bf/w,bg/w,bh/w;q)_{\infty}}{(wq,b/w,aq/f,aq/g,aq/h,bf/a,bg/a,bh/a;q)_{\infty}}W(w;b,wc/a,wd/a,we/a,f,g,h;q)\\ &\qquad +\frac{(aq,b/a,f,g,h,bq/f,bq/g,bq/h,wc/a,wd/a,we/a,abq/wc,abq/wd,abq/we;q)_{\infty}}{(b^2q/w,w/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\qquad\cdot\,W(b^2/w;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/w,bg/w,bh/w;q)\qquad(w=a^2q/cde, a^3q^2=bcdefgh) \end{align}
を示した. 以下, ガンマ関数の積を
\begin{align} \Gamma(a_1,\dots,a_r):=\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r) \end{align}
のように書くことにして, 上の4項変換公式の古典極限を考えることによって, 以下を得る.

さて, 両辺に
\begin{align} \frac{\Gamma(1+a,b,c,d,e,f,g,h)}{2\Gamma(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a-h)} \end{align}
を掛けると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma\left(a+n,1+\frac a2+n,b+n,c+n,d+n,e+n,f+n,g+n,h+n\right)}{\Gamma\left(\frac a2+n,1+a-b+n,1+a-c+n,1+a-d+n,1+a-e+n,1+a-f+n,1+a-g+n,1+a-h+n,n+1\right)}\\ &\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma\left(2b-a+n,1+\frac{2b-a}2+n,b+n,b+c-a+n,b+d-a+n,b+e-a+n,b+f-a+n,b+g-a+n,b+h-a+n\right)}{\Gamma\left(\frac{2b-a}2+n,1+b-a+n,1+b-c+n,1+b-d+n,1+b-e+n,1+b-f+n,1+b-g+n,1+b-h+n,n+1\right)}\\ &=\frac{\Gamma(c,d,e,b-w,1+w-b,b+f-a,b+g-a,b+h-a)}{\Gamma(1+a-b,b-a,b+f-w,b+g-w,b+h-w,w+d-a,w+e-a,w+f-a)}\\ &\qquad\cdot \sum_{0\leq n}\frac{\Gamma\left(w+n,1+\frac w2+n,b+n,w+c-a+n,w+d-a+n,w+e-a+n,f+n,g+n,h+n\right)}{\Gamma\left(\frac w2+n,1+w-b+n,1+a-c+n,1+a-d+n,1+a-e+n,1+w-f+n,1+w-g+n,1+w-h+n,n+1\right)}\\ &\qquad+ \frac{\Gamma(c,d,e,w-b,1+b-w,b+f-a,b+g-a,b+h-a)}{\Gamma(1+a-b,b-a,b+f-w,b+g-w,b+h-w,w+c-a,w+d-a,w+e-a)}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma\left(2b-w+n,1+\frac{2b-w}2+n,b+n,b+c-a+n,b+d-a+n,b+e-a+n,b+f-w+n,b+g-w+n,b+h-w+n\right)}{\Gamma\left(\frac{2b-w}2+n,1+b-w+n,1+a+b-w-c+n,1+a+b-w-d+n,1+a+b+w-e+n,1+b-f+n,1+b-g+n,1+b-h+n,n+1\right)} \end{align}
だから, Mellin-Barnes積分を用いて,
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma\left(a+s,1+\frac a2+s,b+s,c+s,d+s,e+s,f+s,g+s,h+s,b-a-s,-s\right)}{\Gamma\left(\frac a2+s,1+a-c+s,1+a-d+s,1+a-e+s,1+a-f+s,1+a-g+s,1+a-h+s\right)}\,ds\\ &=\frac{\Gamma(c,d,e,b+f-a,b+g-a,b+h-a)}{\Gamma(w+c-a,w+d-a,w+e-a,b+f-w,b+g-w,b+h-w)}\\ &\qquad\cdot \frac 1{2\pi i}\int_{-\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma\left(w+s,1+\frac w2+s,b+s,w+c-a+s,w+d-a+s,w+e-a+s,f+s,g+s,h+s,w-b-s,-s\right)}{\Gamma\left(\frac w2+s,1+a-c+s,1+a-d+s,1+a-e+s,1+w-f+s,1+w-g+s,1+w-h+s\right)}\,ds \end{align}
と簡潔な形に書き直すことができる.

このように, 複雑な式をよりシンプルに書き表すことができることは, Mellin-Barnes積分を用いる利点である.