Baileyによる9F8の4項変換公式

前回の記事でBaileyの${}_{10}{\varphi }_9$の4項変換公式
$$\begin{array}{rl}& W(a;b,c,d,e,f,g,h;q)\\ & +\frac{(aq,b/a,c,d,e,f,g,h,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f,bq/g,bq/h;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(b^{2}q/a,a/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a;q{)}_{\mathrm{\infty }}}\\ & \cdot W(b^2/a;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a;q)\\ & =\frac{(aq,b/a,wq/f,wq/g,wq/h,bf/w,bg/w,bh/w;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(wq,b/w,aq/f,aq/g,aq/h,bf/a,bg/a,bh/a;q{)}_{\mathrm{\infty }}}W(w;b,wc/a,wd/a,we/a,f,g,h;q)\\ & +\frac{(aq,b/a,f,g,h,bq/f,bq/g,bq/h,wc/a,wd/a,we/a,abq/wc,abq/wd,abq/we;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(b^{2}q/w,w/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a;q{)}_{\mathrm{\infty }}}\\ & \cdot W(b^2/w;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/w,bg/w,bh/w;q)(w=a^{2}q/cde,a^3{q}^2=bcdefgh)\end{array}$$
を示した. 以下, ガンマ関数の積を
$$\begin{array}{r}\mathrm{\Gamma }(a_1,\dots ,a_r):=\mathrm{\Gamma }(a_1)\cdots \mathrm{\Gamma }(a_r)\end{array}$$
のように書くことにして, 上の4項変換公式の古典極限を考えることによって, 以下を得る.

さて, 両辺に
$$\begin{array}{r}\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a,b,c,d,e,f,g,h)}{2\mathrm{\Gamma }(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a-h)}\end{array}$$
を掛けると,
$$\begin{array}{rl}& \sum _{0\le n}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+n,1+\frac{a}{2}+n,b+n,c+n,d+n,e+n,f+n,g+n,h+n)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{a}{2}+n,1+a-b+n,1+a-c+n,1+a-d+n,1+a-e+n,1+a-f+n,1+a-g+n,1+a-h+n,n+1)}\\ & -\sum _{0\le n}\frac{\mathrm{\Gamma }(2b-a+n,1+\frac{2b-a}{2}+n,b+n,b+c-a+n,b+d-a+n,b+e-a+n,b+f-a+n,b+g-a+n,b+h-a+n)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{2b-a}{2}+n,1+b-a+n,1+b-c+n,1+b-d+n,1+b-e+n,1+b-f+n,1+b-g+n,1+b-h+n,n+1)}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(c,d,e,b-w,1+w-b,b+f-a,b+g-a,b+h-a)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-b,b-a,b+f-w,b+g-w,b+h-w,w+d-a,w+e-a,w+f-a)}\\ & \cdot \sum _{0\le n}\frac{\mathrm{\Gamma }(w+n,1+\frac{w}{2}+n,b+n,w+c-a+n,w+d-a+n,w+e-a+n,f+n,g+n,h+n)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{w}{2}+n,1+w-b+n,1+a-c+n,1+a-d+n,1+a-e+n,1+w-f+n,1+w-g+n,1+w-h+n,n+1)}\\ & +\frac{\mathrm{\Gamma }(c,d,e,w-b,1+b-w,b+f-a,b+g-a,b+h-a)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-b,b-a,b+f-w,b+g-w,b+h-w,w+c-a,w+d-a,w+e-a)}\\ & \cdot \sum _{0\le n}\frac{\mathrm{\Gamma }(2b-w+n,1+\frac{2b-w}{2}+n,b+n,b+c-a+n,b+d-a+n,b+e-a+n,b+f-w+n,b+g-w+n,b+h-w+n)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{2b-w}{2}+n,1+b-w+n,1+a+b-w-c+n,1+a+b-w-d+n,1+a+b+w-e+n,1+b-f+n,1+b-g+n,1+b-h+n,n+1)}\end{array}$$
だから, Mellin-Barnes積分を用いて,
$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2\pi i}{\int }_{-i\mathrm{\infty }}^{i\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+s,1+\frac{a}{2}+s,b+s,c+s,d+s,e+s,f+s,g+s,h+s,b-a-s,-s)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{a}{2}+s,1+a-c+s,1+a-d+s,1+a-e+s,1+a-f+s,1+a-g+s,1+a-h+s)}ds\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(c,d,e,b+f-a,b+g-a,b+h-a)}{\mathrm{\Gamma }(w+c-a,w+d-a,w+e-a,b+f-w,b+g-w,b+h-w)}\\ & \cdot \frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{i\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(w+s,1+\frac{w}{2}+s,b+s,w+c-a+s,w+d-a+s,w+e-a+s,f+s,g+s,h+s,w-b-s,-s)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{w}{2}+s,1+a-c+s,1+a-d+s,1+a-e+s,1+w-f+s,1+w-g+s,1+w-h+s)}ds\end{array}$$
と簡潔な形に書き直すことができる.

このように, 複雑な式をよりシンプルに書き表すことができることは, Mellin-Barnes積分を用いる利点である.