分数形の漸化式を行列を用いて解く

今回は分数形の漸化式を行列を用いて解く方法について紹介します．

まず，$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} a_{n+1} \\ 1 \end{array} \right)/\!/ \left( \begin{array}{cc} 4a_n -9\\ a_n -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 4 & -9\\ 1 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a_n\\ 1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$が成り立つことから，$A = \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 4 & -9 \\ 1 & -2 \end{array} \right) \end{eqnarray}$とおけば，

$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} a_n \\ 1 \end{array} \right) /\!/ A^{n-1} \left( \begin{array}{cc} a_1\\ 1 \end{array} \right) = A^{n-1} \left( \begin{array}{cc} 4\\ 1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$がわかります．なので，$A^{n-1}$を計算してやれば$a_n$が求められます．

では，$A^{n-1}$を計算してみましょう．
ケーリーハミルトンの定理から$A^2-2A+E=O\Longleftrightarrow (A-E)^2=O$を得ます．よって，$B = A - E$とおくと$B^2 = O$です．これを用いると$A^{n-1}$が次のように計算出来ます：

$A^{n-1}=(E+B)^{n-1}=E^{n-1}+{}_{n-1} \mathrm{ C }_1E^{n-1}B+\cdots=E+(n-1)B= \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 3n-2 & -9n+9 \\ n-1 & -3n+4 \end{array} \right) \end{eqnarray}$

これを先程の式に代入すると，

$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} a_n \\ 1 \end{array} \right) /\!/ \left( \begin{array}{cc} 3n-2 & -9n+9 \\ n-1 & -3n+4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 4 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3n+1 \\ n \end{array} \right) \end{eqnarray}$

となり，$a_n = \dfrac{3n+1}{n}$がわかりました！

ここまで読んでいただきありがとうございました．