分数形の漸化式を行列を用いて解く

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今回は分数形の漸化式を行列を用いて解く方法について紹介します．

$a_{1} = 4, a_{n + 1} = \frac{4 a_{n} - 9}{a_{n} - 2}$ で定められる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

まず， $\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} a_{n + 1} \\ 1 \end{array}) / / (\begin{array}{cc} 4 a_{n} - 9 \\ a_{n} - 2 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 4 & - 9 \\ 1 & - 2 \end{array}) (\begin{array}{cc} a_{n} \\ 1 \end{array}) \end{array}$ が成り立つことから， $A = \begin{array}{r} (\begin{array}{cc} 4 & - 9 \\ 1 & - 2 \end{array}) \end{array}$ とおけば，

$\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} a_{n} \\ 1 \end{array}) / / A^{n - 1} (\begin{array}{cc} a_{1} \\ 1 \end{array}) = A^{n - 1} (\begin{array}{cc} 4 \\ 1 \end{array}) \end{array}$ がわかります．なので， $A^{n - 1}$ を計算してやれば $a_{n}$ が求められます．

では， $A^{n - 1}$ を計算してみましょう．
ケーリーハミルトンの定理から $A^{2} - 2 A + E = O ⟺ (A - E)^{2} = O$ を得ます．よって， $B = A - E$ とおくと $B^{2} = O$ です．これを用いると $A^{n - 1}$ が次のように計算出来ます：

$A^{n - 1} = (E + B)^{n - 1} = E^{n - 1} +_{n - 1} C_{1} E^{n - 1} B + \dots = E + (n - 1) B = \begin{array}{r} (\begin{array}{cc} 3 n - 2 & - 9 n + 9 \\ n - 1 & - 3 n + 4 \end{array}) \end{array}$

これを先程の式に代入すると，

$\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} a_{n} \\ 1 \end{array}) / / (\begin{array}{cc} 3 n - 2 & - 9 n + 9 \\ n - 1 & - 3 n + 4 \end{array}) (\begin{array}{cc} 4 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 3 n + 1 \\ n \end{array}) \end{array}$