分数階微分積分学の備忘録

定義, 表記法

分数階微分積分学とは

微分方程式ではしばしば計算法として, 演算子$\mathrm{D}(\equiv \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})$を導入してこれを文字のように扱う微分演算子法がある.
${\mathrm{D}}^n$は$n$階微分, $D^{-1}$は不定積分を表す. 　

伝統的に分数階微分積分学と書いてあるが, 分数だけでなく複素数にも適応可能である.

Grünwald–Letnikovの定義

導入

この定義は微分から始める定義である.

一次導関数

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

二次導関数

$$f^{″}(x)=\underset{h_1\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x+h_1)-f^{\prime }(x)}{h_1}=\underset{h_1,h_2\to 0}{lim}\frac{(f(x+h_1+h_2)-f(x+h_1))-(f(x+h_2)-f(x))}{h_1{h}_2}$$
ここで$h_1,h_2$を同時に収束するとすると
$$f^{″}(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2}$$

以下, $n$次導関数$f^{(n)}$に対して次のように拡張できる.
$$f^{(n)}(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h^n}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f(x+(n-k)h)$$
総和の順を逆に取ると
$$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(-1{)}^n}{h^n}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f(x+kh)$$
$h\to -h$にすると
$$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h^n}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f(x-kh)$$

$n\in \mathbb{N}$を$\alpha \in \mathbb{R}$に拡張することで, Grünwald–Letnikovによる定義を得られる. 総和における自然数から実数への一般化では解析的に上限は無限大になる.
$$f^{(\alpha )}(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h^{\alpha }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})f(x-kh)$$

微分の定義

この定義は$k$を$0$から$\mathrm{\infty }$まで和を取った後$h\to 0$とするため, $kh$がどのような値になるのか予測しづらく実際の計算にあまり向いていない.

別の定義

別の定義として総和の上限を定めることもある. 今記事では上限を$\lfloor \frac{x-a}{|h|}\rfloor (a\le x)$とする. また, $h^{\alpha }$が
$h\ne 0$に対して
$$\frac{x-a}{|h|}-1<\lfloor \frac{x-a}{|h|}\rfloor <\frac{x-a}{|h|}+1\iff |\lfloor \frac{x-a}{|h|}\rfloor -\frac{x-a}{|h|}|<1\iff |h\lfloor \frac{x-a}{|h|}\rfloor -(x-a)|<|h|$$
$$\therefore \underset{h\to 0}{lim}h\lfloor \frac{x-a}{|h|}\rfloor =x-a$$
よって, $k=\lfloor \frac{x-a}{|h|}\rfloor ,h\to 0$のとき $f(x-kh)=f(x-(x-a))=f(a)$となるので計算しやすくなる.

$${}_a^{\mathrm{GL}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }f(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h^{\alpha }}\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{x-a}{|h|}\rfloor }(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})f(x-kh)$$

Riemann–Liouvilleの定義

導入

この公式の階乗をガンマ関数に拡張することで複素数階積分に一般化できる.

積分の定義

微分の定義

$max$関数が入って分かりにくいが場合分けをすると次のようになる.
$${}_a^{\mathrm{RL}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\mathrm{d}}^{\lceil \alpha \rceil }}{\mathrm{d}{x}^{\lceil \alpha \rceil }}{}_a^{\mathrm{RL}}{\mathrm{I}}_x^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)& \text{if }\alpha >0\text{,}\\ f(x)& \text{if }\alpha =0\text{,}\\ {}_a^{\mathrm{RL}}{\mathrm{I}}_x^{-\alpha }f(x)& \text{if }\alpha <0\text{.}\end{array}$$

ここでは省略するが, この演算子は線形性と結合法則を満たす.

Caputoの定義

微分の定義

積分の定義はRL分数階積分と同じである.

Riemann–LiouvilleとCaputoの違いは微分を先にするか後にするかであるが, 微分方程式を解く上では必要な初期値が異なる.

RLの定義は$n-\alpha$階積分をした関数を微分する.
$$\to \text{初期値:}{}_{}^{\mathrm{RL}}{\mathrm{I}}_{}^{n-\alpha }f(t){\mid }_{t=0},\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{}_{}^{\mathrm{RL}}{\mathrm{I}}_{}^{n-\alpha }f(t){\mid }_{t=0},\cdots ,\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}{}_{}^{\mathrm{RL}}{\mathrm{I}}_{}^{n-\alpha }f(t){\mid }_{t=0}$$
Caputoの定義は関数を微分した後で積分する.
$$\to \text{初期値:}f(0),f^{\prime }(0)\cdots ,f^{(n)}(0)$$
このように必要な初期値に違いがあり, 整数階の初期値を使うCaputoの定義がよく好まれる.

$\alpha \to \mathbb{Z}$とすると, 和は途中から$0$になるので有限和となり, $\alpha$: 正の整数ならば通常のライプニッツの定理に一致し, $\alpha$: 負の整数ならば部分積分の繰り返しになります.

使い方

Mittag-Leffler関数

非整数階微分方程式を解くときに現れる関数を導入する.

問題

$\alpha$が非負整数であるとき, RL分数階微分は適応できない.
$\alpha =0,1,2,\cdots$のとき
$$\frac{{\mathrm{d}}^{\alpha }}{\mathrm{d}{x}^{\alpha }}{x}^p=\frac{\mathrm{\Gamma }(p+1)}{\mathrm{\Gamma }(p-\alpha +1)}{x}^{p-\alpha }=\frac{p!}{(p-\alpha )!}{x}^{p-\alpha }$$

$\alpha \ne 0,1,2,\cdots$のとき $n=max\{0,\lceil \alpha \rceil \}$とする.

1. $\alpha <0$のとき, $n=0$であるから
   $${}_0^{\mathrm{RL}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }{x}^p=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-\alpha )}{\int }_0^x(x-t{)}^{-\alpha -1}{t}^p\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{\Gamma }(p+1)}{\mathrm{\Gamma }(p-\alpha +1)}{x}^{p-\alpha }$$
2. $\alpha >0$のとき, $n=\lceil \alpha \rceil$
   $${}_0^{\mathrm{RL}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }{x}^p=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{\int }_0^x(x-t{)}^{n-\alpha -1}{t}^p\mathrm{d}t$$
   $n-\alpha >0,p+1>0$よりベータ関数を用いて
   $$=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )\mathrm{\Gamma }(p+1)}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha +p+1)}{x}^{n-\alpha +p}=\frac{\mathrm{\Gamma }(p+1)}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha +p+1)}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{x}^{n-\alpha +p}$$
   $p-\alpha$が整数のとき, どこかで定数を微分する可能性がある.
   $p-\alpha =-1,-2,\cdots$のとき
   $${}_0^{\mathrm{RL}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }{x}^p=0$$
   $p-\alpha \ne -1,-2,\cdots$のとき
   $${}_0^{\mathrm{RL}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }{x}^p=\frac{\mathrm{\Gamma }(p+1)}{\mathrm{\Gamma }(p-\alpha +1)}{x}^{p-\alpha }$$

一応, 場合分けをしたが解答の式に$p-\alpha =-1,-2,\cdots$を代入すると
$$\frac{\mathrm{\Gamma }(p+1)}{\mathrm{\Gamma }(p-\alpha +1)}{x}^{p-\alpha }\to \frac{\mathrm{\Gamma }(p+1)}{\pm \mathrm{\infty }}{x}^{p-\alpha }=0$$
となる.

Caputoの定義で解く.
$$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\lceil \alpha \rceil -\alpha )}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x(x-t{)}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha -1}\frac{{\mathrm{d}}^{\lceil \alpha \rceil }}{\mathrm{d}{t}^{\lceil \alpha \rceil }}{e}^{\lambda t}\mathrm{d}t=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\lceil \alpha \rceil -\alpha )}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x(x-t{)}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha -1}{\lambda }^{\lceil \alpha \rceil }{e}^{\lambda t}\mathrm{d}t$$
$s=x-t$とおくと, $s:\mathrm{\infty }\to 0,\mathrm{d}s=-\mathrm{d}t$より
$$=\frac{{\lambda }^{\lceil \alpha \rceil }}{\mathrm{\Gamma }(\lceil \alpha \rceil -\alpha )}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{s}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha -1}{e}^{\lambda (x-s)}\mathrm{d}s=e^{\lambda x}\cdot \frac{{\lambda }^{\lceil \alpha \rceil }}{\mathrm{\Gamma }(\lceil \alpha \rceil -\alpha )}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{s}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha -1}{e}^{-\lambda s}\mathrm{d}s$$
$u=\lambda s$とおくと
$$=e^{\lambda x}\cdot \frac{{\lambda }^{\lceil \alpha \rceil +(\alpha -\lceil \alpha \rceil )}}{\mathrm{\Gamma }(\lceil \alpha \rceil -\alpha )}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha -1}{e}^{-u}\mathrm{d}u$$
ガンマ関数を用いて
$$=e^x\cdot \frac{{\lambda }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\lceil \alpha \rceil -\alpha )}\cdot \mathrm{\Gamma }(\lceil \alpha \rceil -\alpha )={\lambda }^{\alpha }{e}^{\lambda x}$$

この結果より$\sin ,\cos$の複素数を用いた表示から
$${}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\sin x={}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}=\frac{i^{\alpha }{e}^{ix}-(-i{)}^{\alpha }{e}^{-ix}}{2}=\sin (x+\frac{\alpha \pi }{2})$$
$${}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\cos x={}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\frac{i^{\alpha }{e}^{ix}+(-i{)}^{\alpha }{e}^{-ix}}{2}=\cos (x+\frac{\alpha \pi }{2})$$
を得られる.

Caputoの定義で解く. ラプラス変換を取ると
$$\mathcal{L}\left\{\frac{{\mathrm{d}}^{1/2}}{\mathrm{d}{x}^{1/2}}y\right\}=\mathcal{L}\{{}_0^{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}_t^{1/2}y\}=s^{1/2}\tilde{y}-s^{-1/2}\tilde{y}(0),\mathcal{L}\{y\}=\tilde{y}$$
$$s^{1/2}\tilde{y}-s^{-1/2}\tilde{y}(0)=\tilde{y}⟺\tilde{y}(s^{1/2}-1)=s^{-1/2}\tilde{y}(0)⟺\tilde{y}=\frac{\tilde{y}(0)}{s-s^{1/2}}=\frac{\tilde{y}(0)s^{-1/2}}{s^{1/2}-1}$$
$1<s$のとき ${\displaystyle \mathcal{L}\{t^{\beta -1}{E}_{\alpha ,\beta }(t^{\alpha })\}=\frac{s^{\alpha -\beta }}{s^{\alpha }-\lambda }}$より$\alpha =1/2,\beta =1,\lambda =1$として
$$y=y(0)E_{1/2,1}(t^{1/2})=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(n/2+1)}=e^t(1+\mathrm{erf}\sqrt{t})y(0)$$

後書き

物理学の微分方程式のモデルとして稀に使われることがある分数階微積分学の導入を個人的にまとめた. 活用先は特にないが, なんでも複素数に拡張しておくといざというときに便利と思う.