(1+x)^n=(1-x)^nを解いてtanの値を求める

$(1+x{)}^n$$=(1-x{)}^n$を解いて(楽に)$tan$の値を求める

まずは...

$(i+x{)}^n=(i-x{)}^n$から$tan$$\frac{m}{n}$$\pi$を求める

解きやすい形に

$(i+x{)}^n$=$(i-x{)}^n$の解が$tan$の値になることはわかりました、が。
虚数が入ってるのを二項定理で展開するのは少し面倒です。

ここで
$x=ti$と置換し、
$(i+ti{)}^n=(i-ti{)}^n$
両辺を$i^n$で割ってあげると
$(1+t{)}^n=(1-t{)}^n$
簡潔で素晴らしい式が！

対称に値がでてくるため、
正とか負とかは考えなくて良いので$i$はかけたり割ったりして消していいです。
また$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$の$\theta$と求まる$tan$の値の大小関係は一致します。

実践

では早速つかってみよう！

$(1+x{)}^n=(1-x{)}^n$
$1+4x+6x^2+4x^3+x^4=1-4x+6x^2-4x^3+x^4$
$4x+4x^3=-4x-4x^3$
$8x+8x^3=0$
$8\cdot x(1+x^2)=0$
$x=0,\pm i$
$m$は$-\frac{n}{2}<m<\frac{n}{2}$を満たす整数なので$\frac{m}{n}\pi$に相当するものは$-\frac{1}{4}\pi ,0,\frac{1}{4}\pi$
$x$に$i$を掛けたものを小さい順に並べると、$-1,0,1$
$tan$の値と$\theta$の大小関係は一致するので、
$tan-\frac{1}{4}\pi =-1,tan0=-1,tan\frac{1}{4}\pi =-1$となります。

$36°$は$\frac{1}{5}\pi$なので$n=5$で解いていきましょう。
解を求めるだけでいいので、左辺を展開し、奇数次数項のみを書き出せば良さそうです。
(後で消える項や、2倍する過程を飛ばします)
$(1+x{)}^5=(1-x{)}^5$
$5x+10x^3+x^5=0$
$x(x^4+10x^2+5)=0$、$x=0$の解を得ました。
$(x^4+10x^2+5)=0$の部分を考えます。
$x^2=t$とおいて$t^2+10t+5=0$を解きます。
二次方程式の解の公式を用いて$t=-5\pm 2\sqrt{5}$
$x^2=t$を使って$x$に戻すと、$x=\pm \sqrt{-5\pm 2\sqrt{5}}$
$-5\pm 2\sqrt{5}<0$なので、$x=\pm \sqrt{5\mp 2\sqrt{5}}i$
$tan$の値の候補(求めた$x$に$i$を掛けたもの)は$0$,$\mp \sqrt{5\mp 2\sqrt{5}}$
これらの解は$tan$の$\frac{-2}{5}\pi ,\frac{-1}{5}\pi ,0,\frac{1}{5}\pi ,\frac{2}{5}\pi$であり、
それぞれ$-\sqrt{5-2\sqrt{5}},-\sqrt{5+2\sqrt{5}},0,\sqrt{5-2\sqrt{5}},\sqrt{5+2\sqrt{5}}$
よって、$tan36°$の値は$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

計算のコツや、解ける限界の$n$について

例えば$(1+x{)}^2=(1-x{)}^2$を満たす$x$は、
勿論、$(1+x{)}^4=(1-x{)}^4$を満たします。

つまり、公式を展開した時、$n$が偶数の時は$n-1$次式、$n$が奇数の時は$n$次式が出てきますが、$n$の約数までに現れた式で割り切ることができます。

割れる分だけを割り切った上で、解く必要がある式の次数$m$は
$n=2$の時だけ、$0$に置き換えたオイラーの$\phi$関数となります。
($\phi (n)$=自然数$n$に対して、$1$から$n$までの自然数の中で$n$と互いに素なものの数)

$m=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}0...(n=2)\\ \phi (n)...(n\ne 2)\end{array}\end{array}$

$(n,m)=(1,1)(2,0)(3,2)(4,2)(5,4)(6,2)(7,6)(8,4)(9,6)(10,4)(11,10)(12,4)...$
となります。2次方程式の解の公式までしか使えないと考えると、
求められる大きい$n$は$12$までのようです。($15°$刻み)

最後に

ここまで読んでくださりありがとうございました。
最後に公式とコツが使える問題を残しておきます。
ぜひチャレンジしてみてください！