（生配信企画）位数88の群の同型類分類するまで終われません！

$C_{11}\rtimes_\gamma G_8, C_{11}\rtimes_{\gamma'} G_8$上の演算をそれぞれ$\cdot_\gamma,\cdot_{\gamma'}$で表すことにする。
(1)→(2)
$\Phi:C_{11}\rtimes_\gamma G_8\to C_{11}\rtimes_{\gamma'} G_8;(g,h)\mapsto(\phi_1(g,h),\phi_2(g,h))$を群同型写像とする。
今、$C_{11}\lhd C_{11}\rtimes_\gamma G_8$から
\begin{align} \phi_2(g,1)=1 \end{align}
が成り立つ。すると
\begin{align} &\Phi(g,h)\\ &=\Phi((g,1)\cdot_{\gamma}(1,h))\\ &=\Phi(g,1)\cdot_{\gamma'}\Phi(1,h)\\ &=(\phi_1(g,1),1)\cdot_{\gamma'}(\phi_1(1,h),\phi_2(1,h))\\ &=(\phi_1(g,1)\phi_1(1,h),\phi_2(1,h))\\ \end{align}
より、射影$\pi:C_{11}\times G_8\to G_8;(g,h)\mapsto h$を用いれば、写像$\phi:G_8\to G_8;h\mapsto\pi(\Phi(1,h)) $は自己同型写像となる。
今、$h\in\Ker\gamma$とすると、任意の$g\in C_{11}$に対し\begin{align} &(1,\phi(h))\cdot_{\gamma'}(g,1)\\ &=\Phi(1,h)\cdot_{\gamma'}\Phi(g',1)\\ &=\Phi((1,h)\cdot_{\gamma}(g',1))\\ &=\Phi((g',1)\cdot_{\gamma}(1,h))\\ &=\Phi(g',1)\cdot_{\gamma'}\Phi(1,h)\\ &=(g,1)\cdot_{\gamma'}(1,\phi(h))\\ \end{align}
より、$\phi(h)\in\Ker\gamma'.$ただし上記の計算中$\phi_1(g',1)=g$を満たす$C_{11}$の元として$g'$を導入した。

(2)→(1)
写像$\Psi:C_{11}\rtimes_\gamma G_8\to C_{11}\rtimes_{\gamma'} G_8;(g,h)\mapsto(g,\psi(h))$が群同型写像であることを示す。（単位元の一致、逆元の一致については割愛）
$g_1,g_2\in C_{11};h_1,h_2\in G_8$について
\begin{align} &\Psi(g_1,h_1)\cdot_{\gamma'}\Psi(g_2,h_2)\\ &=(g_1,\psi(h_1))\cdot_{\gamma'}(g_2,\psi(h_2))\\ &=(g_1\gamma'_{\psi(h_1)}(g_2),\psi(h_1)\psi(h_2))\\ &=(g_1\gamma_{h_1}(g_2),\psi(h_1h_2))\\ &=\Psi(g_1\gamma_{h_1}(g_2),h_1h_2)\\ &=\Psi((g_1,h_1)\cdot_{\gamma}(g_2,h_2)). \end{align}
よって、$C_{11}\rtimes_\gamma G_8\simeq C_{11}\rtimes_{\gamma'} G_8.$