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（生配信企画）位数88の群の同型類分類するまで終われません！

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

概要

どうしても今年のうちに位数88の群を分類したいので、生配信で分類していく様を見守るコンテンツです。この記事内に位数88の群の（できれば最小の）生成系による表示をすべて与えたらクリアとなります。

この記事は日曜数学 Advent Calendar 2023 の16日目の記事です。

生配信会場

https://www.youtube.com/watch?v=8IFOlqLk9-I

方針

位数88の群 $G$ に対してSylowの定理を適用する。88の各約数に対する2および11を法とする剰余は以下の表の通り。

	$\mod 2$	$\mod 11$
1	1	1
2	0	2
4	0	4
8	0	8
11	1	0
22	0	0
44	0	0
88	0	0

したがって、 ${Syl}_{2} (G)$ の重複度は1または11であり、 ${Syl}_{11} (G)$ の重複度は1である。よって、 ${Syl}_{11} (G) ⊲ G$ が成り立ち、Schur-Zassenhausの定理より $G = {Syl}_{11} (G) ⋊ {Syl}_{2} (G)$ と書ける。位数11の群の型は $C_{11}$ に限るので、 $G$ の型は位数8の群 $G_{8}$ と群準同型写像 $γ : G_{8} \to Aut (C_{11})$ を用いて $G ≃ C_{11} ⋊_{γ} G_{8}$ と表すことができる。今、 $Aut (C_{11}) ≃ C_{10}$ と $# Im γ \cdot # Ker γ = 8$ から、 $Im γ$ は $C_{1}$ もしくは $C_{2}$ と同型である。
ここで、次のことを確認しておく。

$G_{8}$ を位数8の群、 $γ, γ^{'} : G_{8} \to Aut (C_{11})$ を像の位数が2の群準同型写像とする。このとき、次の2つは同値。
(1) $C_{11} ⋊_{γ} G_{8} ≃ C_{11} ⋊_{γ^{'}} G_{8}$
(2) $ψ (Ker γ) = Ker γ^{'}$ なる $ψ \in Aut (G_{8})$ が存在する。

$C_{11} ⋊_{γ} G_{8}, C_{11} ⋊_{γ^{'}} G_{8}$ 上の演算をそれぞれ $\cdot_{γ}, \cdot_{γ^{'}}$ で表すことにする。
(1)→(2)
$Φ : C_{11} ⋊_{γ} G_{8} \to C_{11} ⋊_{γ^{'}} G_{8}; (g, h) \mapsto (ϕ_{1} (g, h), ϕ_{2} (g, h))$ を群同型写像とする。
今、 $C_{11} ⊲ C_{11} ⋊_{γ} G_{8}$ から
$\begin{array}{r} ϕ_{2} (g, 1) = 1 \end{array}$
が成り立つ。すると
$\begin{aligned} Φ (g, h) \\ = Φ ((g, 1) \cdot_{γ} (1, h)) \\ = Φ (g, 1) \cdot_{γ^{'}} Φ (1, h) \\ = (ϕ_{1} (g, 1), 1) \cdot_{γ^{'}} (ϕ_{1} (1, h), ϕ_{2} (1, h)) \\ = (ϕ_{1} (g, 1) ϕ_{1} (1, h), ϕ_{2} (1, h)) \end{aligned}$
より、射影 $π : C_{11} \times G_{8} \to G_{8}; (g, h) \mapsto h$ を用いれば、写像 $ϕ : G_{8} \to G_{8}; h \mapsto π (Φ (1, h))$ は自己同型写像となる。
今、 $h \in Ker γ$ とすると、任意の $g \in C_{11}$ に対し $\begin{aligned} (1, ϕ (h)) \cdot_{γ^{'}} (g, 1) \\ = Φ (1, h) \cdot_{γ^{'}} Φ (g^{'}, 1) \\ = Φ ((1, h) \cdot_{γ} (g^{'}, 1)) \\ = Φ ((g^{'}, 1) \cdot_{γ} (1, h)) \\ = Φ (g^{'}, 1) \cdot_{γ^{'}} Φ (1, h) \\ = (g, 1) \cdot_{γ^{'}} (1, ϕ (h)) \end{aligned}$
より、 $ϕ (h) \in Ker γ^{'} .$ ただし上記の計算中 $ϕ_{1} (g^{'}, 1) = g$ を満たす $C_{11}$ の元として $g^{'}$ を導入した。

(2)→(1)
写像 $Ψ : C_{11} ⋊_{γ} G_{8} \to C_{11} ⋊_{γ^{'}} G_{8}; (g, h) \mapsto (g, ψ (h))$ が群同型写像であることを示す。（単位元の一致、逆元の一致については割愛）
$g_{1}, g_{2} \in C_{11}; h_{1}, h_{2} \in G_{8}$ について
$\begin{aligned} Ψ (g_{1}, h_{1}) \cdot_{γ^{'}} Ψ (g_{2}, h_{2}) \\ = (g_{1}, ψ (h_{1})) \cdot_{γ^{'}} (g_{2}, ψ (h_{2})) \\ = (g_{1} γ_{ψ (h_{1})}^{'} (g_{2}), ψ (h_{1}) ψ (h_{2})) \\ = (g_{1} γ_{h_{1}} (g_{2}), ψ (h_{1} h_{2})) \\ = Ψ (g_{1} γ_{h_{1}} (g_{2}), h_{1} h_{2}) \\ = Ψ ((g_{1}, h_{1}) \cdot_{γ} (g_{2}, h_{2})) . \end{aligned}$
よって、 $C_{11} ⋊_{γ} G_{8} ≃ C_{11} ⋊_{γ^{'}} G_{8} .$

この補題から $C_{11} ⋊_{γ} G_{8}$ の型は、 $G_{8}$ の型および $Ker γ$ として $G_{8}$ の指数1または2の部分群（下表では $N$ ）を同型写像で移り合う違いを除いて定めることで決定される。これらを列挙すると

	$G_{8}$ の型	$G_{8}$ の表示	$N$ の表示	$N$ の型	$[G : N]$
I	$C_{8}$	$⟨ a ∣ a^{8} ⟩$	$⟨ a ⟩$	$C_{8}$	1
II	$C_{8}$	$⟨ a ∣ a^{8} ⟩$	$⟨ a^{2} ⟩$	$C_{4}$	2
III	$C_{4} \times C_{2}$	$⟨ a, b ∣ a^{4}, b^{2}, a^{- 1} b a b ⟩$	$⟨ a, b ⟩$	$C_{4} \times C_{2}$	1
IV	$C_{4} \times C_{2}$	$⟨ a, b ∣ a^{4}, b^{2}, a^{- 1} b a b ⟩$	$⟨ a^{2}, b ⟩$	$E_{4}$	2
V	$C_{4} \times C_{2}$	$⟨ a, b ∣ a^{4}, b^{2}, a^{- 1} b a b ⟩$	$⟨ a ⟩$	$C_{4}$	2
VI	$E_{8}$	$⟨ a, b, c ∣ a^{2}, b^{2}, c^{2}, (a b)^{2}, (b c)^{2}, (c a)^{2} ⟩$	$⟨ a, b, c ⟩$	$E_{8}$	1
VII	$E_{8}$	$⟨ a, b, c ∣ a^{2}, b^{2}, c^{2}, (a b)^{2}, (b c)^{2}, (c a)^{2} ⟩$	$⟨ a, b ⟩$	$E_{4}$	2
VIII	$D_{8}$	$⟨ a, b ∣ a^{4}, b^{2}, (a b)^{2} ⟩$	$⟨ a, b ⟩$	$D_{8}$	1
IX	$D_{8}$	$⟨ a, b ∣ a^{4}, b^{2}, (a b)^{2} ⟩$	$⟨ a^{2}, b ⟩$	$E_{4}$	2
X	$D_{8}$	$⟨ a, b ∣ a^{4}, b^{2}, (a b)^{2} ⟩$	$⟨ a ⟩$	$C_{4}$	2
XI	$Q_{8}$	$⟨ a, b ∣ a^{4}, a^{2} b^{2}, a^{- 1} b a b ⟩$	$⟨ a, b ⟩$	$Q_{8}$	1
XII	$Q_{8}$	$⟨ a, b ∣ a^{4}, a^{2} b^{2}, a^{- 1} b a b ⟩$	$⟨ a ⟩$	$C_{4}$	2

となる。

位数88の群の分類

以上を踏まえて、位数88の群は以下の12種に分類される。

$G$ の型	$G$ の表示	${Syl}_{2} (G)$ の型	$Ker γ$
$C_{88}$	$⟨ a ∣ a^{88} ⟩$	$C_{8}$	I
$C_{11} ⋊ C_{8}$	$⟨ a, b ∣ a^{11}, b^{8}, a b^{- 1} a b ⟩$	$C_{8}$	II
$C_{44} \times C_{2}$	$⟨ a, b ∣ a^{44}, b^{2}, a^{- 1} b a b ⟩$	$C_{4} \times C_{2}$	III
$C_{22} ⋊ C_{4}$	$⟨ a, b ∣ a^{22}, b^{4}, a b^{- 1} a b ⟩$	$C_{4} \times C_{2}$	IV
$D_{22} \times C_{4}$	$⟨ a, b ∣ a^{44}, b^{2}, a^{23} b a b ⟩$	$C_{4} \times C_{2}$	V
$C_{22} \times E_{4}$	$⟨ a, b, c ∣ a^{22}, b^{2}, c^{2}, a^{- 1} b a b, a^{- 1} c a c, (b c)^{2} ⟩$	$E_{8}$	VI
$D_{44} \times C_{2}$	$⟨ a, b, c ∣ a^{22}, b^{2}, c^{2}, (a b)^{2}, (b c)^{2}, a^{- 1} c a c ⟩$	$E_{8}$	VII
$D_{8} \times C_{11}$	$⟨ a, b ∣ a^{44}, b^{2}, a^{21} b a b ⟩$	$D_{8}$	VIII
$C_{11} ⋊ D_{8}$	$⟨ a, b, c ∣ a^{11}, b^{4}, c^{2}, a b^{- 1} a b, (b c)^{2}, a^{- 1} c a c ⟩$	$D_{8}$	IX
$D_{88}$	$⟨ a, b ∣ a^{44}, b^{2}, (a b)^{2} ⟩$	$D_{8}$	X
$Q_{8} \times C_{11}$	$⟨ a, b, c ∣ a^{4}, c^{11}, a^{2} b^{2}, a^{- 1} b a b, a^{- 1} c^{- 1} a c, b^{- 1} c^{- 1} b c ⟩$	$Q_{8}$	XI
$Q_{88}$	$⟨ a, b ∣ a^{22}, a^{11} b^{2}, a b^{- 1} a b ⟩$	$Q_{8}$	XI