自作整数問題の解説
本日Xに投稿した自分の作問2025の中で, 群を抜いて好きな問題を解説します.
(他の問題の解説も時間があればアップするかも)
※平方剰余禁止のもとでお楽しみください
数列$\lbrace a_n \rbrace , \lbrace b_n \rbrace$を以下のように定める.
$$ a_1=2,\ a_{n+1}=a_n^2-a_n+1,\ b_n=a_n^2-2a_n+2$$
このとき, 数列$\lbrace b_n \rbrace$のどの項も割り切らないような素数は無数に存在することを示せ.
解答
まず, 以下の補題を示す.
$i\in \mathbb{N}$とするとき, $$(1+a_i^2)b_i=1+a_{i+1}^2$$
等式$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2$$
に, $a=x=1,\ b=a_i,\ y=a_i-1$を代入すると,
$$(1+a_i^2)b_i=(1+a_i^2)(1+(a_i-1)^2)=(1+a_i(a_i-1))^2+(a_i-1-a_i)^2=1+(a_i^2-a_i+1)^2=1+a_{i+1}^2$$
上の等式を$i=1,2,\cdots,n$で辺々掛け合わせることで
$$ \displaystyle\prod_{i=1}^{n} b_i= \displaystyle\frac{1+a_{n+1}^2}{1+a_1^2}=\displaystyle\frac{1+a_{n+1}^2}{5} $$
を得る. well-known factとして$p \nmid 1+a_{n+1}^2$となるような素数$p$は無数に存在するから, そのような$p$に対して
$$p \nmid \displaystyle\prod_{i=1}^{n} b_i\Longleftrightarrow p \nmid b_1,\ p \nmid b_2,\cdots,\ p\nmid b_n$$
$n$を十分大きくとることができるので, 主張が示された.
(平方剰余は使ってません...使ってません)
