微分と行列
今回は微分演算と行列との関係について書いていこうと思う。
後半は簡単な問題を用意しているので自分で解いてみて欲しい。
筆者は現実で色々な事があり若干鬱状態にある状態でこの文章を書いてます。間違いが頻出したり、いつも以上に説明不足などがあるかもしれません。それらの事を発見したらお伝えいただけると助かります。
微分演算子を行列で表す
まず、微分演算子と行列との間の関係性を見る前に、基底と線形写像から線形写像に対応する行列が定まる事について簡単に復習を行う。
$V,W$はそれぞれ$n,m$次元ベクトル空間とする。また、それぞれの基底を$\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},...,\boldsymbol{e}_{n}\},\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},...,\boldsymbol{f}_{m}\}$の様に定める。また$\psi :V\rightarrow W$を線形写像とする。すると仮定より、それぞれの基底$\boldsymbol{e}_{i}\quad (i=1,2,...,n)$は、線形写像$\psi$により次の様な変換を受ける。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\psi{(\boldsymbol{e}_{1})}=\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{f}_{j}A_{j1}\\
\psi{(\boldsymbol{e}_{2})}=\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{f}_{j}A_{j2}\\
\cdots\\
\psi{(\boldsymbol{e}_{n})}=\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{f}_{j}A_{jn}\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
これから、次式を得る。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\psi(\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},...,\boldsymbol{e}_{n})=(\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},...,\boldsymbol{f}_{m})
\begin{pmatrix}
A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\
A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
A_{m1}&A_{m2}&\cdots&A_{mn}
\end{pmatrix}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
この様に、線形変換$\psi$は基底から行列$A$として定め直すことができる。
また、成分に関しては次の様な変換を受けることが分かる。
\begin{eqnarray}
\psi(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\boldsymbol{e}_{i})&=&\sum_{i=1}^{n}a_{i}\psi(\boldsymbol{e}_{i})\\
&=&\sum_{i=1}^{n}a_{i}\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{f}_{j}A_{ji}\\
&=&\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{f}_{j}\sum_{i=1}^{n}A_{ji}a_{i}\\
&=&\sum_{i=1}^{m}\boldsymbol{f}_{i}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}a_{j}
\end{eqnarray}
次に次の事実を認める。
証明は簡単なのであなたへの宿題とする。
連続関数全体$C$に対して次の様な和とスカラー積を定めると、$C$はベクトル空間となる。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\forall f,g\in C:\forall x\in \mathbb{R}:(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad 和\\
\forall \alpha\in \mathbb{R}:\forall f\in C:x\in \mathbb{R}:(\alpha f)(x)=\alpha f(x) \quad スカラー積
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
では本命の微分演算子を行列で表してみよう。
正則な関数全体を$R$とする。これに対する基底$\{1,x,x^{2},...,x^{n},...\}$を定める。この時$D=\frac{d}{dx}$と定めると、次式が成り立つ。
\begin{equation}
D\rightarrow
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&\cdots\\
0&0&2&0&\cdots\\
0&0&0&3&\cdots\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots
\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{eqnarray} D(1,x,x^{2},...)&=&(0,1,2x,...)\\ &=&(1,x,x^{2},...) \begin{pmatrix} 0&1&0&0&\cdots\\ 0&0&2&0&\cdots\\ 0&0&0&3&\cdots\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots \end{pmatrix} \end{eqnarray}
次に応用してみる。
次の微分方程式を解け。
\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=y
\end{equation}
$y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=(a_{0},a_{1},a_{2},...)$の様に表す。
$D=\frac{d}{dx}$は基底$\{1,x,x^{2},...\}$に対して、次の事実が成り立つ。
\begin{equation}
D\rightarrow
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&\cdots\\
0&0&2&0&\cdots\\
0&0&0&3&\cdots\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots
\end{pmatrix}
\end{equation}
ゆえに、次の結果を得る。
\begin{eqnarray}
D(a_{0},a_{1},a_{2},...)&=&(1a_{1},2a_{2},3a_{3},...)\\
&=&(a_{0},a_{1},a_{2},...)
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
1a_{1}&=&a_{0}\\
2a_{2}&=&a_{1}\\
3a_{3}&=&a_{2}\\
\cdots\\
na_{n}&=&a_{n-1}\\
\cdots
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
a_{n}&=&\frac{1}{n}a_{n-1}\\
&=&\frac{1}{n!}a_{0}
\end{eqnarray}
ゆえに、次の解を得る。
\begin{equation}
y=a_{0}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}=a_{0}\exp{(x)}
\end{equation}
ここからは問題を作って遊んでみる。
先の例で$\{1,x,x^{2},...\}\rightarrow \{p_{0}(x),p_{1}(x),p_{2}(x),...\}$なる基底変換Pを考える。ここで、各$p_{k}(x)\quad (k=0,1,2,...)$は次の様な$m_{k}$次多項式。
\begin{equation}
p_{k}(x)=\sum_{l=0}^{m_{k}}p_{lk}x^{l}\quad (k=0,1,2,...)
\end{equation}
この変換$P$に対応する行列$\mathcal{P}$を求めよ。
\begin{eqnarray}
P(1,x,x^{2},...)=(1,x,x^{2},...)
\begin{pmatrix}
p_{00}&p_{01}&p_{02}&\cdots\\
p_{10}&p_{11}&p_{12}&\cdots\\
p_{20}&p_{21}&p_{22}&\cdots\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
より、
\begin{equation}
\mathcal{P}=
\begin{pmatrix}
p_{00}&p_{01}&p_{02}&\cdots\\
p_{10}&p_{11}&p_{12}&\cdots\\
p_{20}&p_{21}&p_{22}&\cdots\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots
\end{pmatrix}
\end{equation}
$[D,\mathcal{P}]=D\mathcal{P}-\mathcal{P}D$を求めよ。
\begin{eqnarray}
D\mathcal{P}&=&
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&\cdots\\
0&0&2&0&\cdots\\
0&0&0&3&\cdots\\
0&0&0&0&\cdots\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p_{00}&p_{01}&p_{02}&\cdots\\
p_{10}&p_{11}&p_{12}&\cdots\\
p_{20}&p_{21}&p_{22}&\cdots\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots
\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}
p_{10}&p_{11}&p_{12}&\cdots\\
2p_{20}&2p_{21}&2p_{22}&\cdots\\
3p_{30}&3p_{31}&3p_{32}&\cdots\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\mathcal{P}D&=&
\begin{pmatrix}
p_{00}&p_{01}&p_{02}&\cdots\\
p_{10}&p_{11}&p_{12}&\cdots\\
p_{20}&p_{21}&p_{22}&\cdots\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&\cdots\\
0&0&2&0&\cdots\\
0&0&0&3&\cdots\\
0&0&0&0&\cdots\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}
0&p_{00}&2p_{01}&3p_{02}&\cdots\\
0&p_{10}&2p_{11}&3p_{12}&\cdots\\
0&p_{20}&2p_{21}&3p_{22}&\cdots\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\begin{equation}
[D,\mathcal{P}]=
\begin{pmatrix}
p_{10}&p_{11}-p_{00}&p_{12}-2p_{01}&p_{13}-3p_{02}&\cdots\\
2p_{20}&2p_{21}-p_{10}&2p_{22}-2p_{11}&2p_{23}-3p_{12}&\cdots\\
3p_{30}&3p_{31}-p_{20}&3p_{32}-2p_{21}&3p_{33}-3p_{22}&\cdots\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots
\end{pmatrix}
\end{equation}
ここから先は、読者への課題とする。
ここまで読んでくれてありがとう。お休み。
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