『代数函数論』定義1.6と定理1.8

付値論

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指数付値の定義を思い出しておきます．

離散的な指数付値

$K$ から $R \cup {\infty}$ への写像 $ν$ が以下の条件を満たすとき $ν$ を $K$ 上の離散的な指数付値という．

$ν (0) = \infty$ ．また $a \neq 0$ ならば $ν (a)$ は有理整数．
$ν (x y) = ν (x) + ν (y)$
$ν (x) \geq 0$ ならば $ν (1 + x) \geq 0$
$ν (a) \neq 0, \infty$ なる元が存在する．

さて， $L / K$ という体の拡大があったとします． $L$ における素因子を $P^{'}$ ， $K$ における素因子を $P$ としたときに，もしも $P^{'}$ に含まれる付値の $K$ への制限が $P$ にに含まれるなら， $P^{'}$ を $P$ の拡張， $P$ を $P^{'}$ の射影といいます．
$L$ の素因子 $P^{'}$ に関する付値環，素イデアルを $o^{'}, p^{'}$ とします．
$K$ の素因子 $P$ に関する付値環，素イデアルを $o, p$ とします．
$p = o \cap p^{'}$ が成り立っているので，環の同型定理より $(o + p^{'}) / p^{'} ≅ o / p$ ． $o + p^{'}$ は $o^{'}$ の部分環なので， $P^{'}$ の剰余体 $K^{'}$ は $P$ の剰余体 $K$ を含んでいるとしてよい．この拡大次数 $f = [K^{'} : K]$ のことを $P^{'}$ の $P$ に関する相対次数といいます．
$P^{'}$ に含まれる正規付値 $ν_{P^{'}}$ の $K$ への制限は一般に正規付値を与えるとは限らないので，そのずれの次数，つまり $ν_{P^{'}} = e ν_{P}$ となる自然数 $e$ を $P^{'}$ の $P$ に関する分岐指数といいます．

ここで， $L$ の素因子 $P^{'}$ の $K$ における射影が必ず存在するか，という問題を考えます．これは， $L / K$ が有限次拡大ならば存在します．証明しておきましょう．

$ν^{'}$ を $P^{'}$ に属する一つの付値とする． $L$ で付値の条件を満たしているので，定義１の $1 \sim 3$ は明らか． $4$ を確かめる． $ν^{'} (u) \neq 0, \infty$ なる $L$ の元 $u$ をとる． $L / K$ は有限次拡大なので代数拡大でもある．よって $a_{i} \in K$ が存在して
$a_{0} u^{n} + a_{1} u^{n - 1} + \dots + a_{n} = 0$
が成立する．ここで， $ν^{'} (a_{i}) = 0$ （ $i = 0, 1, \dots, n$ ）と仮定すると， $ν^{'} (a_{i} u^{n - i}) = (n - i) ν^{'} (u)$ は互いに相異なるので
$\infty = ν^{'} (0) = ν^{'} (a_{0} u^{n} + a_{1} u^{n - 1} + \dots + a_{n}) = min (ν^{'} (a_{i} u^{n - i}))$ となるがこれは矛盾．よって $ν^{'} (a_{i})$ の中に $0$ でないものが存在する．

制限するだけなので， $P^{'}$ の射影はただ一つです．
ここで次の命題が成り立ちます．

$L / K$ において $L$ の素因子 $P^{'}$ の $K$ への射影を $P$ とすれば $P^{'}$ の $P$ に関する相対次数 $f$ は $[L : K]$ 以下である．

$x_{1}, \dots x_{m} \in o^{'}$ について，これらのmod $p^{'}$ に関する剰余類 ${\overset{―}{x}}_{i}$ が $K$ に関して一次独立だった時 $x_{1}, \dots, x_{m}$ は $K$ に関して一次独立であることを示せばよいです．詳細は参考文献[1]を見てください．本質的には参考文献[1]の補題1.7と同じことをします．