指数付値の定義を思い出しておきます．
$K$から$\mathbb{R}\cup\{\infty\}$への写像$\nu$が以下の条件を満たすとき$\nu$を$K$上の離散的な指数付値という．
さて，$L/K$という体の拡大があったとします．$L$における素因子を$P^\prime$，$K$における素因子を$P$としたときに，もしも$P^\prime$に含まれる付値の$K$への制限が$P$にに含まれるなら，$P^\prime$を$P$の拡張，$P$を$P^\prime$の射影といいます．
$L$の素因子$P^\prime$に関する付値環，素イデアルを$\mfo^\prime,\mfp^\prime$とします．
$K$の素因子$P$に関する付値環，素イデアルを$\mfo,\mfp$とします．
$\mfp=\mfo\cap\mfp^\prime$が成り立っているので，環の同型定理より$(\mfo+\mfp^\prime)/\mfp^\prime\cong\mfo/\mfp$．$\mfo+\mfp^\prime$は$\mfo^\prime$の部分環なので，$P^\prime$の剰余体$\mfK^\prime$は$P$の剰余体$\mfK$を含んでいるとしてよい．この拡大次数$f=[\mfK^\prime:\mfK]$のことを$P^\prime$の$P$に関する相対次数といいます．
$P^\prime$に含まれる正規付値$\nu_{P^\prime}$の$K$への制限は一般に正規付値を与えるとは限らないので，そのずれの次数，つまり$\nu_{P^\prime}=e\nu_P$となる自然数$e$を$P^\prime$の$P$に関する分岐指数といいます．
ここで，$L$の素因子$P^\prime$の$K$における射影が必ず存在するか，という問題を考えます．これは，$L/K$が有限次拡大ならば存在します．証明しておきましょう．
$\nu^\prime$を$P^\prime$に属する一つの付値とする．$L$で付値の条件を満たしているので，定義１の$1\sim 3$は明らか．$4$を確かめる．$\nu^\prime(u)\neq 0,\infty$なる$L$の元$u$をとる．$L/K$は有限次拡大なので代数拡大でもある．よって$a_i\in K$が存在して
$$a_0 u^n+a_1u^{n-1}+\cdots+a_n=0$$
が成立する．ここで，$\nu^\prime(a_i)=0$（$i=0,1,\cdots,n$）と仮定すると，$\nu^\prime(a_iu^{n-i})=(n-i)\nu^\prime(u)$は互いに相異なるので
$$\infty=\nu^\prime(0)=\nu^\prime(a_0 u^n+a_1u^{n-1}+\cdots+a_n)=\min(\nu^\prime(a_iu^{n-i}))$$となるがこれは矛盾．よって$\nu^\prime(a_i)$の中に$0$でないものが存在する．
制限するだけなので，$P^\prime$の射影はただ一つです．
ここで次の命題が成り立ちます．
$L/K$において$L$の素因子$P^\prime$の$K$への射影を$P$とすれば$P^\prime$の$P$に関する相対次数$f$は$[L:K]$以下である．
$x_1,\cdots x_m\in\mfo^\prime$について，これらのmod$\mfp^\prime$に関する剰余類$\overline{x}_i$が$\mfK$に関して一次独立だった時$x_1,\cdots,x_m$は$K$に関して一次独立であることを示せばよいです．詳細は参考文献[1]を見てください．本質的には参考文献[1]の補題1.7と同じことをします．
次の定理1.9が長いんですよね．う～ん．どうしたもんかな．という所で．今回はここまで．ここまで見ていただきありがとうございました！